10 novembra 2010

Tri trojuholníky

Problémy optimálneho navrhovania experimentov, čo je moja hlavná oblasť výskumu, sú prekvapivo pestré, pretože zasahujú do takmer všetkých matematických disciplín: od štatistiky a pravdepodobnosti, cez kombinatoriku, teóriu grafov, analýzu, lineárnu algebru, teóriu matíc, až po numerickú matematiku. Dnes sa mi pri písaní článku z tejto oblasti dokonca vyskytlo jednoduché tvrdenie z klasickej rovinnej geometrie; formulujme si ho ako úlohu.


Majme päť priamok p1, p2, q1, q2, q3, ako je znázornené na obrázku, pričom priamky q1, q2, q3 sú rovnobežné. Označme ako Aij prienik priamok pi a qj. Dokážte, že súčet obsahov trojuholníkov A11A12A23 a A12A13A21 je rovný obsahu trojuholníka A11A13A22.
o

5 komentárov:

  1. Lev bez hrivy11. 11. 2010, 9:45:00

    Moj pohlad je cez tri podobne trojuholniky. Ak oznacime V ako priesecnik priamok p1, p2, tak trojuholniky VA11A21, VA12A22, VA13A23 maju strany na priamke p1 postupne a, a+b, a+b+c a prislusne vysky v, v(a+b)/2, v(a+b+c)/a. Tieto tri vysky su aj vyskami trojuholnikov, ktore nas zaujimaju, s podstavami c, b+c, b. Ked sa spocita obsah stredneho a sucet obsahov dvoch bocnych, vyjde to [v oboch pripadoch v(b^2+ab+bc+ca)/2a, ak som sa nepomylil].

    OdpovedaťOdstrániť
  2. katka12. 11. 2010, 1:02:00

    Lema:
    Obsah trojuholnika VA_1iA_2j je rovnaky ako obsah trojuholnika VA_1jA_2i pre vsetky pripustne i, j, i<j.
    (Teda mozem vymenit i a j a obsah trojuholnika sa nezmeni).

    Dokaz lemy:
    S(ΔVA_1iA_2j)=S(ΔVA_1jA_2j)-S(ΔA_1iA_1jA_2j), a S(ΔVA_1jA_2i)=S(ΔVA_1jA_2j)-S(ΔA_1jA_2jA_2i). Trojuholniky A_1iA_1jA_2j a A_1jA_2jA_2i vsak maju rovnaky obsah, lebo maju spolocnu stranu A_1jA_2j a rovnako velku vysku na nu, kedze priamky q_i a q_j su rovnobezne. (Dufam ze som nespravila chybu v indexoch).

    Dokaz tvrdenia zo zadania:
    Jednoducho viackrat vyuzijem lemu a dostanem co potrebujem :).
    S(modryΔ)=S(ΔVA_13A_21)-S(ΔVA_12A_21)=S(ΔVA_11A_23)-S(ΔVA_11A_22)
    S(zelenyΔ)=S(ΔVA_12A_23)-S(ΔVA_11A_23)=S(ΔVA_13A_22)-S(ΔVA_11A_23)
    Teda:
    S(modryΔ)+S(zelenyΔ)=S(ΔVA_13A_22)-S(ΔVA_11A_22)
    Ale taktiez plati aj:
    S(cervenyΔ)=S(ΔVA_13A_22)-S(ΔVA_11A_22)
    Takze som dostala:
    S(modryΔ)+S(zelenyΔ)=S(cervenyΔ), co som chcela dokazat.

    OdpovedaťOdstrániť
  3. laffo12. 11. 2010, 15:24:00

    nech "a = |A11A22|" a "b = |A12A13|",
    v1,v2,v3 su vysky nasich 3uholnikov
    a alfa je uhol medzi p1 a p2,
    potom
    tg(alfa) = (v3-v2)/b = (v2-v1)/a.
    preto
    a*v3/2 + b*v1/2 = (a+b)*v2/2

    OdpovedaťOdstrániť
  4. Radoslav Harman13. 11. 2010, 12:26:00

    Ďakujem Vám za pekné a rôznordé riešenia priatelia.

    Lev: Stručné, jasné a správne (až na drobný preklep v(a+b)/a namiesto v(a+b)/2).

    Katka: Správne riešenie, hoci dlhšie, pekné najmä kvôli tej leme, pretože tá poskytuje nielen viacero rôznych dôkazov tvrdenia z úlohy, ale aj lepší "vhľad" do celej situácie.

    Laffo: No to by bol najstručnejší dôkaz, ale tak ako si ho napísal vyžaduje, zdá sa mi, dodatočný predpoklad, že priamky qi sú kolmé na priamku p1. Ale aj ak áno, stačí si uvedomiť, že priamky qi sa dajú "urobiť kolmými" na p1 afinnou transformáciou, ktorá zachováva pomery obsahov trojuholníkov.

    OdpovedaťOdstrániť
  5. laffo13. 11. 2010, 13:42:00

    asi som to prilis zostrucnil, avsak ja som neuvazoval, ze vi = A1iA2i.
    skratka z vrcholov A2i spustim kolmice na p1, vzniknu mi tri podobne trojuholniky, preto
    tg(alfa) = (v3-v2)/b = (v2-v1)/a
    ale asi chyba medzikrok, ze preco su taketo trojuholniky podobne

    OdpovedaťOdstrániť