Zbierka úloh z pravdepodobnosti je na svete

Po dlhom čase vymýšľania zadaní, počítania riešení, kontrol a editovania nám vyšla naša prvá kniha: Zbierka úloh zo základov teórie pravdepodobnosti. Hurá!

Zbierka obsahuje 519 úloh, z ktorých každá má uvedený aspoň číselný výsledok, a väčšina dokonca podrobný postup riešenia. Okrem rôznych príkladov na cvičenia, domáce úlohy a písomky, zaradili sme do nej aj viacero komplexnejších a zábavných úloh, napríklad klasiky ako Buffonovu ihlu a Buffonovo vlákno, úlohu o ruinovaní, Monty Hall problem, problém zberateľa kupónov, Banachove zápalky, dvojrozmernú náhodnú prechádzku a podobne, ale aj vlastné úlohy, ako napríklad úlohu o kurzoch stávkových kancelárií, nové úlohy o lámaní úsečiek, problémy počtov cyklov v náhodných permutáciách, úlohy týkajúce sa rozdelenia IQ v populácii a mnohé iné. Dúfame, že zaujmú.

Bohužiaľ, väzba knihy je dosť nevhodne zvolená a nekvalitne urobená (kniha sa dá len veľmi ťažko úplne roztvoriť a nebude sa z nej dať dobre kopírovať), ale za to už my, autori, nemôžeme. Každopádne, zbierka sa čítať dá a teraz nás už čaká len rozhodovanie, ako budeme našu zbierku rozdeľovať medzi ľudí a najmä akým spôsobom získame čo najväčšiu spätnú väzbu, aby sme vychytali chyby, lepšie vyvážili zadania a pripravili druhé vydanie :-)

Poznámka: Úlohy z prvej kapitoly si môžete pozrieť tu.

Fermatova množina

Dnes uplynulo presne 345 rokov od smrti slávneho Fermata a pri tejto príležitosti vyšiel na SME celkom pekný a čitateľsky úspešný článok. Diskusie k podobným článkom sú síce zaujímavé viac z psychologického, než z matematického hľadiska, avšak občas sa v nich vyskytne komentár, nad ktorým sa oplatí zamyslieť. V diskusii k článku o Fermatovi bola pre mňa takou nasledovná otázka čitateľa "toerotik":

"Ak mocnina 2 je Pytagorova veta, a pre [mocninu] 3 vraj mal [Fermat] dôkaz [veľkej Fermatovej vety], ako je to s mocninou napríklad 2,2?"

Teória čísiel nie je mojou silnou stránkou, ale tipol by som si, že táto otázka môže byť netriviálna aj pre špecialistu. Formulujme si preto nasledovnú, podstatne všeobecnejšiu úlohu:

Fermatovou množinou nazvime množinu všetkých reálnych čísiel r, pre ktoré existujú prirodzené čísla x,y,z spĺňajúce x^r+y^r=z^r. Čo všetko vieme povedať o Fermatovej množine?

Jedna z vlastností Fermatovej množiny je tá, že obsahuje čísla 1 a 2, ale neobsahuje žiadne väčšie prirodzené číslo (to je vlastne veľká Fermatova veta). Vieme povedať o nejakých ďalších reálnych číslach, že patria, alebo nepatria do Fermatovej množiny? Vieme povedať, či Fermatova množina obsahuje nekonečne veľa reálnych čísiel? ... Teším sa na Vaše postrehy.

13.1.: V komentároch sa nám podarilo dokázať, že Fermatova množina je hustá v reálnych číslach, čiže pri akomkoľvek reálnom čísle vieme nájsť ľubovoľne blízko nejaké číslo z Fermatovej množiny. Peťo tiež našiel pomerne nedávny článok, z ktorého plynie, že kladné čísla z Fermatovej množiny sú iracionálne, s výnimkou čísiel tvaru 1/n a 2/n, kde n je prirodzené číslo.

Napadlo ma, že by mohlo byť zaujímavé zobraziť grafy funkcií x^r+y^r-z^r reálnej premennej r pre niekoľko "malých" trojíc prirodzených čísiel x,y,z. Tu je výsledok pre všetky trojice prirodzených čisiel x,y,z, ktoré nepresahujú 8:

Červenou bodkou som zaznačil čísla r, v ktorých platí x^r+y^r-z^r=0, čiže čísla z Fermatovej množiny. Keď som zväčšoval počet trojíc x,y,z, červené bodky skutočne čím ďalej, tým hustejšie pokrývali množinu reálnych čísiel...