10 novembra 2010

Tri trojuholníky

Problémy optimálneho navrhovania experimentov, čo je moja hlavná oblasť výskumu, sú prekvapivo pestré, pretože zasahujú do takmer všetkých matematických disciplín: od štatistiky a pravdepodobnosti, cez kombinatoriku, teóriu grafov, analýzu, lineárnu algebru, teóriu matíc, až po numerickú matematiku. Dnes sa mi pri písaní článku z tejto oblasti dokonca vyskytlo jednoduché tvrdenie z klasickej rovinnej geometrie; formulujme si ho ako úlohu.


Majme päť priamok p1, p2, q1, q2, q3, ako je znázornené na obrázku, pričom priamky q1, q2, q3 sú rovnobežné. Označme ako Aij prienik priamok pi a qj. Dokážte, že súčet obsahov trojuholníkov A11A12A23 a A12A13A21 je rovný obsahu trojuholníka A11A13A22.

02 novembra 2010

Koľko matematikov, toľko dôkazov

Nasledovná jednoduchá, ale celkom pekná dôkazová úloha sa nám objavila pri písaní článku o optimálnom navrhovaní experimentov pre náhodné procesy. Spomenuli sme ju viacerým kolegom a každý prišiel po nejakom čase so svojim vlastným dôkazom. Som zvedavý, koľko rôznych dôkazov sa podarí nájsť Vám.

Ukážte, že ak hladká funkcia f:R→R spĺňa rovnicu



pre všetky reálne čísla x a všetky kladné reálne čísla δ, potom je f kvadratická funkcia.


Kvadratickou funkciu rozumieme aj lineárnu a konštantnú funkciu (s niektorými koeficientmi nulovými). Ako obvykle, symbol f ' označuje deriváciu funkcie f.