Konvexné smery II

V predchádzajúcom príspevku sme zistili, že existujú funkcie dvoch premenných, ktoré samotné nie sú konvexné, no napriek tomu sú konvexné v nekonečne veľa smeroch. Pripomeňme, že konvexnosťou funkcie f v smere jednotkového vektora (u,v) myslíme konvexnosť rezov funkcie f po všetkých priamkach rovnobežných s vektorom (u,v). Takou je napríklad Ivanova funkcia f(x,y)=x²-y²:

Takýchto príkladov existuje veľa, avšak každý, ktorý ma napadol, má "podobné" smery konvexnosti. V prípade Ivanovej funkcie sú všetky smery koncentrované do dvoch protiľahlých kvadrantov roviny. Zaujímala by ma teda odpoveď na otázku, či môže existovať nekonvexná funkcia, ktorá je konvexná v aspoň troch "veľmi nepodobných" smeroch:

Existuje nekonvexná reálna funkcia dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v smeroch vrcholov rovnostranného trojuholníka s ťažiskom v bode (0,0), čiže v smeroch troch jednotkových vektorov, ktorých vzájomné skalárne súčiny sú -1/2?

Nepresnejšia, ale ľudskejšia formulácia úlohy :) Obyvatelia istej nekonečne rozľahlej krajiny majú len tri svetové strany - A,B,C, a to v smere šípok na ilustratívnom obrázku vyššie. Táto krajina má nasledovnú zaujímavú vlastnosť: Ak stoja dvaja obyvatelia voči sebe presne v smere niektorej svetovej strany, tak na seba vidia. Súčasne však existuje také postavenie dvoch obyvateľov tejto krajiny, pri ktorom na seba nevidia; prekáža im vo výhľade kopček. Môže, alebo nemôže existovať taká krajina?

Uvedomte si, že Ivanova funkcia ukazuje príklad takej krajiny v prípade, že obyvatelia majú štyri svetové strany, tak ako u nás. Ďalší príspevok už bude oddychovejší. :)

Konvexné smery

Nech f je reálna funkcia definovaná na množine všetkých dvojíc reálnych čísiel. Smerom nazveme každý vektor (u,v) jednotkovej dĺžky.  Budeme hovoriť, že funkcia f je konvexná v smere (u,v), ak pre každý bod (a,b) je konvexnou funkcia priradzujúca číslu α číslo f(a+αu,b+αv). Je zrejmé, že ak je funkcia f konvexná vo všetkých smeroch, tak je sama konvexná. Konvexnosť v jednom smere však samozrejme nestačí; napríklad nekonvexná funkcia f(x,y)=x²+y³ je konvexná v smere (1,0):

Stačí na zabezpečenie konvexnosti funkcie f konvexnosť v dvoch rôznych smeroch? V troch? ...

Aké je maximálne prirodzené číslo n, pre ktoré existuje nekonvexná reálna funkcia f  dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v n rôznych smeroch (u₁,v₁), ... ,(u_n,v_n)?

Hlavolam z výstavy

Dnes som sa v rámci nedeľného oddychu vybral s manželkou a dcérkou do Slovenského národného múzea na výstavu "Matematika pre potešenie". Aj keď na prvý pohľad pôsobí táto výstavka pomerne chudobne, dá na nej celkom dobre zabaviť, čo platí dvojnásobne, ak máte so sebou dieťa :). Väčšina exponátov je založená na dobre známych princípoch, napríklad Galtonova skrinka, Buffonova ihla, Kreslenie grafu jedným ťahom, Möbiusov list, Tangram a podobne. Mňa najviac zaujalo vedro s mydlovou vodou, do ktorého bolo možné ponárať drôtené modely telies (napríklad kocka, pravidelný simplex, štvorboký ihlan) a sledovať tvar vzniknutých membrán, podobne ako v jednom našom staršom príspevku.

Výstavka obsahuje aj niekoľko hlavolamov, z ktorých sa mi jeden nepodarilo vyriešiť, hoci som nad ním strávil možno aj štvrť hodiny. (Trochu ma to rozladilo, pretože riešenie je určite veľmi jednoduché. :) Vy však možno budete úspešnejší ...

Poskladajte štvorec rozmerov 6x6 z ôsmich kúskov znázornených na nasledovnom obrázku.

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).