Beta verzia "Zbierky úloh z pravdepodobnosti" je live

Ešte pred dokončením našej zbierky úloh z pravdepodobnosti sme sa rozhodli, že urobíme malý experiment: jej odľahčenú internetovú verziu. Zatiaľ sme uverejnili zadania prvých štyroch podkapitol (asi 50 úloh; celkovo ich je v zbierke vyše 400) a budeme čakať, čo na to študenti. Využijú možnosť pýtať sa nás na detaily zadaní a diskutovať o riešeniach medzi sebou? Uvidíme a podľa toho sa zariadime v budúcnosti.

Každopádne, ak máte chvíľku čas, mohli by ste sa na našu zbierku pozrieť aj Vy a prípadne nám poradiť, čo by sa na nej podľa Vás dalo zlepšiť. Budeme veľmi povďační!

Ilustračný obrázok vľavo je môj návrh na obálku tlačenej verzie zbierky. Ak k nemu máte výhrady, sem s nimi. Ešte stále je čas všetko zmeniť :-)

PS: Ak by ste aj Vy chceli vyriešiť nejakú úlohu v zbierke, ale nepoznáte pravdepodobnostnú formalizáciu z našich prednášok, vyskúšajte napríklad takú úlohu 55. Ďalšie neformálne a nie celkom triviálne úlohy prídu neskôr.

Kombinatorická identita

Už takmer 12 hodín bez väčšej prestávky pracujem na zbierke príkladov z pravdepodobnosti. (Neverili by ste, koľko je s jej napísaním roboty; ale čím ďalej, tým viac sa ma zmocňuje pocit, že keď bude naša zbierka na svete, tak z nej budeme mať radosť.)

Práve som písal riešenie jedného príkladu, v ktorom som použil nasledovnú kombinatorickú identitu:


Hľadím na ňu už asi dvadsať minút a nenapadá ma, ako by som ju dokázal. Vedeli by ste mi pomôcť?

Ďalšia zapeklitá úloha z pravdepodobnosti

Už sa teším na obdobie, keď odovzdáme do tlače našu zbierku úloh z teórie pravdepodobnosti a budem sa môcť rozpísať napríklad o nedávnej návšteve "Univerza" v Brémach, alebo o množstve zaujímavých nových odkazov. Dovtedy však zo mňa nedostanete nič viac, ako len ďalšiu zapeklitú úlohu z pravdepodobnosti. Tentokrát je podľa mňa celkom pozoruhodná a ak sa ju niekomu podarí do týždňa vyriešiť nejakým jednoduchým trikom bez použitia náhodných premenných, má u mňa dve odmeny: jeho meno sa objaví v našej zbierke a darujem mu jeden exemplár zbierky aj s podpismi autorov :-)

Dokážte, že ak súčet pravdepodobností n-tice udalostí je viac ako k-1 (pre akékoľvek k od 1 do n), tak sa s nenulovou pravdepodobnosťou realizuje aspoň k spomedzi týchto udalostí.

Napríklad ak by sme mali skupinku piatich ľudí, pričom (pravdepodobnosť, že prvý z nich spraví skúšku) + (pravdepodobnosť, že druhý z nich spraví skúšku) + ... + (pravdepodobnosť, že piaty z nich spraví skúšku) > 3, tak potom s nenulovou pravdepodobnosťou sa stane to, že skúšku spravia aspoň štyria z týchto piatich ľudí. Pritom nepredpokladáme, že udalosti urobenia skúšky sú nezávislé. (Nakoniec, predpokladať úplnú nezávislosť vypracovávania písomnej časti skúšky by naozaj bolo značne naivné.)

Na ilustračnom obrázku sú štyri množiny (mesiačiky A,B,C a kruh D), pričom neexistuje prienik všetkých štyroch. To znamená, že ak by sme akokoľvek divoko hádzali šípkou do tohto obrázka, tak súčet pravdepodobností zasiahnutia jednotlivých oblastí nemôže byť väčší ako 3.