Poznámka: V prípade 42 rozmernej planéty je úloha dosť náročná; už len formulovať ju matematicky presne nie je jednoduché. Ak chcete, môžeme o tom samozrejme podiskutovať a vyriešiť túto úlohu aspoň numericky...
Poznámka 3.12.: No, "dosť náročná" je pre ten 42 rozmerný prípad asi eufemizmus. "Pekelná" je asi lepší prívlastok a to napriek tomu, že riešenie je len dávno známy špeciálny prípad tvrdení z článku, ktoré sme s Vladom Lackom prednedávnom zaslali do časopisu. Ale nič to. Môžeme tu mať aj takúto úlohu. Ak by sa niekto cítil byť veľký frajer...
Zatial trojrozmerna :
OdpovedaťOdstrániť"ktorého šírka je jedna šestina obvodu planéty" - trosku mi to znie nejednoznacne - teda ak to ma smerovat k vysledku 2/3 - tak by to mala byt skor "vyska". Lebo neviem ci sirka je brana ako najkratsia spojnica medzi spodkom a vrchom alebo najkratsia cesta po planete (guli) medzi spodkom a vrchom. V tom druhom pripade by to bolo odmocnina z 1/2
dufam ze som sa nikde nepomylil
a teraz hor sa na viac rozmerov :)
Ako obycajne som to neratal presne :-), len tak od oka. Sestina obvodu znaci, ze zo stredu planety je stredovy uhol 60 stupnov, dalsich 60 na obe strany k polu. Potom povrch jedneho modreho vrchlika je 2*pi*r*(r/2), takze povrch zeleneho pasu je asi 2*pi*r^2, cize polovica povrchu.
OdpovedaťOdstrániťZovseobecnenie si netrufnem uz vobec, len pozorovanie. Kedze v nizsej dimenzii takyto "pas" zaberie 1/3 dlzky kruznice, ono to pri 42 rozmeroch uz mozno bude dost vela.
Rori: Trochu tú formuláciu spresním; ďakujem za upozornenie. Myslí sa tým šírka pásu "po povrchu gule". V tom prípade však nie je obývateľná plocha sqrt(1/2) povrchu celej planéty, ale presne 1/2 povrchu planéty (tak ako vyšlo Levovi).
OdpovedaťOdstrániťLev: 3d prípad si vyriešil správne; je to naozaj presná polovica povrchu. Čo sa týka toho viacrozmerného prípadu, to je naozaj oveľa ťažšie; počkajme ešte na ďalšie komentáre...
samozrejme ze som sa pomylil :) spravil som si zly nacrt :) ano aj mne to uz vychadza polovica :)
OdpovedaťOdstrániťPoužijúc odskúšanú Kofolovú techniku som sa dopracoval k takejto oblude, ktorá by mala vyjadrovať pomer "plochy" toho pásu a celej planéty v prípade 42 rozmerov: 1/3 + sqrt(3)/Pi*
OdpovedaťOdstrániť239054325953049/197886350261600, čo sa približne rovná 0.99935985...
Len pre porovnanie, pre štvorrozmernú planétu mi rovnaký postup dal výsledok 1/3 + sqrt(3)/(2*Pi) = cca 0.609...
Ak to je nebodaj správne, tak áno, hodnotenie "pekelný" je vcelku na mieste :-)
goober: Fúha. Ty si nejaký dobrý; tie výsledky sú správne. Ak si to sám odvodil (a nielen niekde našiel vzorec pre povrch vrchlíka mnohorozmernej gule), tak klobúk dole.
OdpovedaťOdstrániťNebudem to rozoberať, ale pre záujemcov uvediem všeobecné riešenie tejto úlohy pre n-rozmernú guľu (samozrejme dá sa zapísať aj kratšie pomocou beta funkcie). Konkrétnu hodnotu je treba dopočítať pomocou vhodného softwaru (napr. Mathematica).
Ja som na to išiel cez niečo ako polárne súradnice. Zemepisná šírka je bola určená uhlom v intervale -Pi/2 a Pi/2； pre konkrétnu zemepisnú šírku x je príslušný prierez planéty (N-1)-rozmerná guľa polomeru R.cos（x). Jej "povrch" sa potom vypočíta ako P(x)=C.(R.cos(x))^(N-2), kde C je nejaká konštanta (závislá iba od N), ktorá sa pri rátaní pomeru aj tak vykráti a nemusí nás preto zaujímať.
OdpovedaťOdstrániťKeď teraz zrátame výraz I(A) = integrál[-A, A] z P(x).R.dx, dostaneme plochu pásu medzi zemepisnými šírkami -A a A. Nás zaujíma pomer I(Pi/6) : I(Pi/2), ktorý sa zjednoduší až tak, že nám zostane iba podiel hodnôt integrálov z cos^(N-2)(x) v hraniciach [-Pi/6, Pi/6] a [-Pi/2, Pi/2].
No a keď sa s tým človek trochu pohrá, tak pre párne N dostane ako výsledný pomer takúto škaredosť:
1/3 + {suma[k=1..n/2] 3^k/(k*binom(2*k,k))} / (Pi*sqrt(3)). No a z nej už sa príslušné hodnoty pre N=4 alebo 40 porátajú ľahko :-)
goober: Super. Išiel si na to inak ako ja (ja som použil pravdepodobnostné tvrdenia týkajúce sa hustoty marginálnych rozdelení pre rovnomerné rozdelenie na povrchu n-rozmernej gule). A výsledná formulka sa mí nezdá ako škaredosť; naopak, zdá sa mi celkom pekná.
OdpovedaťOdstrániť