Vláčik

  V piatok pred dvomi týždňami som cestoval vlakom z Londýna do Paríža a cestu som si krátil čítaním učebnice, ktorú som dostal na recenziu, konkrétne časti o miere zakrivenia kriviek. Vtedy ma napadla nasledovná úloha.

 
  Tri mestečká A,B,C ležia na spoločnej priamke, pričom vzdialenosť A a B je 2 a vzdialenosť B a C je tiež 2. Je potrebné vybudovať systém koľajníc, po ktorých bude nepretržite premávať vlak z A do B, z B do C, z C do A, z A do B atď. Konštrukcia vlaku (s lokomotívou len na jednom konci) si vyžaduje, aby zakrivenie koľajníc nebolo nikde väčšie ako 1, čím myslíme to, že žiadne tri blízke body na koľajnici nebudú ležať na kružnici, ktorá má polomer menší ako 1. Takže koľajnice môžu napríklad pozostávať z "hladko nadväzujúcich" úsečiek a častí kružníc s polomerom aspoň 1. Jeden možný návrh koľajníc je na ilustračnom obrázku. Nájdite taký systém koľajníc, ktorý umožní vlaku urobiť v priebehu dňa čo najväčší počet návštev všetkých troch miest. Na celkovej dĺžke koľajníc nezáleží a na železničnej trati môžu byť mosty a výhybky, nie však zariadenie na otáčanie vlaku do opačného smeru.

  Táto úloha je samozrejme jednoduchá, avšak hľadanie najkratšej krivky s ohraničenou krivosťou prechádzajúcej zadanými bodmi je vo všeobecnosti veľmi ťažká úloha. (Upozorňujem, že riešením nášho problému, tak ako je formulovaný, nemusí byť jediná nepretínajúca sa sa krivka.) Keď Vás napadne nejaká iná úloha z tejto kategórie, budem rád, ak nám ju napíšete do komentárov.

Päť rovnakých cifier

Pre každú cifru c=1,...,9 nájdite matematický výraz, ktorého výsledná hodnota je 100, pričom treba dodržať tieto podmienky: Daný výraz musí obsahovať práve 5 cifier c, ale žiadnu inú cifru. Okrem týchto piatich cifier sa v ňom môžu vyskytovať štandardné aritmetické operátory (+,-,*,/) symbol faktoriálu (!), umocňovania (^), druhej odmocniny a zátvorky. Napríklad pre cifru 1 platí 111-11=100 a pre cifru 2 máme ((22-2)/2)^2=100.

Týmto oddychovým problémom nás na Probastate pobavil Guillaume Sagnol. Postupne sme našli riešenia pre všetky cifry okrem 7 a 8. Túto úlohu údajne kedysi publikoval istý francúzsky časopis a riešenie pre sedmičku sa nepodarilo nájsť žiadnemu z tisícov čitateľov. Takže držím palce...