Na obrázku vľavo sú čiernymi bodkami zaznačené všetky usporiadané dvojice (x,y) prirodzených čísel menších ako 4000, pre ktoré je odmocnina z x2+y2 celé číslo, čiže x a y sú celočíselné odvesny pravouhlých trojuholníkov s celočíselnou preponou. Vidíme, že tieto body nie sú rozmiestnené úplne chaoticky, ale majú určitú štruktúru.Vedeli by ste vysvetliť pôvod "priamok", t.j. množín bodov (x,y), pre ktoré y=αx? Aké sú hodnoty konštanty α pre priamky, ktoré sú na obrázku najvýraznejšie? Menej viditeľná, ale pri pozornom pohľade nespochybniteľná je aj štruktúra rôznych "oblúkov". Vedeli by ste vysvetliť aj pôvod týchto oblúkov?
Pod vysvetlením nejakej "vizuálnej štruktúry" rozumiem matematické tvrdenie, na základe ktorého by matematik mohol vznik tejto štruktúry predvídať aj bez nakreslenia obrázku.
Poznámka: Prvé dve otázky sú samozrejme jednoduché, avšak ako vysvetliť pôvod oblúkov ma počas tých pár minút, ktoré som venoval rozmýšľaniu nad týmto problémom, nenapadlo. Ale Vy budete možno bystrejší. Alebo niečo nájdete na webe pod hlavičkou "Pythagorean triples".
Zeby alfa = 3/4, 4/3, 5/13, 13/5 ... ?
OdpovedaťOdstrániťKazdy bod je na nejakej "priamke", jej "hustota" je dana sqrt(x^2 + y^2), takze "najmensie" pytagorovske trojuholniky generuju "najhustejsie" "priamky" (toto je ina exaktnost vo vyjadrovani... :-)
Obluky su pekne, ale nic mi k nim nenapada.
Nahodou, to vyjadrene je dost presne na to, ake je strucne. (Samozrejme mas pravdu, az na ten preklep 12 namiesto 13.)
OdpovedaťOdstrániťCo sa tyka oblukov, tak tie neviem vysvetlit ani ja sam (nieze by som sa nejako velmi snazil :-). Ale mozno na to niekto pride.