Ali Baba a 40 zbojníkov

Keďže Vás včerajšia úloha očividne veľmi nezaujala, možno Vás zaujme nasledovná jednoduchá, ale zábavná klasika.

Ali Baba zajal 40 zbojníkov (trochu sme si prispôsobili pôvodný dej), ale rozhodol sa niektorých z nich ušetriť. Ali sa rozhodol, že zoradí všetkých 40 zbojníkov do zástupu tak, že každý z nich bude vidieť na hlavu všetkých zbojníkov pred ním, no nebude vidieť na zbojníkov za ním; bude ich len počuť. Potom im všetkým Ali položí na hlavu buď bielu, alebo čiernu čiapku. Ušetrený bude ten zbojník, ktorý uhádne, akú čiapku má na hlave. Svoj tip, t.j. slovo "biela", alebo "čierna" bude môcť každý zbojník povedať len raz a okrem toho nebude môcť povedať nič iné. Poradie, v akom budú zbojníci vyhlasovať svoje tipy, si môžu zvoliť. Predtým však môžete poradiť úbohým zbojníkom stratégiu, ktorá ich zachráni čo najviac. Pokúste sa ju vysvetliť čo najjednoduchšie, pretože je známe, že zbojníci vedia počítať len na prstoch a pritom niektorým z nich už zostal len jeden.

Braňov problém

Dnes sa u mňa stavil Braňo Novotný (doktorand na MÚ SAV) a z voľnej debaty vyplynul nasledovný rekreačný matematický problém. Poznámka: rekreačný sa vo všeobecnosti nerovná jednoduchý.

Pre 2n bodov v rovine nazveme disjunktným párovaním také rozdelenie týchto bodov do n dvojíc, že úsečky spájajúce jednotlivé páry sa nepretínajú (krajné body považujeme za súčasť úsečky). Z ilustračného obrázku vľavo hore vidíme, že vieme nájsť konfigurácie štyroch bodov v rovine, pre ktoré existuje práve jedno, práve dve a aj práve tri disjunktné párovania. Viac disjunktných párovaní štvorice bodov očividne nemôže existovať. Pre šesť bodov je však situácia komplikovanejšia:

Koľko disjunktných párovaní môže mať šestica bodov v rovine? Formálnejšie: Nájdite množinu M tých čísel m, že existuje šestica bodov v rovine, ktoré je možné disjunktne popárovať práve m spôsobmi.

Keď usporiadame 6 bodov tak, aby ležali na spoločnej priamke, existuje len jedno párovanie, t.j. množina M obsahuje číslo 1. Ak usporiadame 6 bodov do vrcholov pravidelného šesťuholníka, nájdeme 5 rôznych popárovaní, čiže aj číslo 5 patrí do množiny M. (Pozri obrázok vpravo; každá z piatich farieb určuje iné disjunktné párovanie.)

Ktoré ďalšie čísla patria do tejto množiny? (Väčšinu z nich nájdete jednoduchým experimentovaním s obrázkmi.) Viete nájsť horné ohraničenie množiny M, t.j. také číslo, že žiadne m z M nemôže byť väčšie?

27.10.: Nasledujúce obrázky ukazujú, že do množiny M patria čísla 3,4,5,6,7,10.




10.11.: Ako upozornil Braňo v komentároch, existujú aj konfigurácie (zobrazené nižšie) vedúce na 11 a 12 disjunktných párovaní.


Zostáva nám teda ešte nasledovná úloha: Patria do množiny M niektoré z čísiel 2,8,9,13,14,15?

Neodbytný nápadník

Matfyzáčka Katka sa práve nachádza na člnku v strede kruhového jazera, keď zrazu zbadá, že z brehu sa na ňu usmieva jej neodbytný nápadník Fero. Katka vie, že na pevnej pôde Ferovi určite utečie, ak sa Fero nedostaví na miesto jej vylodenia skôr ako ona. Veslovaním sa však Katka pohybuje štyrikrát pomalšie, ako vie Fero bežať po brehu, čiže zamieriť priamo na opačnú stranu jazera jej nepomôže (keďže 4r>πr). Existuje stratégia pohybu po jazere, ktorá Katke zaručí, že sa stretnutiu s Ferom určite vyhne? (Predpokladáme, že Katka v každom okamihu presne pozná pozíciu ako svojho člnku, tak aj Fera. A samozrejme Fero nevie plávať.)

S touto elementárnou, ale peknou úlohou som sa stretol v už viackrát spomínanej knihe Martina Gardnera. Pochopiteľne, trochu som pomenil osoby a obsadenie. Svoje riešenie môžete napísať ako komentár k tomuto príspevku.

Kto z Vás má najlepší kvantitatívny odhad?

Pokúste sa odhadnúť bez použitia akýchkoľvek pomôcok okrem svojho zraku a rozumu nasledovné čísla: 1) Počet zelených bodíkov na prvom obrázku; 2) Celkovú dĺžku červenej uzavretej krivky na druhom obrázku; 3) Vertikálnu (y-ovú) súradnicu ťažiska systému modrých krúžkov na treťom obrázku.

Svoje tri číselné odhady môžete napísať do komentárov; vyhráva ten, kto dosiahne minimálnu hodnotu chyby vypočítanej podľa vzorca:

kde n₁, n₂, n₃ sú Vaše odhady a n^*₁, n^*₂, n^*₃ sú skutočné hodnoty. (Všimnite si, že tento vzorec penalizuje nulou presný odhad a jednotkou odhad, ktorý je buď dvojnásobok, alebo polovica v porovnaní so skutočnou hodnotou.)

Poznámka 7.10.: Tipovaciu súťaž sme už ukončili. Výsledky a "diskusiu" si môžete prečítať v komentároch.