Do lietadla, ktoré má 100 miest, nastupuje 100 cestujúcich s miestenkami, postupne od cestujúceho s miestenkou 1 až po cestujúceho s miestenkou 100. Prvý cestujúci si sadne úplne náhodne na akékoľvek zo sedadiel (bez ohľadu na to, že má miestenku 1). Každý ďalší cestujúci už dodržuje nasledovné pravidlo: Ak je miesto, na ktoré má miestenku, voľné, tak sa naň posadí. Ak je jeho miesto už obsadené, vyberie si náhodne jedno z voľných miest. Aká je pravdepodobnosť, že posledný, stý cestujúci bude sedieť na svojom mieste?Toto je pomerne známy problém, v ktorom je ľahké uhádnuť, ale pomerne ťažké precízne zdôvodniť riešenie. Inak množstvo podobných zábavných obrázkov ako ten vľavo hore nájdete na http://www.sciencecartoonsplus.com/.
Zdá sa mi že by to mohlo fungovať takto. Nech p(n) je pravdepodobnosť že posledný z n cestujúcich si sadne na svoje miesto. Ak sa nemýlim, tak induktívne sa dá celkom ľahko vidieť že
OdpovedaťOdstrániťp(n)=(1+p(n-1)+p(n-2)+...+p(2))/n.
Toto získame podmienením na to čo spraví ten prvý neporiadny cestujúci. Napríklad číslo jedna v tomto vzorci znamená že si neporiadnik sadne na svoje miesto a teda vtedy je všetko ok. Ak si sadne na druhé miesto, tak ide o problém s n-1 cestujúcimi, atď.
Keďže p(2) = 1/2, vidíme že
p(3) = (1+p(2))/3 = (3/2)/3 = 1/2, p(4) = (1+p(3)+p(2))/4 = 1/2, atď.
Zdá sa že výsledok je p(n) = 1/2 pre každé n.