Na rozdiel od predchádzajúcej úlohy, vyriešenie nasledovného problému si vyžaduje len trochu postrehu a systematický postup.Z čiernych a bielych kameňov sa snažím poskladať rovnostranný trojuholník so základňou "dĺžky" 5 kameňov ale tak, aby neobsahoval žiadny "monochromatický" rovnostranný trojuholník, t.j. trojuholník, ktorého strany sú rovnobežné so stranami základného trojuholníka a ktorého vrcholy tvoria kamene rovnakej farby. Otázka znie: dá sa to?
Na obrázku je jeden môj neúspešný pokus. (Inak mienim napísať už len tri blogové príspevky o konfiguráciách farebných kameňov a prejdem na niečo iné. Sľubujem :-)
Poznámka 27.8.: Veľmi pekné riešenie tohoto príkladu napísal na svoj blog Peter.
Oukej, po asi 45min som našiel, myslím, pekné riešenie. Skúšal som postupne tri postupy:
OdpovedaťOdstrániť1) Algebraický cez sčítavanie trojuholníkov (je ich spolu 27) a ich vrcholov a podobne... snažil som sa tak nájsť niekde spor, ale bolo to nejaké zamotané, tak som to po chvíľke bádania nechal (možno sa to dá aj tak...)
2) redukciou cez Dirichletov princíp... Pomerne ľahko som dospel w.l.o.g. k fixácii šiestich kameňov a ostatných 2^9 prípadov sa dá redukovať na iba 27. V každom sa vytvorí jednofarebný trojuholník.
3) Keď už som bol tak ďaleko, tak som rozmýšľal ako sa zbaviť tých 27 prípadov a všimol som si, že sa to vlastne dá dotiahnuť do šťastného konca (tj sporu) úplne priamo, bez akýchkolvek prípadov.
Podrobnosti napíšem neskôr, aby som nikomu nepokazil zábavu.
Ešte som chcel povedať, že úloha je veľmi pekná (super Rado!) a že som veľmi zvedavý na alternatívne prístupy!
OdpovedaťOdstrániťFajn Peter; som veľmi zvedavý na Tvoj dôkaz.
OdpovedaťOdstrániťTak keď sa stále nikto neozýva, a keďže sa mi úloha zdá naozaj výnimočne pekná, tu je jedno riešenie:
OdpovedaťOdstrániťhttp://predbarakom.wordpress.com/2008/08/27/neexistujuce-trojuholniky-riesenie/
Napísal som ho (pre potreby tohto blogu) až veľmi podrobne...
Som nesmierne zvedavý na jednoduchší dôkaz (prípadne na nájdenie chyby v mojom!).
Link to neprežil, tu je ešte raz, rozkrojený na 2 časti:
OdpovedaťOdstrániťhttp://predbarakom.wordpress.com/2008/08/27
/neexistujuce-trojuholniky-riesenie/