tag:blogger.com,1999:blog-6999805237104608062024-02-21T04:35:04.087+01:00Q.E.D.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.comBlogger220125tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-45067237887708556032016-09-11T20:52:00.000+02:002016-09-11T20:55:06.615+02:00100 vrabcov<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzxin7UUOvvoXSRgEyoD5AJi-4Nw4fge6Pvb_MgDKvT-59v87JPsAgdDON3YTXgMrlGh67NHdWRaoT6RSut6e4J0dr4ki6aHw2AKd2-MU0mCki4dvexKRraTjkVKbUuHY7vkmXeUoy3YM/s1600/birds.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="199" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhzxin7UUOvvoXSRgEyoD5AJi-4Nw4fge6Pvb_MgDKvT-59v87JPsAgdDON3YTXgMrlGh67NHdWRaoT6RSut6e4J0dr4ki6aHw2AKd2-MU0mCki4dvexKRraTjkVKbUuHY7vkmXeUoy3YM/s200/birds.png" width="200" /></a></div>
Na kruhovú obruč polomeru 10 metrov si náhodne a nezávisle sadne 100 vrabcov. Odhadnite (intuitívne, simulačne, analyticky, akokoľvek) pravdepodobnosť, že ťažisko tohto kŕdľa sediacich vrabcov bude vzdialené menej ako 1 meter od stredu obruče.<br />
<br />Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-83712135297884090282015-09-06T19:19:00.000+02:002015-09-09T13:29:08.839+02:00Štyri mestá<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: left; margin-right: 1em; text-align: left;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeBkZCPf8nx9GQwndys3iBcPs0wwruJMR_0WZEY_ODeVI7xnFn2QzeCw3zhpjJNdJ88VjmPS-e1vIXp6UUzlKaym0FbsM_Lo4ezOtkRmnNGyDjGyAK-SNqT7-vauRop5drCRLQWi21b2A/s1600/4mesta.png" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeBkZCPf8nx9GQwndys3iBcPs0wwruJMR_0WZEY_ODeVI7xnFn2QzeCw3zhpjJNdJ88VjmPS-e1vIXp6UUzlKaym0FbsM_Lo4ezOtkRmnNGyDjGyAK-SNqT7-vauRop5drCRLQWi21b2A/s200/4mesta.png" width="190" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Ilustračný obrázok</td></tr>
</tbody></table>
<span style="background-color: white; color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; font-size: 13.2px; line-height: 18.48px;">Štyri mestá ležia vo vrcholoch štvorca so stranou 100 kilometrov. Nájdite čo najkratšiu cestnú sieť, po ktorej sa dá prejsť z každého z týchto miest do každého iného. (Dĺžku cestnej siete chápeme ako súčet dĺžok všetkých jej segmentov.)</span><br />
<br />
<span style="background-color: white; color: #222222; font-family: Arial, Tahoma, Helvetica, FreeSans, sans-serif; font-size: 13.2px; line-height: 18.48px;">Poznámka: Toto je problém, ktorý som navrhol pre rubriku "Hádanky" Denníka N. Pozri <a href="https://dennikn.sk/235474/hadanka-ako-postavit-najkratsiu-cestnu-siet-medzi-styrmi-mestami/">túto</a> stránku, kde nájdeš riešenie aj diskusiu. :) </span>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-82297517646134187292013-06-18T20:11:00.000+02:002015-09-06T13:00:34.033+02:00ŽabaNasledovný hlavolam nám na konferencii <a href="http://www.moda10.uz.zgora.pl/">mODa10</a> zadal náš švajčiarsky kolega <a href="http://www.ginsbourger.ch/">David Ginsbourger</a>.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7qK7Jt6AUERcLK4vNHSI5Zl4392KrOM-CZBSkczC2ge-5cOhlxShnI3k6RUxGJWUEiGQp8rweP0RriN59hypuQPjGdfvpqjcjj0VdSk7Rw7l9-02yOySgF5fzaBQ0msIjQBKPQLp6wLc/s1600/Zaba.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7qK7Jt6AUERcLK4vNHSI5Zl4392KrOM-CZBSkczC2ge-5cOhlxShnI3k6RUxGJWUEiGQp8rweP0RriN59hypuQPjGdfvpqjcjj0VdSk7Rw7l9-02yOySgF5fzaBQ0msIjQBKPQLp6wLc/s400/Zaba.png" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<i>Za sebou v rade je 100 vypínačov, ktoré sú na začiatku vo vypnutom stave. Žaba postupne poskáče po všetkých vypínačoch, čím ich zapne. Následne sa žaba vráti na začiatok radu vypínačov a poskáče po každom druhom z nich, čím poskákané vypínače vypne. Potom sa žaba opäť vráti na začiatok a poskáče po každom treťom vypínači, čím zapnuté vypínače vypne a vypnuté vypínače zapne. Potom sa žaba znovu vráti na začiatok radu vypínačov a poskáče po každom štvrtom z nich, čím opäť zapnuté vypínače vypne a vypnuté zapne... Žaba takto preskáče cez rad vypínačov stokrát. Ktoré vypínače budú na konci zapnuté?</i><br />
<br />
Samozrejme, riešenie sa dá veľmi rýchlo nájsť na papieri (alebo pomocou počítača). Pokúste sa však túto úlohu vyriešiť bez akýchkoľvek pomôcok.<br />
<h3>
<b> </b></h3>
<h3>
<b>Nová formulácia úlohy:</b></h3>
<i>Za sebou v rade je nekonečne veľa vypínačov očíslovaných 1,2,3,..., ktoré sú na začiatku vo vypnutom
stave. Chuck Norris postupne stlačí každý z nich, čím ich zapne.
Následne stlačí vypínače 2,4,6,..., čím všetky stlačené vypínače vypne. Potom Chuck Norris stlačí vypínače 3,6,9,..., čím zapnuté vypínače
vypne a vypnuté vypínače zapne. Následne Chuck Norris postláča každý štvrtý vypínač, potom každý piaty a tak ďalej. Ktoré vypínače budú na konci zapnuté?</i><br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW5cuFRBOrhEfRt2PnxCUDZDFJVyjZSKVq4WbrGY-_lN_d2cyxPs5H-bk5MICWHsf4CWBcI-spGNyMlk3YW-3mWuB8xB12_CNMcQ0XD-nRPm0K-c27y1avJGgPFdNbM7pfy_QV-RSDnMM/s1600/CNProblem.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW5cuFRBOrhEfRt2PnxCUDZDFJVyjZSKVq4WbrGY-_lN_d2cyxPs5H-bk5MICWHsf4CWBcI-spGNyMlk3YW-3mWuB8xB12_CNMcQ0XD-nRPm0K-c27y1avJGgPFdNbM7pfy_QV-RSDnMM/s320/CNProblem.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Ak by ste sa čudovali, ako môže Chuck Norris postláčať toľko vypínačov, tak sa teda nečudujte, lebo je to veľmi jednoduché. Chuck totiž stlačí prvý vypínač za 1/2 sekundy, druhý za 1/4 sekundy, tretí za 1/8 sekundy a tak ďalej. Pri stláčaní každého druhého vypínača vykoná prvé stlačenie za 1/4 sekundy, druhé za 1/8 sekundy, tretie za 1/16 sekundy... Pri stláčaní každého tretieho vypínača vykoná prvé stlačenie za 1/8 sekundy, druhé stlačenie za 1/16 sekundy, tretie za 1/32 sekundy a tak ďalej. Koľko to vlastne bude Chuckovi Norisovi celkovo trvať?<br />
<br />
Samozrejme, túto úlohu už vyčerpávajúco nevyriešite len pomocou "podčiarkovania" číselného radu zapísaného na papieri. Teda ... pokiaľ nie ste Chuck Norris. <i><br /></i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-10954937020580377692013-05-13T17:04:00.001+02:002015-09-06T13:01:50.149+02:00Masívne podvádzanie?Dnes sa na SME objavil <a href="http://www.sme.sk/c/6798229/expert-vidi-v-testovani-deviatakov-podvod-dopadlo-az-prilis-dobre.html#ixzz2TBByM6mx">zaujímavý článok</a>, podľa ktorého dlhoročný expert na testovanie žiakov, pán Vladimír Burjan, vyjadruje presvedčenie, že v <a href="http://www.nucem.sk/documents/26/testovanie_9_2013/vysledky/Vysledky_T9-2013.pdf">štátnom testovaní</a> deviatakov z matematiky sa masívne podvádzalo. Zacitujme priamo <a href="http://www.dobraskola.com/?tx_t3blog_pi1[blogList][showUid]=281&cHash=e247ccc20d9de198228b2fae228285d8">pôvodný zdroj</a> napísaný pánom Burjanom:<br />
<br />
<i>"Keď sa odborník na testovanie pozrie na rozdelenie úspešnosti z Testovania 9, okamžite mu musí udrieť do očí, že s grafom </i>[pozri obrázok nižšie, v ľavej časti panelu, pozn. RH]<i> niečo nie je v poriadku. Vyzerá o dosť inak, ako by mal. V čom spočíva jeho anomália? Gaussova krivka (ktorú samotný NÚCEM prikreslil do grafu) dáva odpoveď: žiakov s úspešnosťou 50 – 70 % je menej, ako by ich malo byť, a naopak žiakov s úspešnosťou 80 – 100 % je omnoho viac, ako by ich malo byť. S pravítkom a trochou trpezlivosti ľahko spočítate, že „posunutých smerom doprava“ (k vyššej úspešnosti) je viac ako 5 000 žiakov, teda viac ako 12 % testovanej populácie. Je pravda, že pri niektorých testovaniach môže byť výsledná Gaussova krivka posunutá smerom k maximálnemu skóre. K tomu však dochádza iba vtedy, keď je test pre danú skupinu žiakov príliš ľahký, čo tento rozhodne nebol – celková úspešnosť bola 60,07 %. A navyše: aj vtedy si krivka zachová svoj typický tvar. Človek nemusí byť Sherlockom Holmesom, aby mu bolo jasné, čo sa v Testovaní 9 stalo: výsledky nezodpovedajú skutočným vedomostiam žiakov z matematiky. Tie totiž naozaj majú Gaussovo rozloženie..."</i><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://i.sme.sk/cdata/9/67/6798229/testovanie_9-web.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://i.sme.sk/cdata/9/67/6798229/testovanie_9-web.jpg" height="153" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
Pripúšťam, že sa pri "Testovaní 9" mohlo podvádzať; pozrime sa však na samotný argument, ktorým pán Burjan svoje obvinenie podopiera. Musí výsledok testovania skutočne zodpovedať <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution">Gaussovej krivke</a>?<br />
<br />
Samozrejme, Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti je spojité rozdelenie s neohraničeným nosičom, zatiaľ čo výsledky testovania môžu nadobúdať len konečne veľa hodnôt, čiže tieto výsledky principiálne nemôžu zodpovedať úplne presnému Gaussovmu rozdeleniu. To je ale maličkosť; ide nám o to, či sa celkový tvar výsledkov testovania musí aspoň "podobať" na Gaussovu krivku.<br />
<br />
Keby žiaci odpovede len tipovali, navzájom nezávisle, všetci rovnakým náhodným postupom (napríklad by si hádzali mincou pri vypĺňaní testu, v ktorom je pre každú otázku správna práve jedna z dvoch uvedených odpovedí), tak by sa výsledky na Gaussovo rozdelenie naozaj veľmi podobali. Matematické zdôvodnenie tohto javu poskytuje <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem">centrálna limitná veta</a>. Lenže medzi úlohami sú rozdiely v náročnosti a najmä medzi žiakmi sú obrovské rozdiely v schopnostiach, čiže matematické predpoklady centrálnej limitnej vety jednoducho nie sú splnené a navyše celkové výsledky testovania budú "zmesou" rozdelení s veľmi rôznymi strednými hodnotami.<br />
<br />
Pokúsme sa situáciu modelovať realistickejšie: Predpokladajme, že test pozostávajúci z 50 otázok absolvuje 40000 žiakov. Otázky však budú rozdielnej obtiažnosti: od 0 (veľmi ľahká otázka) až po 1 (veľmi ťažká otázka) a takisto žiaci budú mať v našom modeli rozdielne schopnosti: od 0 (veľmi slabý žiak) až po 1 (veľmi dobrý žiak). Predpokladajme, že riešenie úlohy môže byť len buď nesprávne, za 0 bodov, alebo správne, za 1 bod.<br />
<br />
Pravdepodobnosť správneho vyriešenia úlohy závisí od náročnosti úlohy (túto náročnosť si označíme symbolom o) a taktiež od schopností žiaka (označíme si ju symbolom z). Ako jednoduchý rozumný model si stanovíme, že pravdepodobnosť správneho vyriešenia úlohy je<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
P=min(1,0.6+0.6(z-o)).</div>
<br />
Tento vzorček znamená, že čím vyšší je rozdiel medzi schopnosťami žiaka a náročnosťou úlohy, tým je väčšia pravdepodobnosť správneho vyriešenia úlohy. V prípade, že je náročnosť úlohy rovnaká ako miera schopností žiaka, je pravdepodobnosť správneho vyriešenia úlohy 60 percent (toto číslo som zvolil po krátkom experimentovaní tak, aby sa stredná hodnota výsledku získaného z nášho modelu podobala na skutočný priemerný výsledok). Takto stanovený model je veľmi jednoduché nasimulovať (použil som<a href="http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/programs/monitor-sim.txt"> krátky kód</a> pre štatistický program <a href="http://www.r-project.org/">R</a>) a ... voilá! <br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRxJbrZXqCg6qM_QFX5RnU9JNbb-AlEuGAvPSHKUOmM8VzL8feMpZEyxIPm-ZoCsDDev2n-Rb3Z3hZKHN5LyT8dZ7_qpu1-dFL4Uqc-I6aOPhrsXB-Q9XeDLgqM9NpvRROb_vK2Wq-kxc/s1600/monitor-sim.png" imageanchor="1"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRxJbrZXqCg6qM_QFX5RnU9JNbb-AlEuGAvPSHKUOmM8VzL8feMpZEyxIPm-ZoCsDDev2n-Rb3Z3hZKHN5LyT8dZ7_qpu1-dFL4Uqc-I6aOPhrsXB-Q9XeDLgqM9NpvRROb_vK2Wq-kxc/s320/monitor-sim.png" width="320" /></a><br />
<br />
Ako vidíme, výsledný histogram (sivé obdĺžničky) sa nielenže výrazne odlišuje od Gaussovho rozdelenia pravdepodobnosti (modrá krivka), ale dokonca až zarážajúco pripomína skutočné výsledky "Testovania 9".<br />
<br />
Ukázalo sa teda, že argument pána Burjana založený na Gaussovej krivke nie je správny; už náš veľmi jednoduchý model dokazuje, že sumárne výsledky štátneho testovania nijako nenaznačujú, že pri ňom dochádzalo k "masívnemu" podvádzaniu. A NÚCEMu by som odporúčal, aby na budúce do histogramov výsledkov testovania Gaussovu krivku nedokresľovalo, lebo jej výpovedná hodnota je v takýchto situáciách sporná.<br />
<br />
<span style="font-size: x-small;">Ak sa Vás tento článok zaujal, podporte ho na <a href="http://vybrali.sme.sk/c/Masivne-podvadzanie/">vybrali.sme.sk</a> .</span><br />
<span style="font-size: x-small;"><br /></span>
<span style="font-size: x-small;">Alebo, ak môžete, podporte našu fakultu v úsilí získať finančné prostriedky na opravu omietky našej budovy, ktorá nám nielenže padá na hlavu, ale aj odpudzuje potenciálnych študentov a pedagógov. (Samého sa ma snažili odlákať preč z matfyzu poukázaním na to, v akej ohyzdnej budove to pracujem. Ale nedal som sa. :) </span><br />
<br />
<br />
Dodatok 14.5.: Nasimuloval som výsledky testu na základe matematickej formulácie <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rasch_model#The_mathematical_form_of_the_Rasch_model_for_dichotomous_data">Raschovho modelu</a> a súčasne tak, že rozdelenie schopností žiakov je normálne. Zvolil som trochu nižšiu obtiažnosť otázok, aby bola stredná hodnota približne 60 percent maxima (ako v Testovaní 9) a po pár pokusoch som tiež odhadol vhodný parameter rozptylu schopností žiakov. Vyžiadalo si to len veľmi malú modifikáciu môjho pôvodného modelu a algoritmu, ako si môžete <a href="http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/programs/monitor-sim2.txt">pozrieť</a>. Program som spustil trikrát a dostal som nasledovné obrázky:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4cl6kkxSJAvaW57Wo0T9JUuVLNrrq4d3EAytNu5Z4fGhrKpdLrSUBvqwtdCbKwqtd9S-CadhHIEmiw_dutepXAY56FYBHvlVF5EwUm6F75GmjqPfGuwZEI7ip2yHIuGVKQBIsFOJk2hM/s1600/sim-monitor2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4cl6kkxSJAvaW57Wo0T9JUuVLNrrq4d3EAytNu5Z4fGhrKpdLrSUBvqwtdCbKwqtd9S-CadhHIEmiw_dutepXAY56FYBHvlVF5EwUm6F75GmjqPfGuwZEI7ip2yHIuGVKQBIsFOJk2hM/s320/sim-monitor2.png" width="280" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyregyXwdtZHk-9jhGq90f59uEOrCAXoGIcUZE0qXKVKUu39pMIo1xiLpcgOuf2ZqaVlq4tMZeiBsNWnTC2UdoQ6G84PtW0OCxR06726gw-8Ett3uGL1boAMXYLB03LNV5Shmt6lfAMBw/s1600/sim-monitor4.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyregyXwdtZHk-9jhGq90f59uEOrCAXoGIcUZE0qXKVKUu39pMIo1xiLpcgOuf2ZqaVlq4tMZeiBsNWnTC2UdoQ6G84PtW0OCxR06726gw-8Ett3uGL1boAMXYLB03LNV5Shmt6lfAMBw/s320/sim-monitor4.png" width="280" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhslIhfv8fwqxUOzBCQVayhEtKAw7ypeNGwNHAe1jQ12R84VWkAWlyl5FyOzZZ4Ukfvn0egcuoZg_197u2QNxLqj7y01aALc4eKkuT4yUSUneKvfSAut0DpTsfXqHian7SbxWR2kA5LpL0/s1600/sim-monitor3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhslIhfv8fwqxUOzBCQVayhEtKAw7ypeNGwNHAe1jQ12R84VWkAWlyl5FyOzZZ4Ukfvn0egcuoZg_197u2QNxLqj7y01aALc4eKkuT4yUSUneKvfSAut0DpTsfXqHian7SbxWR2kA5LpL0/s320/sim-monitor3.png" width="280" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Ako vidíte, výsledky sa opäť zásadne odlišujú od gaussovského rozdelenia a navyše zhoda s výsledkami Testovania 9 je opäť dobrá, možno aj o niečo lepšia. Samozrejme, pre modely s viacerými parametrami by sa dal fit so skutočnými výsledkami testovania ešte zlepšiť. Tiež je zaujímavé si všimnúť, že pri rôznych spusteniach výsledný histogram značne "prirodzene" fluktuuje.<br />
<br />
Sumarizácia toho na čo sme prišli (aj s pomocou niektorých veľmi kvalifikovaných čitateľov v diskusii; ďakujem):<br />
<br />
1) Existujú jednoduché modely (ako napríklad ten Raschov), ktoré pre veľa nastavení parametrov dávajú výrazne negaussovské rozdelenie výsledkov a to aj pri nulovej miere podvádzania. Dokonca existujú také nastavenia parametrov, ktoré dávajú dobrú zhodu práve s výsledkami Testovania 9.<br />
<br />
2) Komplexnejšie modely (ktoré by napríklad zohľadňovali to, že náročnosti a typy otázok môžu byť veľmi rôzne, kvalita študentov nutne závisí od celkového faktora úrovne školy, pričom školy majú veľmi rozdielne veľkosti a kvality) by celkom isto poskytovali priestor pre ešte komplikovanejšie formy výsledného rozdelenia. Nedá sa očakávať, že priblížením modelu realite by sa celková forma výsledkov začala približovať k jednoduchému gaussovskému rozdeleniu.<br />
<br />
3) Simulácie naznačujú, že aj pri počte 40000 študentov výsledný histogram pomerne značne fluktuuje, čiže ľahko sa môžu v histograme výsledkov vyskytnúť rôzne zdanlivé anomálie; bolo by potrebné použiť podložené štatistické testy na kontrolu, či odchýlka od akéhokoľvek ideálu, ktorý niekto predpokladá, nemôže byť spôsobená len prirodzenou náhodnou fluktuáciou.<br />
<br />
4) Empirické dáta taktiež jednoznačne ukazujú, že výsledky testovania majú často rozdelenie odlišné od gaussovského, najmä v prípade rozdielnej motivácie študentov dosiahnuť čo najlepší výsledok; je to skúsenosť viacerých pedagógov, ale aj výsledok niektorých rozsiahlych testovaní. <br />
<br />
Z čisto vizuálneho porovnania ideálnej gaussovej krivky s výsledkami Testovania 9 sa preto nedá odvodiť taký silný záver, že sa pri ňom "masívne podvádzalo" a už vôbec nie vypočítať počet žiakov, ktorí podvádzali.<br />
<br />
Samozrejme nie som naivný, aby som si myslel, že sa pri testovaní deviatakov vôbec nepodvádzalo. Verím tiež tomu, že pán Burjan toho o testovaní žiakov veľmi veľa vie (neporovnateľne viac ako ja), intuítívne možno správne vycítil, že s dátami nie je niečo v poriadku a keďže v jeho záujme je dobro pre naše školstvo, tak na problém možného podvádzania poukázal. Ale samotný argument a výpočet, ktorý použil na podporu tohto svojho presvedčenia, je založený na nesprávnom predpoklade. Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com35tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-30999996072846778462013-01-31T20:24:00.000+01:002015-09-06T13:04:02.025+02:00Ťažisko<i>Úlohou je do n ekvidištantných pozícií na kružnici vo vhodnom poradí rozmiestniť guľôčky s hmotnosťami 1, 2, 3, ..., n gramov a to tak, aby ťažisko sústavy týchto guľôčok bolo presne v strede kružnice. Nájdite čo najviac hodnôt n, pre ktoré sa táto úloha dá vyriešiť.</i>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilyjzvdygeaYXjbjB3im4204unUMltHfFoT1o_xmg0hgkcmZlH_Cm9bUmQjC0SbLs6BV4v_hAmlvtDYaKp6QX17_U-YizQntbYLRr-3bXCSk9lbVBU4EIWEbge07WdXjFrkWMUsNR1cfk/s1600/tazisko5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="319" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilyjzvdygeaYXjbjB3im4204unUMltHfFoT1o_xmg0hgkcmZlH_Cm9bUmQjC0SbLs6BV4v_hAmlvtDYaKp6QX17_U-YizQntbYLRr-3bXCSk9lbVBU4EIWEbge07WdXjFrkWMUsNR1cfk/s320/tazisko5.png" width="320" /></a></div>
<br />
Na ilustračnom obrázku je rozmiestnených 5 guľôčok s hmotnosťami 1,3,4,2 a 5 gramov (v tomto poradí), ktorých ťažisko, označené červenou bodkou, je však máličko vychýlené voči stredu kružnice.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-85884493375320356812012-11-18T16:13:00.000+01:002015-09-06T13:05:36.624+02:00Šesť bodov<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_design">Navrhovanie experimentov</a> je pre mňa už skoro desať rokov nevyčerpateľný zdroj inšpirácie. Teória takzvaných blokových návrhov obsahuje matematické tvrdenia, ktoré sa dajú preformulovať do podoby nasledovného príkladu kombinujúceho teóriu grafov a lineárnu algebru.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ7XngSUgv3Mid70kDB0xEytnMAMkScixmBKFreHwcMmry6RXW5mkU34omlvO2Fwhslk4H-rb8L7h51PnojKra9WKIxj7-QJqDtqjYGM_uhRtfnVb5n-vvK_hX_0jOHOEMn4b0JjakE3c/s1600/SestBodov.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="213" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ7XngSUgv3Mid70kDB0xEytnMAMkScixmBKFreHwcMmry6RXW5mkU34omlvO2Fwhslk4H-rb8L7h51PnojKra9WKIxj7-QJqDtqjYGM_uhRtfnVb5n-vvK_hX_0jOHOEMn4b0JjakE3c/s400/SestBodov.png" width="400" /></a></div>
<br />
<i>Pýtame sa, či existuje šestica vektorov x<sub>1,2</sub>, x<sub>1,3</sub>, x<sub>1,4</sub>, x<sub>2,3</sub>, x<sub>2,4</sub>, x<sub>3,4</sub> v trojrozmernom priestore, ktorá charakterizuje <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Connected_graph">súvislosť</a> <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_%28mathematics%29#Simple_graph">obyčajných grafov</a> so štyrmi vrcholmi týmto spôsobom: G</i><i>raf s hranami h<sub>1</sub>, h<sub>2</sub>, ..., h<sub>n</sub> je súvislý vtedy a len vtedy, keď </i><i>sa každý vektor v trojrozmernom priestore dá napísať ako lineárna kombinácia vektorov x<sub>h<sub>1</sub></sub>, x<sub>h<sub>2</sub></sub>, ..., x<sub>h<sub>n</sub></sub>.</i><br />
<br />
<i>Ekvivalentná formulácia príkladu: Pýtame sa, či existuje šestica bodov x<sub>1,2</sub>, x<sub>1,3</sub>, x<sub>1,4</sub>, x<sub>2,3</sub>, x<sub>2,4</sub>, x<sub>3,4</sub> v trojrozmernom priestore s nasledovnou vlastnosťou: G</i><i>raf s hranami h<sub>1</sub>, h<sub>2</sub>, ..., h<sub>n</sub> je nesúvislý vtedy a len vtedy, keď </i><i>existuje rovina prechádzajúca počiatkom súradnicového systému obsahujúca súčasne všetky body x<sub>h<sub>1</sub></sub>, x<sub>h<sub>2</sub></sub>, ..., x<sub>h<sub>n</sub></sub>.</i><br />
<i> </i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com11tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-36784658768728249432012-10-25T17:30:00.000+02:002015-09-06T13:06:42.205+02:00Fúrik<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0xGrwuKmWW1mMzUHkarEvmAgiYHKvOdESqwuGwfqaPL8MpcJ7fM1QSyoASF2GdSfXoKZddKIF7NCuD5R6zuVS51EpDdjbhE0xZfJVI5RjGQZDCCK94yeq3_YPRyoqvsW9cxke6BanbTo/s1600/tehly.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="276" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0xGrwuKmWW1mMzUHkarEvmAgiYHKvOdESqwuGwfqaPL8MpcJ7fM1QSyoASF2GdSfXoKZddKIF7NCuD5R6zuVS51EpDdjbhE0xZfJVI5RjGQZDCCK94yeq3_YPRyoqvsW9cxke6BanbTo/s320/tehly.png" width="320" /></a></div>
<i>Prevážame fúrikom tehly z miesta A na miesto B. Doba trvania jednej "obrátky" (naloženie fúrika, prevoz z A do B, vyloženie, cesta naspať z B do A) závisí od toho, koľko tehál prevážame. Urobili sme 5 pokusných obrátok, ktorých výsledky sumarizuje nasledovná tabuľka.</i><br />
<br />
<center>
<table border="1" style="background-color: lightblue; border-collapse: collapse; border: 1px solid black;">
<tbody>
<tr>
<td style="padding: 5px;"><i>Počet naložených tehál</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>3</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>6</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>9</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>12</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>15</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>18</i></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 5px;"><i>Čas obrátky (v sekundách)</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>18</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>28</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>52</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>60</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>96</i></td>
<td style="padding: 5px;"><i>152</i></td>
</tr>
</tbody></table>
</center>
<br />
<i>Koľko tehál by ste odporučili nakladať do fúrika?</i><br />
<br />
Na rozdiel od väčšiny zábavných hlavolamov, táto úloha nemá "jediné správne" riešenie. V reálnych aplikáciách sa však často vyskytujú práve takéto problémy: údaje zaťažené náhodnou chybou, neznámy alebo veľmi komplikovaný matematický model, niekedy dokonca nie celkom presne definovaný cieľ.<br />
<br />
Acknowledgements: Úloha je motivovaná podobnou úlohou, ktorú nám opäť poslal Peťo Mikloš. Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-83370741521311983452012-09-17T21:53:00.000+02:002015-09-06T13:07:13.907+02:00Horiace tyče<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3RaICK3l8GQ8hpsMI6QneKgyZAGWx48lDI6m4rbiEgHT2ubn4c10lwyi2IllCDKCumMX5E6_S9LUcrE-IJVE1km0zM20HbxLEEIPwwfZVrQDrpceZSr-dLQpHJLvlhZvh_PQViQeUhoA/s1600/Tyce.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="118" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3RaICK3l8GQ8hpsMI6QneKgyZAGWx48lDI6m4rbiEgHT2ubn4c10lwyi2IllCDKCumMX5E6_S9LUcrE-IJVE1km0zM20HbxLEEIPwwfZVrQDrpceZSr-dLQpHJLvlhZvh_PQViQeUhoA/s320/Tyce.png" width="320" /></a></div>
<br />
<i>Majme dve tyče z neznámeho nehomogénneho materiálu, pričom vieme len to,
že každá z nich zhorí presne za 1 minútu. Rýchlosť horenia v
jednotlivých častiach tyčí kvôli neznámemu zloženiu nevieme určiť.
Ako pomocou nich zmerať presne čas 45 sekúnd? Čas zapálenia tyče
neuvažujeme. </i><br />
<br />
Túto peknú úlohu nám poslal Peter Mikloš; ďakujeme! :)Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com16tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-9421869918552582702012-09-10T19:35:00.000+02:002015-09-06T13:07:56.989+02:00Úloha zo snaO matematike sa mi sníva pomerne často, no len občas si obsah môjho sna zapamätám natoľko presne, aby malo zmysel sa nad ním viac zamýšľať. V noci zo soboty na nedeľu sa mi snívalo o tom, ako jeden známy slovenský profesor matematiky dostal od študentov úlohu a ani za nič sa mu ju nedarilo vyriešiť; pamätám sa, ako frustrovane mával rukami, v jednej špongia, v druhej krieda, pred tabuľou pokreslenou čiarami pripomínajúcimi abstraktný obraz z pohľadu značne podguráženého obdivovateľa umenia.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlq37pCcObM1BqrDO1_hXCIqO26CAT1vRsGFLbsqust1BoTMqOuGbDcpOE9GCfboTtBki-h9aPiDSQG2niT5w2lCMqi4Mi5F3DUfkt8l69OpDfNkyBA_woe3obIP4FY4g98S87GYRZXJE/s1600/UlohaSen.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="175" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlq37pCcObM1BqrDO1_hXCIqO26CAT1vRsGFLbsqust1BoTMqOuGbDcpOE9GCfboTtBki-h9aPiDSQG2niT5w2lCMqi4Mi5F3DUfkt8l69OpDfNkyBA_woe3obIP4FY4g98S87GYRZXJE/s200/UlohaSen.png" width="200" /></a></div>
<br />
Prekvapivo, úloha, ktorú v mojom sne dali študenti profesorovi, je zmysluplná a dosť odlišná od všetkých úloh, nad ktorými som dosiaľ uvažoval v bdelom stave. Fungovanie ľudského mozgu ma neprestáva fascinovať. Tu je spomínaná úloha:<br />
<br />
<i>Nech </i>M<i> je množina bodov v rovine a nech x je vektor. Posunutím množiny </i>M<i> o vektor x budeme rozumieť množinu </i>M<i>+x pozostávajúcu z bodov tvaru B+x, kde B patrí </i>M<i>. Racionálnym bodom v rovine nazveme taký bod, ktorého obidve súradnice sú racionálne čísla. Dokážte, že ak </i>M<i> je zjednotením konečného počtu úsečiek, potom existuje vektor x taký, že </i>M<i>+x neobsahuje žiadne racionálne body.</i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-39581606804563660232012-08-20T22:51:00.001+02:002015-09-06T13:08:39.497+02:00K základom teórie pravdepodobnosti<span style="font-size: x-small;">Nasledovný text som si napísal v máji 2010 ako stručnú prípravu na scenár relácie "<a href="http://radoslav-harman.blogspot.sk/2010/05/nocna-pyramida.html">Nočná pyramída</a>"
Slovenského rozhlasu. Pri vysielaní sme sa však scenára skoro vôbec
nedržali, a tak som zo svojej prípravy použil len málo. Tento text
zverejňujem, lebo by možno bola škoda, keby na mojom harddisku iba zapadol
prachom :)</span><b> </b><br />
<br />
<b>Kto je zakladateľ teórie pravdepodobnosti a aké má miesto táto disciplína v matematike?</b><br />
<br />
Prvé úvahy o pravdepodobnosti začali ľudia rozvíjať už veľmi dávno, minimálne odkedy hrávajú hazardné hry. Pokiaľ viem, tak prvé uchované zmienky o matematickom prístupe k pravdepodobnosti, tiež v súvislosti s hazardnými hrami, možno nájsť v korešpondencii medzi <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat">Fermatom</a> a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal">Pascalom</a>
okolo polovice 17. storočia. Fermata možno poznajú poslucháči
v súvislosti so slávnou <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem">veľkou Fermatovou vetou</a> a Pascala
v súvislosti s <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle">Pascalovým trojuholníkom</a>, alebo <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal_law">Pascalovým zákonom</a>.<br />
<br />
K teórii pravdepodobnosti výrazne prispeli na začiatku 18. storočia <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre">Abraham de Moivre</a>, ktorý ako prvý študoval <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_distribution">Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti</a> a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli">Jacob Bernoulli</a>,
ktorý ako prvý v istej forme formuloval <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers">zákon veľkých čísiel</a>. V súčasnosti používané matematické <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms">axiómy pravdepodobnosti</a> vybudoval až v 30-tych rokoch 20. storočia <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Kolmogorov">Andrej Kolmogorov</a>. V porovnaní s ostatnými matematickými disciplínami je teória pravdepodobnosti relatívne mladá.<br />
<br />
Teória pravdepodobnosti je jednou z najdôležitejších oblastí matematiky, obzvlášť kvôli tomu, že tvorí matematický základ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Statistics">štatistiky</a>. Pravdepodobnosť je časťou <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Measure_theory">teórie miery</a>, ale nejakým spôsobom súvisí s prakticky všetkými matematickými disciplínami.<br />
<br />
<b>Základné zákony teórie pravdepodobnosti...</b><br />
<br />
Existuje veľmi presná matematická charakterizácia zákonov
teórie pravdepodobnosti, ktorá zahŕňa viacero možných <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_interpretations">interpretácií pravdepodobnosti</a>. Niektoré z týchto zákonov sú veľmi formálne, alebo
založené skôr na dohode ako nutnosti, napríklad ten, že pravdepodobnosť meriame
číslami medzi nulou a jednotkou, pričom pravdepodobnosť jedna znamená, že
daná udalosť nastane s istotou. Najdôležitejší z týchto zákonov, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-additivity">zákon aditivity</a>
pravdepodobnosti, je možné vysvetliť aj neformálne. Hovorí, že pravdepodobnosť
nastatia jednej udalosti spomedzi navzájom sa vylučujúcich udalostí musí byť rovná
súčtu pravdepodobností týchto udalostí.<br />
<br />
Zoberme si napríklad hádzanie falošnou kockou. Nech by bola táto kocka akokoľvek nevyvážená, tak musí platiť, že pravdepodobnosť, že padne nejaké párne číslo, je rovná pravdepodobnosti, že padne dvojka, plus pravdepodobnosť, že padne štvorka, plus pravdepodobnosť, že padne šestka. Môže sa to zdať samozrejmé, ale veľa matematických zákonov je vlastne úplne samozrejmých, keď si ich človek trochu premyslí. Inak, je zaujímavé si uvedomiť, že matematik používa na narábanie
s pravdepodobnosťou v podstate taký istý aparát ako na narábanie
s plochami rovinných útvarov. Aditivita plochy znamená, že ak by sme nejaký útvar rozkrájali na kúsky, tak plocha pôvodného útvaru je rovná súčtu plôšok vzniknutých kúskov.<br />
<br />
<b>Ako môže vôbec existovať náhoda vo svete, kde platia prírodné deterministické zákony?</b><br />
<br />
Náš svet je, zdá sa, zvláštnou kombináciou <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Determinism">determinizmu</a> a náhodnosti. Najhlbšie zákony sveta, ktoré poznáme, to znamená zákony <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics">kvantovej mechaniky</a>, sú síce deterministické, ale deterministicky popisujú práve náhodnosť. Tieto zákony nevedia presne predpovedať čo sa stane, ale vedia v princípe presne predpovedať s akou <i style="mso-bidi-font-style: normal;">pravdepodobnosťou </i>sa čo stane.<br />
<br />
Na našej makroúrovni sa síce dajú formulovať fyzikálne
zákony, ktoré zdanlivo úplne jednoznačne určujú čo sa stane
v budúcnosti, ale je to naozaj iba zdanlivé. Aj maličké náhodné odchýlky
na mikroúrovni sa postupom času môžu zosilňovať a spôsobiť divergenciu makroskopických dejov; ide o známy <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_effect">efekt motýlích krídel</a>. Takouto divergenciou dejov sa zaoberá matematická teória <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory">chaosu</a> a <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_systems_theory">dynamických systémov</a>.<br />
<br />
Okrem toho, zrejme aj ak by bol náš svet vo svojej podstate úplne deterministický, mala by teória pravdepodobnosti svoje opodstatnenie, pretože pravdepodobnosť
môžeme použiť ako model miery našej vedomosti o javoch budúcich, ale aj
o javoch minulých. Pravdepodobnosť logicky konzistentne špecifikuje ako sa
mení naša miera nevedomosti pri postupnom získavaní informácie. Tomuto pohľadu
na pravdepodobnosť má blízko takzvaná <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_inference">Bayesovská štatistika</a>.<br />
<br />
<b>Načo sa táto oblasť matematiky využíva v praxi? Jej vzťahy k štatistike...</b><br />
<br />
Teória pravdepodobnosti sa využíva v rôznych situáciách, napríklad na stanovenie toho, aké pravidlá lotérie zabezpečujú zisk prevádzkovateľovi, v <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Actuarial_science">poistnej matematike</a> na určenie výšky poistného, v <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Queueing_theory">systémoch hromadnej obsluhy</a> s cieľom
povedzme zabezpečiť plynulosť prevádzky, pri určovaní
<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Reliability_theory">spoľahlivosti</a> systémov zložených z nespoľahlivých súčastí, alebo
aj vo <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Financial_mathematics">finančnej matematike</a> na modelovanie vývoja rôznych ekonomických
ukazovateľov a na oceňovanie finančných derivátov.<br />
<br />
Pravdepodobnosť sa tiež vyskytuje v základoch <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory">teórie informácie</a> a kódovania, preto je dôležitá aj pre počítačové vedy. Napríklad vyhľadávače na internete - internetový gigant Google používa na stanovenie <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/PageRank">hodnotenia stránok</a>, takzvaný <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain">markovovský reťazec</a>, čo je model patriaci do teórie pravdepodobnosti. Alebo ešte jeden príklad - väčšina z nás sa denne stretáva s nevyžiadanou elektronickou poštou, takzvaným spamom. No a na
<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_spam_filtering">filtrovanie spamov </a>sa používajú programy založené na teórii pravdepodobnosti, na takzvanom <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes_theorem">Bayesovom vzorci</a>.<br />
<br />
Ale najväčšie uplatnenie pravdepodobnosti je, že tvorí matematický základ štatistiky, čo je vlastne, veľmi zostručnene povedané, získavanie dôležitej informácie v podmienkach neurčitosti. Pravdepodobnosť možno chápať ako nástroj na modelovanie reálnych dejov s prvkami náhodnosti, ktorý nám umožňuje matematicky presne zdôvodniť používanie štatistických procedúr. <br />
<br />
Aplikácie štatistiky môžeme nájsť na každom kroku; spomeniem napríklad <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Clinical_trials">testovanie účinnosti liečiv</a> a vyhodnocovanie <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Opinion_poll"> prieskumov verejnej mienky</a>. Značná časť vedeckého výskumu, prakticky každý výskum, ktorý sa zakladá na experimentoch a modelovaní dejov s prvkami neurčitosti, používa matematickú štatistiku a sprostredkovane teóriu pravdepodobnosti. Od <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_mechanics">štatistickej mechaniky</a> vo fyzike, až po <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Experimental_psychology">experimentálnu psychológiu</a>.<br />
<br />
<b>Vzťah medzi matematikou a logikou; v akom vzťahu sú tieto dve formálne vedy?</b><br />
<br />
Matematici logiku neustále používajú, ale nie veľmi často sa nad samotnou logikou zamýšľajú. Logika je pre matematika niečo ako pravidlá hry, podobne ako v šachu (hoci na rozdiel od pravidiel šachu, iné "pravidlá matematiky", čiže inú matematickú logiku, si neviem celkom dobre predstaviť). Šachisti pravidlá vyčerpávajúco ovládajú, ale explicitne sa nad nimi nezamýšľajú; skôr sa snažia hľadať v rámci pravidiel šachové kombinácie. Napriek tomu, že pravidlá šachu aj pravidlá logiky sú jednoduché, tak existuje skoro nekonečne veľa možných prípustných šachových kombinácií a, analogicky, platných odvodení matematických tvrdení.<br />
<br />
Možno by sa táto metafora dala potiahnuť aj trochu ďalej. Práve kvôli prísnym
pravidlám nie sú v šachu prakticky nikdy spory, kto vyhral, a ani v matematike nie sú skoro nikdy spory, či je dané matematické odvodenie platné. To odlišuje matematiku od ostatných vied. Matematika prakticky nikdy neprehodnocuje to, k čomu v minulosti dospela; keď sa raz nejaké matematické tvrdenie dokáže, tak už je pravdivé navždy. (To tvrdenie bolo samozrejme pravdivé aj kedykoľvek predtým, len my sme o ňom nevedeli, alebo sme ho možno tušili, len sme si neboli úplne istí, že platí. Matematika je ako objavovanie a mapovanie fascinujúcej neznámej krajiny, ktorá existuje nezávisle na nás.) Preto sú <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements">"Euklidove základy"</a>
rovinnej geometrie úplne bez zmeny platné aj dnes po 2300 rokoch, hoci samozrejme metódy výkladu sa zmenili. A preto je v matematike, najmä v takzvanej <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pure_mathematics">"čistej" matematike</a>, dnes už veľmi ťažké objavovať principiálne nové tvrdenia, ktoré by boli zaujímavé pre viac ako hŕstku špecialistov a ktoré by sa dali stručne a jasne opísať v bežnom jazyku.<br />
<br />
<b>Čo je pre matematika možné, čo nemožné, čo pravdepodobné a čo skutočné?</b><br />
<br />
Povedal by som, že pre matematika nie je skoro nič úplne nemožné s výnimkou logicky sporných vecí, ako napríklad, že niečo existuje a súčasne neexistuje. To je možno trochu iná odpoveď, akú by ste dostali od fyzika; ten by možno povedal, že nemožné je cestovať rýchlosťou vyššou ako je rýchlosť svetla. To je síce v našom vesmíre pravda, naša fyzika to neumožňuje, ale pre matematika to principiálne nemožné nie je, lebo matematika, zdá sa, je v schopná popísať aj
iný vesmír ako je ten náš.<br />
<br />
No, predsa len sa mi ako matematikovi niektoré veci zdajú nemožné. Zdá sa mi, že je principiálne nemožné, aby existoval vesmír <i>bez matematických objektov</i>, aj tých najzložitejších. Ak je niekde vo vesmíre nejaká technicky veľmi vyspelá civilizácia, som si istý, že v nejakej forme pozná číslo <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pi">pí</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function">Riemannovu zeta funkciu</a>, alebo aj ohromne komplikovaný matematický objekt s názvom <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group">"Monštrum"</a>.<br />
<br />
<b>Prečo sa javy vo svete dajú matematicky modelovať, prečo je možná matematizácia?</b><br />
<br />
Toto je veľmi ťažká otázka, nad ktorou sa už ľudia zamýšľajú dlho, ale odpoveď nám zatiaľ uniká. Môžeme len konštatovať, že je to skrátka tak, že matematika sa ukázala ako mimoriadne účinný nástroj na popis nášho
sveta. Dokonca pre fundamentálne fyzikálne teórie, akou je napríklad kvantová
mechanika, by sme si bez matematiky nevedeli vôbec pomôcť, pretože kvantové
javy sa vzpierajú našim predstavám a intuícii. Na prekvapenie, pre
matematiku nie je popis týchto javov problém.<br />
<br />
Zaujímavé je uvedomiť si nielen to, že fyzika (a teda značná časť celej vedy) sa zakladá na matematických postupoch, ale aj to, že naše pochopenie matematiky je fyzikou <i>umožnené</i>. Dá sa povedať, že náš vesmír má potenciál spoznávať sám seba. Matematika je v nejakom veľmi hlbokom zmysle
súčasťou nášho sveta a zdá sa, že tvorí s fyzikou neoddeliteľný
celok. Dovolím si tvrdiť, že žiadny človek tomuto vzťahu matematiky a fyziky zatiaľ dokonale neporozumel...Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-79679582010182022242012-08-01T21:25:00.000+02:002015-09-06T13:09:10.874+02:00Dva trojuholníky a tri štvorcePo dlhšom čase som pre Vás vymyslel dve nové úlohy; keďže je leto, tak rekreačné a navyše také, ktoré je možné riešiť skoro všade. Stačí papier a ceruzka, alebo piesok a prst. :)<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvnVyi4YHSrqIdci41tof4NZs15Eao6ibh8zhHVshZPR0JI6VXl82X2_rI1Lv3lNrlFhDmpaTZNgZ5C1DNgWWwygvtRTtFDjq__R7Xw1vKz1T_5qR4nqscfhK9kWL68Pv1A_JfhX7F0nU/s1600/DvaTriTriStyri.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvnVyi4YHSrqIdci41tof4NZs15Eao6ibh8zhHVshZPR0JI6VXl82X2_rI1Lv3lNrlFhDmpaTZNgZ5C1DNgWWwygvtRTtFDjq__R7Xw1vKz1T_5qR4nqscfhK9kWL68Pv1A_JfhX7F0nU/s320/DvaTriTriStyri.png" width="320" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<i>Je možné, aby dva trojuhoníky vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 8 rôznych trojuholníkov? Je možné, aby tri štvorce vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 7 rôznych štvorcov?</i><br />
<br />Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-13943258623455491902012-02-07T10:49:00.001+01:002015-09-06T13:09:42.174+02:00Opica<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Monkey-typing.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Monkey-typing.jpg" height="179" width="320" /></a></div>
<br />
Opica stotisíckrát náhodne udrie do klávesnice s 26 <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/English_alphabet">základnými písmenami</a>, pričom pri každom údere zasiahne každé z písmen s pravdepodobnosťou 1/26. Čo má vo výslednom reťazci väčšiu <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value">strednú hodnotu</a>: počet výskytov podreťazca "aaaa", alebo počet výskytov podreťazca "abcd"? <br />
<br />
<span style="font-size: x-small;">Odpovede na anticipované otázky: Ak sa v reťazci vyskytnú viac ako 4 a-čka za sebou, započítavame každý výskyt štvorice a-čiek ako <i>rôzny</i> podreťazec "aaaa". Čiže napríklad reťazec "xaaaaaaaay" obsahuje až 5 podreťazcov "aaaa", nie dva, zatiaľ čo reťazec "xabcdabcdy" obsahuje samozrejme len dva podreťazce "abcd". Túto úlohu mám od môjho kolegu Jana Somorčíka</span>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com16tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-26154881353193510242012-01-25T23:52:00.000+01:002015-09-06T13:10:33.534+02:00Veže<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyAZLMgYIQcMWGTOtOjyrX53LfoXWXXpO5VmMZicDQIf8eXufu4CloJ04-EHhAFzOPJutd09BGH_wg3NzZ-Hqr7VWfWx0ix9XhzMIoNcGSm5IKCnnF_SJZA8n5Dpj0d5GLXaqEtm5Z6QU/s1600/Kocky.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyAZLMgYIQcMWGTOtOjyrX53LfoXWXXpO5VmMZicDQIf8eXufu4CloJ04-EHhAFzOPJutd09BGH_wg3NzZ-Hqr7VWfWx0ix9XhzMIoNcGSm5IKCnnF_SJZA8n5Dpj0d5GLXaqEtm5Z6QU/s320/Kocky.png" width="320" /></a></div>
<br />
<i> Agátka si z 21 drevených kociek postavila niekoľko veží. Z každej veže vzala vrchnú kocku a zo zozbieraných kociek postavila novú vežu. Potom opäť vzala z každej veže najvrchnejšiu kocku a z týchto kociek postavila novú vežu a tak ďalej. Keď po dlhom čase so svojou hrou skončila, koľko mala veží? </i><br />
<br />
Poznámka: Aj jednu kocku považujeme za vežu. Keď z takejto veže vezme Agátka vrchnú (čiže jedinú) kocku, táto veža zanikne a príslušná kocka sa stane súčasťou novej veže.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com13tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-23915836089859331362012-01-20T10:38:00.000+01:002015-09-06T13:11:30.887+02:00Ajkina úlohaMoja doktorandka Ajka Bachratá mi včera zadala takúto domácu úlohu:<br />
<br />
<i>Vieme, že v istej skupine 1000 ľudí je aritmetický priemer IQ presne 100 a rozptyl je presne 900. Aký je maximálny možný počet ľudí v tejto skupine, ktorí majú IQ aspoň 150?</i><br />
<br />
Ako svedomitý školiteľ som si svoju domácu úlohu vyriešil a keďže sa mi celkom páčila, rozhodol som sa, že sa o ňu podelím aj s Vami. Riešenie si nevyžaduje žiadnu náročnú matematiku, no súčasne nie je úplne priamočiare.<br />
<br />
Poznámka: V našej úlohe nie je úplne jednoznačne povedané čo sa myslí pod pojmom "rozptyl". Keď si pozrieme príslušnú <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance">stránku wikipedie</a>, tak zistíme, že do úvahy prichádzajú dve mierne odlišné definície: "vychýlený výberový rozptyl" a "nevychýlený výberový rozptyl". Ak by mal štatistik len súbor reálnych dát<br />
<br />
y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,...,y<sub>1000</sub><br />
<br />
bez znalosti presnej strednej hodnoty rozdelenia, z ktorého dáta pochádzajú, skoro určite by použil "nevychýlený výberový rozptyl". Avšak v našom príklade sa dohodnime, že kvôli jednoduchosti riešenia budeme pod pojmom "rozptyl" uvažovať "vychýlený výberový rozptyl", čiže aritmetický priemer čísiel<br />
<br />
(y<sub>1</sub>-100)<sup>2</sup>,(y<sub>2</sub>-100)<sup>2</sup>,..., (y<sub>1000</sub>-100)<sup>2</sup>.<br />
<br />
Ak by sme náhodne vybrali 1000 ľudí z populácie, tak ich priemerné IQ bude skutočne okolo 100, ale výberový rozptyl bude oveľa menší ako 900 (pre <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/IQ_testing">štandardizované testy</a> bude približne 225). Skupina zo zadania by musela byť teda veľmi zvláštna...Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com10tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-83835057432572175902012-01-05T17:35:00.005+01:002015-09-06T13:12:01.630+02:00Tri čísla<i> Nájdite tri rôzne prirodzené čísla a,b,c také, že a+b je deliteľné číslom c+1, súčasne a+c je deliteľné číslom b+1 a súčasne b+c je deliteľné číslom a+1. </i><br />
<br />
Poznamenám, že túto úlohu je možné vyčerpávajúco vyriešiť (čiže nájsť všetky riešenia a tiež <i>dokázať</i>, že tie riešenia sú naozaj všetky) na pár riadkov a to len pomocou základnej aritmetiky a úvah týkajúcich sa deliteľnosti.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com14tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-39833733378829112452012-01-04T15:03:00.001+01:002015-09-06T13:12:44.792+02:00StudňaNasledovnú úlohu položili autori knihy "<a href="http://www.amazon.com/How-Solve-Heuristics-Zbigniew-Michalewicz/dp/3540660615">How to Solve It: Modern Heuristics</a>" veľkému počtu ľudí, z ktorých každý mal aspoň bakalársky titul z matematiky, informatiky, prípadne techniky. Nechce sa mi tomu ani veriť, ale údajne len jedno percento týchto ľudí našlo (nejaké) správne riešenie, pričom mali k dispozícii celú hodinu! Pokúste sa túto úlohu vyriešiť aj Vy a napíšte nám do komentárov ako dlho Vám to trvalo.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj73ukndz0WLpmmHFDFHGPvSbLpPA51r-C97bhIPqXvNiUBo3ByMqrEQz1u1Qb_4_MbYnn4-9boMFyLFho78k9ES5kw35AvqGMxLqETIeaiN7FcOrm1YHuJDB9JtqaH5GcaGFjkOmkr6Sk/s1600/studna.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj73ukndz0WLpmmHFDFHGPvSbLpPA51r-C97bhIPqXvNiUBo3ByMqrEQz1u1Qb_4_MbYnn4-9boMFyLFho78k9ES5kw35AvqGMxLqETIeaiN7FcOrm1YHuJDB9JtqaH5GcaGFjkOmkr6Sk/s320/studna.png" width="269" /></a></div>
<i>Do "dvojrozmernej studne" s vodorovným dnom a zvislými stenami vzdialenými od seba 3 metre sme hodili dve rovné palice dĺžok 4 a 5 metrov, ktoré sa ustálili v pozícii zaznačenej na obrázku. Ako vysoko od dna leží bod, v ktorom sa tieto palice "pretínajú"?</i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com25tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-30104317781139278862011-12-18T21:09:00.001+01:002015-09-06T13:13:20.780+02:00Znamienka<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimBomRZbq5wxFKLeyfDDhbcEMmNFNOQ-xnxiin__LtpBEjLhCW3tEljXmVE_UHgctRKhHUJC5CwOeEJSK_X1Ji3uxJEWY8jcfERQ0brHWOxrY7AZp9-qUhKzh8Tw9rxs2lR4XBkpcmqUc/s1600/znam7.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="71" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimBomRZbq5wxFKLeyfDDhbcEMmNFNOQ-xnxiin__LtpBEjLhCW3tEljXmVE_UHgctRKhHUJC5CwOeEJSK_X1Ji3uxJEWY8jcfERQ0brHWOxrY7AZp9-qUhKzh8Tw9rxs2lR4XBkpcmqUc/s320/znam7.png" width="320" /></a></div>
<br />
<i>Pre ktoré čísla n existuje n-tica e<sub>1</sub>,...,e<sub>n</sub> "znamienok" (čiže n-tica pozostávajúca z čísiel -1 a 1) taká, že e<sub>1</sub>1+e<sub>2</sub>2+...+e<sub>n</sub>n=0?</i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com13tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-5459497607413036292011-09-23T22:44:00.003+02:002015-09-06T13:14:55.231+02:00Nemožné?<i>Použitím cifier 1, 2, 3, ..., 9 (každú najviac raz) a operácii plus, mínus, krát, deleno, druhá odmocnina, umocňovanie, dvojkový logaritmus a zátvoriek napíšte ľubovoľné prirodzené číslo.</i><br />
<br />
To je zadanie úlohy, ktoré mi pred pár dňami poslal Ondrej Budáč. Vzhľadom na to, že na prvý (aj druhý, aj tretí...) pohľad vzbudzuje úloha dojem neriešiteľnosti, uvediem tiež vlastné, trochu podrobnejšie, "informaticky ladené" znenie:<br />
<br />
<i> Nájdite spôsob ako konštruovať výrazy v<sub>1</sub>, v<sub>2</sub>, ... (v nejakom hypotetickom programovacom jazyku, ktorý počíta úplne presne s reálnymi číslami a má neobmedzenú dĺžku výrazov) také, že hodnota výrazu v<sub>i</sub> je i. Každý z výrazov v<sub>i</sub> môže obsahovať maximálne raz každú z cifier 1,2,..,9 a ľubovoľnekrát operátory +,-,*,/,^, funkcie sqrt,log2 a zátvorky (,). (Funkcia sqrt počíta druhú odmocninu a log2 dvojkový logaritmus.) Cifra 0 ani žiadne iné operátory a funkcie (ani premenné a konštanty) nie sú dovolené. </i><br />
<br />
Ja som sa s týmto problémom trápil najprv asi pol hodiny, ale po dlhšej pauze ma napadlo riešenie už veľmi rýchlo. Naozaj to ide, nie je v tom žiadny chyták!Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-73868100882155407812011-09-07T00:28:00.004+02:002015-09-06T13:15:47.074+02:00Polárny súčet kružnícKeď som sa dnes zabával s Matlabom, natrafil som na jeden celkom pozoruhodný fenomén, ktorý ma v prvej chvíli prekvapil. Formulujme si ho ako úlohu.<br />
<br />
<i>V rovine máme zakreslených n kružníc C<sub>1</sub>,...,C<sub>n</sub> prechádzajúcich počiatkom O súradnicovej sústavy. Každá priamka p prechádzajúca bodom O pretne kružnicu C<sub>k</sub> v dvoch bodoch - v bode O a v bode, ktorý si označíme A<sub>k</sub>(p). (Ak je priamka p dotyková ku kružnici C<sub>k</sub>, tak definujeme A<sub>k</sub>(p)=O.) Aká je množina všetkých bodov tvaru S(p)=A<sub>1</sub>(p)+...+A<sub>n</sub>(p), kde p je priamka prechádzajúca počiatkom O? (Body sčítavame ako vektory.)</i><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhITBl_Q_ZBkcpFdLXQpkclBxwV5peC7hFkkVBQM97qDLZKhZv9yODr9rM_UnaefSfjU8ZSzCDq4nXKc_edC-kntddP7lfOayFVH95rignVFPuriMpAvmhiv3K_pM_pNqkRdErzZSuGhQo/s1600/Kruznice.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="301" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhITBl_Q_ZBkcpFdLXQpkclBxwV5peC7hFkkVBQM97qDLZKhZv9yODr9rM_UnaefSfjU8ZSzCDq4nXKc_edC-kntddP7lfOayFVH95rignVFPuriMpAvmhiv3K_pM_pNqkRdErzZSuGhQo/s400/Kruznice.png" width="400" /></a></div>
<br />
Táto úloha je možno trochu ťažšia, takže vítané sú aj čiatočné riešenia (napríklad riešenia pre špeciálne prípady), nápady, skrátka akékoľvek potenciálne zaujímavé komentáre.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com12tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-32247585286674098342011-08-25T22:14:00.006+02:002015-09-06T13:16:10.794+02:00Vláčik V piatok pred dvomi týždňami som cestoval vlakom z Londýna do Paríža a cestu som si krátil čítaním učebnice, ktorú som dostal na recenziu, konkrétne časti o miere zakrivenia kriviek. Vtedy ma napadla nasledovná úloha. <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCzPSw3fY-XycrzlQCLJ5RgHuQNt-MHYxTApW0c-PTMBArFZ_Lf5LbtkMJ-xpEmve3WCHE27IXr4dTZf9__OtBZuwQGs3ElCGCOxlDqB4W1tM4v7r_3TG4yKfn96HKwTVFp-e4dn5IWuk/s1600/Vlacik.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCzPSw3fY-XycrzlQCLJ5RgHuQNt-MHYxTApW0c-PTMBArFZ_Lf5LbtkMJ-xpEmve3WCHE27IXr4dTZf9__OtBZuwQGs3ElCGCOxlDqB4W1tM4v7r_3TG4yKfn96HKwTVFp-e4dn5IWuk/s320/Vlacik.png" width="320" /></a></div>
<br />
<i> Tri mestečká A,B,C ležia na spoločnej priamke, pričom vzdialenosť A a B je 2 a vzdialenosť B a C je tiež 2. Je potrebné vybudovať systém koľajníc, po ktorých bude nepretržite premávať vlak z A do B, z B do C, z C do A, z A do B atď. Konštrukcia vlaku (s lokomotívou len na jednom konci) si vyžaduje, aby zakrivenie koľajníc nebolo nikde väčšie ako 1, čím myslíme to, že žiadne tri blízke body na koľajnici nebudú ležať na kružnici, ktorá má polomer menší ako 1. Takže koľajnice môžu napríklad pozostávať z "hladko nadväzujúcich" úsečiek a častí kružníc s polomerom aspoň 1. Jeden možný návrh koľajníc je na ilustračnom obrázku. Nájdite taký systém koľajníc, ktorý umožní vlaku urobiť v priebehu dňa čo najväčší počet návštev všetkých troch miest. Na celkovej dĺžke koľajníc nezáleží a na železničnej trati môžu byť mosty a výhybky, nie však zariadenie na otáčanie vlaku do opačného smeru.</i><br />
<br />
Táto úloha je samozrejme jednoduchá, avšak hľadanie najkratšej krivky s ohraničenou krivosťou prechádzajúcej zadanými bodmi je vo všeobecnosti veľmi ťažká úloha. (Upozorňujem, že riešením nášho problému, tak ako je formulovaný, nemusí byť jediná nepretínajúca sa sa krivka.) Keď Vás napadne nejaká iná úloha z tejto kategórie, budem rád, ak nám ju napíšete do komentárov.Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-5005108195615078852011-08-07T19:53:00.001+02:002015-09-06T13:16:47.803+02:00Päť rovnakých cifier<i>Pre každú cifru c</i>=1,...,9<i> nájdite matematický výraz, ktorého výsledná hodnota je </i>100<i>, pričom treba dodržať tieto podmienky: Daný výraz musí obsahovať práve 5 cifier c, ale žiadnu inú cifru. Okrem týchto piatich cifier sa v ňom môžu vyskytovať štandardné aritmetické operátory (</i>+<i>,</i>-<i>,</i>*<i>,</i>/<i>) symbol faktoriálu (</i>!<i>),</i><i> umocňovania (</i>^<i>), </i><i>druhej odmocniny</i><i> a zátvorky. Napríklad pre cifru </i>1<i> platí </i>111-11=100<i> a pre cifru 2 máme </i>((22-2)/2)^2=100<i>.</i><br />
<br />
Týmto oddychovým problémom nás na <a href="http://www.um.sav.sk/en/probastat2011.html">Probastate</a> pobavil <a href="http://www.zib.de/sagnol/">Guillaume Sagnol</a>. Postupne sme našli riešenia pre všetky cifry okrem 7 a 8. Túto úlohu údajne kedysi publikoval istý francúzsky časopis a riešenie pre sedmičku sa nepodarilo nájsť žiadnemu z tisícov čitateľov. Takže držím palce...Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com15tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-57800320633659157142011-07-27T23:51:00.003+02:002015-09-06T13:17:27.976+02:00Servítkový problémPozdravujem všetkých z Cambridge. Počas minulotýždňovej konferencie na <a href="http://www.newton.ac.uk/">Matematickom inštitúte Isaaca Newtona</a> začal <a href="http://www.cl.cam.ac.uk/~aib29/">Andrei Bejan</a> svoju prednášku nasledovným rekreačným problémom (autorom je <a href="http://www-old.fizmat.vspu.ru/doku.php?id=marathon:about">Vladimir Letsko</a>).<br />
<br />
<i>Štvorcovú servítku preložíme tak, aby zhyb prechádzal jej stredom, čím dostaneme nekonvexný deväťuholník (pozri obrázok). Aký je maximálny možný obsah tohto deväťuholníka?</i><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIscE1j6SN32jpM71CD2cjyy7oABT0vN2PuR-LmFsvpo6LdoGAlt8ynVEGNqUoQ-3_P9rUFIEdPFVdTozqxcSf8Qi1E3pmC_6x7XkjaCUoF7xthO52HOrMwDr1_VHzCD1FiTeHYl76MHo/s1600/Servitka.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="195" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIscE1j6SN32jpM71CD2cjyy7oABT0vN2PuR-LmFsvpo6LdoGAlt8ynVEGNqUoQ-3_P9rUFIEdPFVdTozqxcSf8Qi1E3pmC_6x7XkjaCUoF7xthO52HOrMwDr1_VHzCD1FiTeHYl76MHo/s400/Servitka.png" width="400" /></a></div>
<br />
Na večeri sme sa s kolegami o tomto probléme rozprávali a niektorí z nich bez dlhšieho premýšľania odhadli, že rigorózne riešenie je možné len pomocou nudných analytických metód hľadania extrémov funkcií. Nie je to však tak! Podarí sa niekomu z Vás nájsť "some beautiful solution"?Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-85477070458451333132011-04-28T11:56:00.006+02:002011-05-03T11:51:31.917+02:00Moja habilitačná prednáška V pondelok 2.5. o 14:00 budem mať v C-čku na matfyze habilitačnú prednášku a po krátkej prestávke obhajobu habilitačnej práce. Budem veľmi rád, keď si ma prídete vypočuť!<br />
<br />
Téma habilitačnej prednášky je "Pátranie po informáciách skrytých v mnohorozmerných dátach", čiže hovoriť budem o mnohorozmerných štatistických metódach. Ukážem zjednocujúci pohľad na viacero zdanlivo nesúvisiacich metód a niektoré z nich vysvetlím podrobnejšie (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Principal_component_analysis">metódu hlavných komponentov</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Cluster_analysis">analýzu zhlukov</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_classification">klasifikačné metódy</a>), avšak skôr intuitívne a s viacerými obrázkami. V tejto téme nie som nejaký extra expert a navyše je táto téma extrémne široká a pomerne málo "matematická" (radšej by som bol, keby mi boli vybrali napríklad stochastické simulačné metódy), ale verím, že Vás aj napriek tomu dokážem zaujať.<br />
V obhajobe habilitačnej práce veľmi stručne spomeniem moje kľúčové výsledky z oblasti <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_design">optimálneho navrhovania experimentov</a>. Prednáška aj obhajoba bude po anglicky.<br />
<br />
2.5.: Ďakujem Vám všetkým, ktorí ste si ma prišli vypočuť. Pre záujemcov dávam k dispozícii moje slidy (aj keď bez slovného komentára to je veľmi nekompletné a možno aj ťažko zrozumiteľné).<br />
<br />
<ul><li><a href="http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/HABT05.pdf">Habilitačná prednáška.</a></li>
<li><a href="http://www.iam.fmph.uniba.sk/ospm/Harman/HABD04.pdf">Obhajoba habilitačnej práce.</a></li>
</ul><br />
Ak by ste na týchto slidoch našli nejaké chyby, dajte mi o nich vedieť, ja ich opravím a budem sa tváriť, že to bolo od začiatku dobre :)Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-42025638070387109322011-02-25T11:02:00.004+01:002015-09-06T13:18:17.529+02:00Ťažisko rezu<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgADadp8YcuCfEUfgSXJpAUnnAtZanVygW8kKeSYzlLpjiAh0Sns1aqBznLL-uCIrtzN2tygc-2VQrLETohz96IXeBBSeUwP68T-yK3UDqkIaSZo17G9z2IM4tgRQ9vGIHQhMMG4wO7evA/s1600/Tetra.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="189" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgADadp8YcuCfEUfgSXJpAUnnAtZanVygW8kKeSYzlLpjiAh0Sns1aqBznLL-uCIrtzN2tygc-2VQrLETohz96IXeBBSeUwP68T-yK3UDqkIaSZo17G9z2IM4tgRQ9vGIHQhMMG4wO7evA/s200/Tetra.png" width="200" /></a></div>
Metóda "alias" používaná na simulačné generovanie diskrétnych náhodných premenných sa opiera o <a href="http://www.jstor.org/pss/3213842">vetu</a>, ktorej špeciálny prípad je možné pekne geometricky interpretovať:<br />
<br />
<i>Akýkoľvek bod C vo vnútri <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron">štvorstena</a> je </i><i> <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Centroid">ťažiskom</a> nejakého trojuholníka, ktorého vrcholy ležia na hranách tohto štvorstena</i><i>.</i><br />
<br />
Vedeli by ste túto vetu dokázať? Napadajú Vás nejaké zovšeobecnenia tejto vety?<br />
<br />
(Ospravedlňujem sa všetkým riešiteľom, ktorí sa trápili s pôvodnou nesprávnou formuláciou vety.)Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-699980523710460806.post-18198202922487735092011-02-05T17:29:00.002+01:002015-09-06T13:18:56.022+02:00Tri sochy<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyWd38gpEdUPlXkHM4rtNdHIhpckCqeRVWqX0z_GIQNhT75RZq3bOO0dXcXuE1AQhcEwDPTqVlTxcX69WzOtBFA6FRmy_f6kvCdiEAFiG-QzyStALqbaJuvZ7sv7zDo9RKuGQTMEUeJBQ/s1600/TriSochy.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="165" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyWd38gpEdUPlXkHM4rtNdHIhpckCqeRVWqX0z_GIQNhT75RZq3bOO0dXcXuE1AQhcEwDPTqVlTxcX69WzOtBFA6FRmy_f6kvCdiEAFiG-QzyStALqbaJuvZ7sv7zDo9RKuGQTMEUeJBQ/s200/TriSochy.png" width="200" /></a></div>
Kto nám do komentárov ako prvý napíše správne riešenie nasledovnej úlohy, dostane odo mňa knihu "<a href="http://www.amazon.co.uk/Professor-Stewarts-Cabinet-Mathematical-Curiosities/dp/1846683459/">Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities</a>" od <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ian_Stewart_%28mathematician%29">Iana Stewarta</a> (to aby som Vás motivoval túto úlohu aspoň dočítať do konca). Zadanie pochádza od Braňa Novotného (ďakujeme) a sponzorom tejto súťaže je, hoci o tom nevie, <a href="http://www-m4.ma.tum.de/pers/klein/">Thomas Klein</a> (tiež ďakujeme; keď ma bol navštíviť, doniesol mi knižku, ktorú už vlastním :). <br />
<br />
<i> Na ceste za pokladom je chrám, z ktorého vedú dve cesty - vľavo a vpravo. Jedna vedie k pokladu a jedna do záhuby. V chráme sú tri sochy. Jedna vždy hovorí pravdu, jedna vždy klame (hovorí nepravdu - tj. nesnaží sa zavádzať), a jedna odpovedá náhodne.</i><br />
<br />
<i> O sochy sa starajú dvojičky, ktoré môžu položiť sochám dve otázky denne, vždy sa musí pýtať práve jeden z nich práve jednej sochy a tá odpovie podľa svojej prirodzenosti, ale keďže sú to iba sochy, tak zvládnu iba A a O, jedno znamená áno, druhé nie. Sochy majú dosť informácií: tj. rozoznajú bratov, vedia ktoré dvere sú správne, majú rozumný prehľad o svojom okolí a ak sa ich niekto spýta otázku, na ktorú nevedia korektne odpovedať A, alebo O, tak odpovedia náhodne.</i><br />
<br />
<i> Hľadačovi pokladu vysvetlia bratia pravidlá a za dostatočnú odmenu sú ochotní spýtať sa sôch dve pútnikove otázky a to tak, že (hľadačom) vybraný brat otázku presne zopakuje vybranej soche a vypočuje si odpoveď a tú povie hľadačovi, lenže starší brat odpoveď vždy zmení na opačnú. Samozrejme bratia neprezradia ktorý z nich je starší, ktoré z A a O je áno a ktoré nie a sochu, ktorej sa budú pýtať, môže hľadač určiť iba ako vľavo, vpravo a v strede.</i><br />
<br />
<i>Aké dve otázky sa má hľadač spýtať, aby sa dozvedel ktorá cesta vedie k pokladu?</i>Radoslav Harmanhttp://www.blogger.com/profile/12198387954572628469noreply@blogger.com9