Päť klubov

Predchádzajúcu úlohu sme zatiaľ vyriešili pre n ktoré je nanajvýš štyri a keďže všeobecné riešenie sa zdá byť pomerne komplikované, pokúsme sa rozlúsknuť aspoň špeciálny prípad n=5. Nasledovnú úlohu formulujem bez použitia pravdepodobnosti, len pomocou elementárnych pojmov.

V istom meste existuje päť klubov: literárny, golfový, šachový, rybársky a bowlingový. Tieto kluby majú spolu m členov, pričom každý z týchto klubov má presne m/2 členov (vieme, že m je párne, ale inak o m nevieme nič). Dvojice klubov pravidelne organizujú spoločné stretnutia, na ktoré pozvú všetkých tých ľudí, ktorí sú členmi súčasne oboch klubov. Napríklad býva stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi rybárskeho aj šachového klubu, býva tiež stretnutie ľudí, ktorí sú súčasne členmi literárneho aj bowlingového klubu a tak ďalej (spolu 10 druhov stretnutí). Každého z týchto stretnutí sa vždy zúčastnia všetci pozvaní hostia. Tvrdíme, že na niektoré stretnutie určite príde aspoň p percent z daných m ľudí. Aké je maximálne p, označme ho p₅, pre ktoré je toto tvrdenie zaručene pravdivé?

Z komentáru k predchádzajúcej úlohe vieme, že p₅ je aspoň 15% a nie je ťažké sa presvedčiť, že p₅ je najviac 25%. (Viete prečo?) Kto nájde hodnotu p₅ presne (a presvedčivo túto hodnotu zdôvodní), má u mňa čokoládu. Nie je to vôbec až také ľahké, ale ani nemožné.