Takýchto príkladov existuje veľa, avšak každý, ktorý ma napadol, má "podobné" smery konvexnosti. V prípade Ivanovej funkcie sú všetky smery koncentrované do dvoch protiľahlých kvadrantov roviny. Zaujímala by ma teda odpoveď na otázku, či môže existovať nekonvexná funkcia, ktorá je konvexná v aspoň troch "veľmi nepodobných" smeroch:
Existuje nekonvexná reálna funkcia dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v smeroch vrcholov rovnostranného trojuholníka s ťažiskom v bode (0,0), čiže v smeroch troch jednotkových vektorov, ktorých vzájomné skalárne súčiny sú -1/2?
Nepresnejšia, ale ľudskejšia formulácia úlohy :) Obyvatelia istej nekonečne rozľahlej krajiny majú len tri svetové strany - A,B,C, a to v smere šípok na ilustratívnom obrázku vyššie. Táto krajina má nasledovnú zaujímavú vlastnosť: Ak stoja dvaja obyvatelia voči sebe presne v smere niektorej svetovej strany, tak na seba vidia. Súčasne však existuje také postavenie dvoch obyvateľov tejto krajiny, pri ktorom na seba nevidia; prekáža im vo výhľade kopček. Môže, alebo nemôže existovať taká krajina?
Uvedomte si, že Ivanova funkcia ukazuje príklad takej krajiny v prípade, že obyvatelia majú štyri svetové strany, tak ako u nás. Ďalší príspevok už bude oddychovejší. :)
3 komentáre:
f(x,y) = k*x^2 - y^2, pre k > 3
sakra - predbehol si ma :) ano hned ma napadlo "zplostit" funkciu v x-ovej osy vynasobenim konstantou - takto sa vlastne, ak dobre uvazujem, sa vieme dostat az ku stavu ked je to konvexne skoro vo vsetkych smeroch ...
Ivan: áno, super, to som si teda nemyslel, že keď sa sem o pár hodín pozriem, že to už bude vyriešené. Tvoja funkcia je konvexná pre všetky smery (u,v), pre ktoré ku^2>=v^2 a pre rastúce k sa blíži množina tých jednotkových vektorov, ktoré toto spĺňajú, k celej jednotkovej kružnici. (Takže aj Rori má pravdu, teda aspoň v prípade, že zvrat "skoro vo všetkých smeroch" nechápeme striktne matematicky :)
Zverejnenie komentára