Nech f je reálna funkcia definovaná na množine všetkých dvojíc reálnych čísiel. Smerom nazveme každý vektor (u,v) jednotkovej dĺžky. Budeme hovoriť, že funkcia f je konvexná v smere (u,v), ak pre každý bod (a,b) je
konvexnou funkcia priradzujúca číslu α číslo f(a+αu,b+αv). Je zrejmé, že ak je funkcia f konvexná vo všetkých smeroch, tak je sama konvexná. Konvexnosť v jednom smere však samozrejme nestačí; napríklad nekonvexná funkcia f(x,y)=x
2+y
3 je konvexná v smere (1,0):
Stačí na zabezpečenie konvexnosti funkcie f konvexnosť v dvoch rôznych smeroch? V troch? ...
Aké je maximálne prirodzené číslo n, pre ktoré existuje nekonvexná reálna funkcia f dvoch reálnych premenných, ktorá je konvexná v n rôznych smeroch (u1,v1), ... ,(un,vn)?
Povedal by som ze n je nekonecno. Zoberme funkciu f(x,y) = x^2 - y^2. Definujme
OdpovedaťOdstrániťg(t; a,b,u,v) = f(a+tu,b+tv)
funkciu f v smere (u,v) od bodu (a,b) parametrizovanu cez t. Potom
d^2 g / d t^2 = 2*u^2 - 2*v^2.
Druha derivacia nezavisi od bodu (a,b), takze funkcia je konvexna (v kazdom bode) v smere (u,v) vzdy ked u^2 > v^2, co je nekonecne vela smerov (ale samozrejme f konvexna nie je).
Výborne Ivan. Skutočne, funkcia môže byť konvexná v nekonečne veľa smeroch, ale pritom sama nemusí byť konvexná. Ešte jednoduchší príklad ako si uviedol je funkcia f(x,y)=xy.
OdpovedaťOdstrániťKeď sa mi uvoľní trochu času, napíšem ešte pokračovanie tejto úlohy.
No a Radova a Ivanova funkcia je v skutočnosti "tá istá" -- stačí vhodne otočiť a natiahnuť osi :-)
OdpovedaťOdstrániťNo áno, ale musíš uznať, že xy je trochu kratší zápis ako x^2-y^2. :)
OdpovedaťOdstrániť