Keď som si dnes s dcérkou staval hrad, napadla ma nasledovná úloha :-)Majme pyramídu, ktorá pozostáva z 1+2+3+...+k ohybných mostíkov tvaru približne zodpovedajúcemu symbolu Π, ako je znázornené na priloženom obrázku pre k=3. Predpokladajme, že "nožičky" mostíkov sú presne zvislé a všetky majú rovnakú dĺžku δ. Najnižšie položené mostíky stoja na podložke (vo všeobecnosti nerovnej) a vyššie položené mostíky majú nožičky presne na strede "striešok" patriacim dvom nižšie položeným mostíkom. Takže tvar celej ohybnej konštrukcie závisí od y-ových súradníc bodov B1,...,Bk, Bk+1, ktorými sa konštrukcia dotýka podložky. Symbolom A označme bod ležiaci na strede striešky najvyššie položeného mostíka.
a) Nájdite vzorec, ktorý udáva závislosť y-ovej súradnice bodu A od δ a od y-ových súradníc bodov B1,...,Bk, Bk+1.
b) Dá sa čakať, že čím väčšie je k, tým "vodorovnejšia" je strieška najvyššie položeného mostíka? (Chcel som mať čo najrovnejšiu základňu na čo najvyšší komín ;-)
Poznámka 8.12.: Časť a) je jednoduchá, taká stredoškolská, ale podľa mňa celkom zábavná. Časť b) je už trochu komplikovanejšia a zámerne som ju neformuloval úplne striktne. Aplikácia matematiky sa totiž veľmi často začína práve takýmito neformálnymi otázkami v "ľudskej reči" a prvou úlohou je práve nájsť zmysluplnú transformáciu daného problému do reči rigoróznej matematiky.
Středoškolské úlohy mi vždycky seděly lépe než ty vyšší, proto zatím řeším jen a).
OdpovedaťOdstrániťVzorec pro ypsilonovou souřadnici bodu A je
k * delta + suma(i=1..k+1)[(k nad i-1)*B_i]/2^k
K b) asi tolik .. myslím, že ano, dá se to očekávat(o:
Tychi: OK. Mne sa na tom celkom zapáčilo to, že tú výšku vieme vypočítať pomocou Pascalovho trojuholníka zakresleného do toho "hradu".
OdpovedaťOdstrániťRado, jo jo, taky mě to po popsání jedné A5 potěšilo. Když jsem se po několika chybách dostala k tomu, že v tom vidím Pascala, tak jsem si přečetla název úlohy s porozuměním a docvaklo mi, že odvozuju již dávno objevené. I když to je vlastně to, co mě na matice vždycky bavilo.
OdpovedaťOdstrániť