Tri trojuholníky

Problémy optimálneho navrhovania experimentov, čo je moja hlavná oblasť výskumu, sú prekvapivo pestré, pretože zasahujú do takmer všetkých matematických disciplín: od štatistiky a pravdepodobnosti, cez kombinatoriku, teóriu grafov, analýzu, lineárnu algebru, teóriu matíc, až po numerickú matematiku. Dnes sa mi pri písaní článku z tejto oblasti dokonca vyskytlo jednoduché tvrdenie z klasickej rovinnej geometrie; formulujme si ho ako úlohu.

Majme päť priamok p₁, p₂, q₁, q₂, q₃, ako je znázornené na obrázku, pričom priamky q₁, q₂, q₃ sú rovnobežné. Označme ako A_ij prienik priamok p_i a q_j. Dokážte, že súčet obsahov trojuholníkov A₁₁A₁₂A₂₃ a A₁₂A₁₃A₂₁ je rovný obsahu trojuholníka A₁₁A₁₃A₂₂.

Koľko matematikov, toľko dôkazov

Nasledovná jednoduchá, ale celkom pekná dôkazová úloha sa nám objavila pri písaní článku o optimálnom navrhovaní experimentov pre náhodné procesy. Spomenuli sme ju viacerým kolegom a každý prišiel po nejakom čase so svojim vlastným dôkazom. Som zvedavý, koľko rôznych dôkazov sa podarí nájsť Vám.

Ukážte, že ak hladká funkcia f:R→R spĺňa rovnicu

pre všetky reálne čísla x a všetky kladné reálne čísla δ, potom je f kvadratická funkcia.

Kvadratickou funkciu rozumieme aj lineárnu a konštantnú funkciu (s niektorými koeficientmi nulovými). Ako obvykle, symbol f ' označuje deriváciu funkcie f.