Zoo konvexných priestorových telies, ktoré majú všetky hrany rovnakej dĺžky a ktorých steny sú pravidelné n-uholníky, môžeme v zásade rozdeliť do piatich skupín: platónske telesá, archimedovské telesá, prizmy, antiprizmy a Johnsonove telesá. Na nasledovnom obrázku sú znázornené štyri Johnsonove telesá poskladané z Geomagu (kliknutím sa obrázok zväčší).
Konkrétne, na fotografiách sú augmented tridiminished icosahedron (vľavo hore), square gyrobicupola (vpravo hore), biaugmented pentagonal prism (vľavo dole) a bilunabirotunda (vpravo dole). Samozrejme, na zložitejšie telesá by sme potrebovali oveľa viac ako 31 tyčiniek a 24 guličiek, ktoré obsahuje naša sada. Vytrínový kúsok by mohol byť napríklad taký Parabigyrate Rhombicosidodecahedron.
Na koniec tohto príspevku ešte jedna oddychová úloha, ktorá je inšpirovaná tabuľkou v dolnej časti stránky mathworldu o Johnsonovych telesách.
Konvexné trojrozmerné teleso má n3+n4+n5 stien, z toho n3 trojuholníkových, n4 štvorcových a n5 päťuholníkových. Koľko má toto teleso vrcholov?
Pekná zábavka!
OdpovedaťOdstrániťMoja dcérka má niečo podobné: je to celé z umelej hmoty a všetko sú to len rôznofarebné trojuholníky, ktoré do seba ľahko "zapadajú".
Obľúbeným konvexným tvarom mojej dcérky je "hladný icosahedron" (má 2 roky a vie to aj vysloviť); tj pravidelný dvadsaťsten bez dvoch trojuolníkov/stien, ktoré slúžia ako ústa :-)
Najradšej papá prstíky, ruku a iné trojuholníky :-)
Keď sa nikto neozýva, mne to vychádza na
OdpovedaťOdstrániť(4 + n_3 + 2*n_4 + 3*n_5)/2.
Postup neprezradím, nech nepokazím zábavu ďaľším :-)
Peter: Správne riešenie! V súvislosti s Geomagom ma napadajú aj iné rekreačné matematické úlohy; možno o nich napíšem príspevok.
OdpovedaťOdstrániť... a práve som si všimol, že si aj Ty napísal úlohu o Geomagu :)
OdpovedaťOdstrániťNapadlo ma, ze by sa tu dala pouzit Eulerova veta V-H+S=2, kedze ide o konvexne polyedre. Cize jediny problem by bol urcit pocet hran, ale myslim, ze takato uloha je porovnatelna s poctom vrcholov (zakon zachovania obtiaznosti v matematike :))
OdpovedaťOdstrániťaleph0: S tou Eulerovou vetou máš pravdu. K riešeniu, ktoré uviedol Peter, stačí už len maličký krôčik.
OdpovedaťOdstrániťK tomu zachovaniu obtiažnosti; to je pravda len čiastočne. Napríklad v tomto príklade má podľa mňa človek naozaj bližšie k jeho vyriešeniu, keď sa zamýšľa nad tým, či sa nedá z čísiel n3,n4,n5 určiť počet hrán, ako keď sa zamýšľa nad tým, či sa nedá z tých čísiel určiť počet vrcholov. :-)
Geomagu mám skoro dost (i když je ho při každé stavbě málo), matika je můj obor. Nikdy mě nenapadlo, je takhle moc propojit.
OdpovedaťOdstrániťBudu se sem vracet, zajímavé čtení, mozek to bude bavit(o:
Tychi: Pozrel som si Tvoje stavby z Geomagu a sú úžasné!
OdpovedaťOdstrániťSamozrejme budem rád, keď sa budeš na QED vracať.
Díky za chválu, snažím se, aby stavebnice nezahálela, když je tak nákladná.
OdpovedaťOdstrániťQ.E.D. je skutečně zajímavá stránka, jen je škoda, že jsem ještě nenarazila na podobnou, kterou by vytvářel někdo z mých profesorů na tom našem českém matfyzu.