31 mája 2008

π

Ako ste možno zaregistrovali, včera prebehla médiami informácia o tom, že sa istému 13 ročnému žiakovi z Banskej Bystrice podarilo zapamätať si číslo π na 300 desatinných miest, čím vytvoril nový slovenský rekord. Gratulujeme.

Každopádne, najlepšie svetové výkony v tejto "disciplíne" sa pohybujú v úplne iných rádoch. V súvislosti s fenomenálnou pamäťou Vám odporúčam pozrieť si veľmi zaujímavé videá o Danielovi Tammetovi a o Kimovi Peekovi; je ohromujúce, čoho je ich mozog, a možno principiálne aj mozog každého z nás, schopný.

Tento príspevok som však začal písať s cieľom formulovať pre Vás nasledovnú úlohu: Predstavme si, že si budeme musieť zapamätať postupnosť povedzme 15 cifier. Nebudeme si môcť pritom vôbec nič poznačiť, avšak môžeme použiť akúkoľvek mnemotechnickú pomôcku, ktorú si vopred pripravíme (a budeme ju môcť používať ako pri zapamätávaní si, tak aj pri rekonštruovaní danej postupnosti čísiel). Máte nejaké nápady, akú pomôcku by ste si pripravili Vy?

27 mája 2008

Banachov-Tarskeho paradox: časť 2: úloha

Nech A je kružnica s polomerom 1 a nech B je tiež kružnica s polomerom 1, ktorej však chýba jeden bod (pozri obrázok). Sú množiny A a B zhodne rozložiteľné? T.j., trochu nepresne formulované: Je možné rozbiť A na konečný počet podmnožín, z ktorých len posunutím a rotáciou môžeme poskladať B?

Poznámka: Pojem "zhodne rozložiteľné množiny" sme presne definovali v predchádzajúcom príspevku. Teším sa na Vaše riešenia.

26 mája 2008

Banachov-Tarskeho paradox: časť 1: formulácia

Toto je prvý v sérii príspevkov, ktorými sa pokúsim ozrejmiť Banachov-Tarskeho paradox, ako som kedysi sľúbil. Čiastočne sa pritom budem držať knihy Leonarda Wapnera "The Pea and the Sun". Na začiatok úplne postačí, keď sa nám podarí pochopiť presné znenie tohoto paradoxu. Potrebujeme k tomu niekoľko matematických definícií na úrovni obtiažnosti nepresahujúcej prvý ročník na matfyze.

Nech En je Euklidovský priestor, napríklad priamka (pre n=1), rovina (pre n=2), alebo klasický trojrozmerný priestor (pre n=3). Nech v je vektor v En a nech U je matica rotácie typu nxn. Zobrazenie f, ktoré priradí každému bodu x v En bod x+v, nazveme translácia (posun) a zobrazenie g, ktoré priradí každému bodu x v En bod Ux nazveme rotácia (pootočenie). Ľahko si uvedomíme, že rotáciou v E1 je len jediné zobrazenie a to identické. Každú rotáciu v E2 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo bodu (0,0) a každú rotáciu v E3 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo nejakej priamky prechádzajúcej bodom (0,0,0).

Nech f je posun o vektor v, nech g je rotácia definovaná maticou rotácie U a nech M je nejaká množina v En. Transláciou f množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru x+v, kde x je bod z M a rotáciou množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru Ux, kde x je bod z M. Ako príklad som na nasledovnom obrázku načrtol modrým transláciu f(M) zelenej množiny M o vektor (2,1) a ružovým rotáciu g(M) množiny M o uhol α=π/4 (t.j. o 45 stupňov).


Rozkladom množiny M nazývame každý systém M1,...,Mk navzájom disjunktných podmnožín množiny M, ktorých zjednotenie je M. Dve množiny A a B v priestore En nazveme zhodne rozložiteľné, ak existuje rozklad A1,...,Ak množiny A a rozklad B1,...,Bk množiny B tak, že pre každé i=1,...,k je množina Bi zrotovaná a posunutá množina Ai, t.j. existujú translácie f1,...,fk priestoru En a rotácie g1,...,gn priestoru En, že pre všetky i=1,...,n platí Bi=f(g(Ai)). To, že sú množiny A a B zhodne rozložiteľné, označíme A~B.

Čiže, veľmi voľne povedané, A~B znamená, že A je možné rozbiť na kúsky, z ktorých len posunutím a zrotovaním môžeme poskladať B. Ako príklad som načrtol obrázok dokazujúci A~B pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník A (bez jednej odvesny) a štvorec B (bez jednej strany) s rovnakým obsahom ako má A.

Pripomeňme ešte, že pod pojmom guľa v E3 s polomerom r a stredom v bode P rozumieme množinu tých bodov E3, ktorých vzdialenosť od P je menšia, alebo rovná r.

Znenie Banachovho-Tarskeho paradoxu (vo formulácii nazývanej ''pea and the Sun''): Akékoľvek dve gule v E3, nie nutne s rovnakým polomerom, sú zhodne rozložiteľné.


Banachov-Tarskeho paradox je teda (dokázateľne platné) matematické tvrdenie že, voľne povedané, akúkoľvek malú trojrozmernú guľu vieme rozbiť na konečný počet podmnožín, z ktorých len pootočením a posunutím vieme poskladať (plnú) guľu s akokoľvek veľkým polomerom. Vaše prípadné nejasnosti a námietky napíšte do komentárov a ja sa Vám ich pokúsim vysvetliť resp. odmietnuť :)

24 mája 2008

Tri mince

Na stole sú tri mince: štvrťdolár, poldolár a dolár. Hráč A vlastní jednu z týchto troch mincí a hráč B zvyšné dve. Hráči budú hádzať súčasne všetkými tromi týmito mincami, až pokým aspoň na jednej z nich nepadne hlava. Výsledné skóre pre každého hráča bude rovné súčtu hodnôt tých jeho mincí, na ktorých padne hlava. Hráč, ktorý získa vyššie skóre, vyhráva všetky tri mince. Ktorú mincu by mal vlastniť hráč A, aby bola hra spravodlivá, t.j. aby stredná hodnota zisku každého z hráčov bola 0?

Poznámka: Táto priamočiara, no pekná úloha s prekvapivým riešením pochádza údajne z knihy D.L. Silvermana "Your Move".

19 mája 2008

Chris Frith: Making up the mind

Kniha významného anglického neurovedca Chrisa Fritha "Making up the Mind" vo mne utvrdzuje už dlhšiu dobu silnejúci pocit, že sme súčasníkmi nového prevratu v chápaní sveta, tichého, ale zásadného; ďalšieho vytriezvenia z iluzórnej samozrejmosti.

Podobne, ako to bolo s teóriou relativity, ktorá nás obrala o jednoduchú predstavu priestoru a času, alebo s kvantovou mechanikou, ktorá nám zrútila prirodzené chápanie kauzality, moderné neurovedy spochybňujú dôveryhodnosť toho, čo vieme sami o sebe; spochybňujú našu pamäť, zmyslové vnímanie, dokonca naše pohnútky a samotnú slobodnú vôľu.

Spomeňme napríklad experimenty Benjamina Libeta, ktoré potvrdzujú, že aktivita mozgu smerujúca k nejakej činnosti je merateľná už podstatne skôr ako nastáva to, čo sa nám javí ako vedomé rozhodnutie túto činnosť vykonať. Ako si výsledok týchto, alebo viacerých iných podobných experimentov vysvetliť? Zdá sa isté, že si musíme podstatným spôsobom upraviť našu predstavu o slobodnej vôli.

Moderné zobrazovacie techniky nás dokonca pripravili o súkromie našich myšlienok; pomocou prístrojov vedci doslova vidia naše predstavy, plány a emócie; zatiaľ len hrubo, ale Pandorina skrinka je už otvorená. Opakovateľné experimenty naznačujú, že naše "ja" je len aspektom epistemického modelu sveta, redukovateľného na základné fyzikálne princípy komunikácie medzi neurónmi. Čím ďalej, tým je ťažšie brániť dualistický pohľad na myseľ, ktorý je spolu so slobodnou vôľou ideovým pilierom najrozšírenejších svetových náboženstiev.

Otázka už neznie, či revolúcia v neurovedách bude mať na náš život nejaký dopad, ale skôr ako sa s novým pohľadom na nás samotných vyrovnáme.

Krátke poznámky a odkazy:

09 mája 2008

Desaťmiestne číslo

Nájdite desaťciferné číslo s nasledovnou vlastnosťou: Prvá cifra zodpovedá počtu núl v zápise tohoto čísla, druhá cifra zodpovedá počtu jednotiek, tretia cifra počtu dvojok, ... desiata cifra zodpovedá počtu deviatok v zápise tohoto čísla.

Tento elementárny, no pekný hlavolam, rovnako ako úloha s podávaním rúk, pochádza z už spomínanej knihy Martina Gardnera.