V poslednej dobe mám menej času na zábavu s blogom, takže opäť len jednoduchá úloha :-)Šírkou (ohraničeného) rovinného útvaru v smere vektora v nazvime minimálnu šírku nekonečne dlhého pásu, ktorý daný útvar obsahuje a je rovnobežný s vektorom v. Napríklad pre kosoštvorec na obrázku je s1 šírka v smere v1 a s2 je šírka v smere v2. (Menej formálna definícia je šírka tieňa daného telesa osvetlovaného z nekonečne vzdialeného zdroja v smere vektora v.) Je zrejmé, že kruh má konštantnú šírku vo všetkých možných smeroch. Otázka znie: Existuje ešte nejaký iný konvexný rovinný útvar, ktorý má šírku rovnakú vo všetkých smeroch?
Acknoweldgments: Tento problém mi zadal priateľ a kolega z Augsburgskej univerzity Thomas Klein.
Takých množín bude zrejme veľa.
OdpovedaťOdstrániťJednoduchý príklad sa dá zostrojiť z rovnostranného trojuholníka (povedzme že každá strana má dĺžku 1). Samotný trojuholník nie je ešte košér, ale keď ku každej strane pridáme ešte "rozumný" kúsok, už to bude ok.
Ten kúsok nad ľubovoľnou stranou je "polmesiačik", ktorý vznikne tak, že nad ňou opíšme kružnicu s polomerom 1 a stredom v protiľahlom bode.
Pomerne ľahko sa dá vidieť, že tento útvar má šírku 1 v každom smere.
Dúfam že som sa nesekol lebo si to kreslím iba v mysli a pomáham si čarbaním prstom na gauč :-)
> Celkom by ma zaujímal úplný opis všetkých konvexných množín s konštantnou šírkou v každom smere.
Peter: Je to tak. Inak takýchto útvarov sa dá vyrobiť nekonečne veľa zo všetkých pravidelných n-uholníkov, kde n je nepárne. Tieto útvary sa študujú pod menom "curves of constant width" a to čo si navrhol, sa volá "Reuleaux triangle". Takéto tvary majú aj praktický význam, napríklad vo Wankelovom motore, alebo aj ako tvar mincí, ktorý je práve kvôli konštantnej šírke v každom smere vhodný do automatov :)
OdpovedaťOdstrániťNeviem však odpovedať na otázku, či existujú aj iné takéto krivky, t.j. nielen tie, ktoré vzniknú upravením pravidelných n-uholníkov, kde n je nepárne.