Medoid trojice bodov

Narýchlo len jeden príkladík; nič mimoriadne, ale aspoň že je môj vlastný :-) Napadol ma dnes pri skúšaní analýzy zhlukov na predmete "Viacrozmerné štatistické analýzy 2".

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme medoidom ten, ktorý má minimálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne medoid bližšie k ťažisku trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Poznámka 13.6.: V komentároch nájdete Peťove riešenie pomocou súradnicového systému, ale skoro by som sa stavil, že existuje aj nejaké veľmi jednoduché tvrdenie založené na klasickej geometrii :-) Nájdete ho?

Poznámka 14.6.: Zdá sa, že môže platiť aj nasledovné tvrdenie; vedeli by ste nájsť dôkaz?

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme antimedoidom ten, ktorý má maximálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne antimedoid vzdialenejší od ťažiska trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Výsledky súťaže o najkrajšiu úlohu

Chcel by som poďakovať všetkým deviatim účastníkom súťaže, ktorí nám poslali 12 super úloh, ako aj ôsmim "porotcom", ktorí sa spolupodieľali na určení nasledovného výsledného poradia:

1. miesto (57 bodov): úloha Sto väzňov od Ondreja Budáča; 2. miesto (39 bodov): úloha Mravce na tyči od Petra Richtárika; 3. miesto (31 bodov): úloha Zapadajúce množiny od Ondreja Budáča

Ďalšie poradie nebudem zverejňovať, ale aby ste si spravili predstavu o tom, aké boli výsledky tesné: úlohy, ktoré skončili od 4. do 8. miesta mali medzi 22 a 29 bodov. Zaujímavé je tiež, že porotcovia dávali veľmi odlišné hodnotenie; všetkých 8 najlepšie hodnotených úloh bolo takých, že niektorý porotca ich zaradil na jedno z prvých dvoch miest, zatiaľčo iný porotca im dal 0 bodov. Individuálna predstava čo je to "pekná úloha", je prekvapivo rôznorodá.

Takže gratulujem víťazom a Ondro odo mňa získava sľúbenú knihu.