Pre ktoré čísla n existuje n-tica e1,...,en "znamienok" (čiže n-tica pozostávajúca z čísiel -1 a 1) taká, že e11+e22+...+enn=0?
18 decembra 2011
Znamienka
Pre ktoré čísla n existuje n-tica e1,...,en "znamienok" (čiže n-tica pozostávajúca z čísiel -1 a 1) taká, že e11+e22+...+enn=0?
23 septembra 2011
Nemožné?
Použitím cifier 1, 2, 3, ..., 9 (každú najviac raz) a operácii plus, mínus, krát, deleno, druhá odmocnina, umocňovanie, dvojkový logaritmus a zátvoriek napíšte ľubovoľné prirodzené číslo.
To je zadanie úlohy, ktoré mi pred pár dňami poslal Ondrej Budáč. Vzhľadom na to, že na prvý (aj druhý, aj tretí...) pohľad vzbudzuje úloha dojem neriešiteľnosti, uvediem tiež vlastné, trochu podrobnejšie, "informaticky ladené" znenie:
Nájdite spôsob ako konštruovať výrazy v1, v2, ... (v nejakom hypotetickom programovacom jazyku, ktorý počíta úplne presne s reálnymi číslami a má neobmedzenú dĺžku výrazov) také, že hodnota výrazu vi je i. Každý z výrazov vi môže obsahovať maximálne raz každú z cifier 1,2,..,9 a ľubovoľnekrát operátory +,-,*,/,^, funkcie sqrt,log2 a zátvorky (,). (Funkcia sqrt počíta druhú odmocninu a log2 dvojkový logaritmus.) Cifra 0 ani žiadne iné operátory a funkcie (ani premenné a konštanty) nie sú dovolené.
Ja som sa s týmto problémom trápil najprv asi pol hodiny, ale po dlhšej pauze ma napadlo riešenie už veľmi rýchlo. Naozaj to ide, nie je v tom žiadny chyták!
To je zadanie úlohy, ktoré mi pred pár dňami poslal Ondrej Budáč. Vzhľadom na to, že na prvý (aj druhý, aj tretí...) pohľad vzbudzuje úloha dojem neriešiteľnosti, uvediem tiež vlastné, trochu podrobnejšie, "informaticky ladené" znenie:
Nájdite spôsob ako konštruovať výrazy v1, v2, ... (v nejakom hypotetickom programovacom jazyku, ktorý počíta úplne presne s reálnymi číslami a má neobmedzenú dĺžku výrazov) také, že hodnota výrazu vi je i. Každý z výrazov vi môže obsahovať maximálne raz každú z cifier 1,2,..,9 a ľubovoľnekrát operátory +,-,*,/,^, funkcie sqrt,log2 a zátvorky (,). (Funkcia sqrt počíta druhú odmocninu a log2 dvojkový logaritmus.) Cifra 0 ani žiadne iné operátory a funkcie (ani premenné a konštanty) nie sú dovolené.
Ja som sa s týmto problémom trápil najprv asi pol hodiny, ale po dlhšej pauze ma napadlo riešenie už veľmi rýchlo. Naozaj to ide, nie je v tom žiadny chyták!
07 septembra 2011
Polárny súčet kružníc
Keď som sa dnes zabával s Matlabom, natrafil som na jeden celkom pozoruhodný fenomén, ktorý ma v prvej chvíli prekvapil. Formulujme si ho ako úlohu.
V rovine máme zakreslených n kružníc C1,...,Cn prechádzajúcich počiatkom O súradnicovej sústavy. Každá priamka p prechádzajúca bodom O pretne kružnicu Ck v dvoch bodoch - v bode O a v bode, ktorý si označíme Ak(p). (Ak je priamka p dotyková ku kružnici Ck, tak definujeme Ak(p)=O.) Aká je množina všetkých bodov tvaru S(p)=A1(p)+...+An(p), kde p je priamka prechádzajúca počiatkom O? (Body sčítavame ako vektory.)
Táto úloha je možno trochu ťažšia, takže vítané sú aj čiatočné riešenia (napríklad riešenia pre špeciálne prípady), nápady, skrátka akékoľvek potenciálne zaujímavé komentáre.
V rovine máme zakreslených n kružníc C1,...,Cn prechádzajúcich počiatkom O súradnicovej sústavy. Každá priamka p prechádzajúca bodom O pretne kružnicu Ck v dvoch bodoch - v bode O a v bode, ktorý si označíme Ak(p). (Ak je priamka p dotyková ku kružnici Ck, tak definujeme Ak(p)=O.) Aká je množina všetkých bodov tvaru S(p)=A1(p)+...+An(p), kde p je priamka prechádzajúca počiatkom O? (Body sčítavame ako vektory.)
Táto úloha je možno trochu ťažšia, takže vítané sú aj čiatočné riešenia (napríklad riešenia pre špeciálne prípady), nápady, skrátka akékoľvek potenciálne zaujímavé komentáre.
25 augusta 2011
Vláčik
V piatok pred dvomi týždňami som cestoval vlakom z Londýna do Paríža a cestu som si krátil čítaním učebnice, ktorú som dostal na recenziu, konkrétne časti o miere zakrivenia kriviek. Vtedy ma napadla nasledovná úloha.
Tri mestečká A,B,C ležia na spoločnej priamke, pričom vzdialenosť A a B je 2 a vzdialenosť B a C je tiež 2. Je potrebné vybudovať systém koľajníc, po ktorých bude nepretržite premávať vlak z A do B, z B do C, z C do A, z A do B atď. Konštrukcia vlaku (s lokomotívou len na jednom konci) si vyžaduje, aby zakrivenie koľajníc nebolo nikde väčšie ako 1, čím myslíme to, že žiadne tri blízke body na koľajnici nebudú ležať na kružnici, ktorá má polomer menší ako 1. Takže koľajnice môžu napríklad pozostávať z "hladko nadväzujúcich" úsečiek a častí kružníc s polomerom aspoň 1. Jeden možný návrh koľajníc je na ilustračnom obrázku. Nájdite taký systém koľajníc, ktorý umožní vlaku urobiť v priebehu dňa čo najväčší počet návštev všetkých troch miest. Na celkovej dĺžke koľajníc nezáleží a na železničnej trati môžu byť mosty a výhybky, nie však zariadenie na otáčanie vlaku do opačného smeru.
Táto úloha je samozrejme jednoduchá, avšak hľadanie najkratšej krivky s ohraničenou krivosťou prechádzajúcej zadanými bodmi je vo všeobecnosti veľmi ťažká úloha. (Upozorňujem, že riešením nášho problému, tak ako je formulovaný, nemusí byť jediná nepretínajúca sa sa krivka.) Keď Vás napadne nejaká iná úloha z tejto kategórie, budem rád, ak nám ju napíšete do komentárov.
Tri mestečká A,B,C ležia na spoločnej priamke, pričom vzdialenosť A a B je 2 a vzdialenosť B a C je tiež 2. Je potrebné vybudovať systém koľajníc, po ktorých bude nepretržite premávať vlak z A do B, z B do C, z C do A, z A do B atď. Konštrukcia vlaku (s lokomotívou len na jednom konci) si vyžaduje, aby zakrivenie koľajníc nebolo nikde väčšie ako 1, čím myslíme to, že žiadne tri blízke body na koľajnici nebudú ležať na kružnici, ktorá má polomer menší ako 1. Takže koľajnice môžu napríklad pozostávať z "hladko nadväzujúcich" úsečiek a častí kružníc s polomerom aspoň 1. Jeden možný návrh koľajníc je na ilustračnom obrázku. Nájdite taký systém koľajníc, ktorý umožní vlaku urobiť v priebehu dňa čo najväčší počet návštev všetkých troch miest. Na celkovej dĺžke koľajníc nezáleží a na železničnej trati môžu byť mosty a výhybky, nie však zariadenie na otáčanie vlaku do opačného smeru.
Táto úloha je samozrejme jednoduchá, avšak hľadanie najkratšej krivky s ohraničenou krivosťou prechádzajúcej zadanými bodmi je vo všeobecnosti veľmi ťažká úloha. (Upozorňujem, že riešením nášho problému, tak ako je formulovaný, nemusí byť jediná nepretínajúca sa sa krivka.) Keď Vás napadne nejaká iná úloha z tejto kategórie, budem rád, ak nám ju napíšete do komentárov.
07 augusta 2011
Päť rovnakých cifier
Pre každú cifru c=1,...,9 nájdite matematický výraz, ktorého výsledná hodnota je 100, pričom treba dodržať tieto podmienky: Daný výraz musí obsahovať práve 5 cifier c, ale žiadnu inú cifru. Okrem týchto piatich cifier sa v ňom môžu vyskytovať štandardné aritmetické operátory (+,-,*,/) symbol faktoriálu (!), umocňovania (^), druhej odmocniny a zátvorky. Napríklad pre cifru 1 platí 111-11=100 a pre cifru 2 máme ((22-2)/2)^2=100.
Týmto oddychovým problémom nás na Probastate pobavil Guillaume Sagnol. Postupne sme našli riešenia pre všetky cifry okrem 7 a 8. Túto úlohu údajne kedysi publikoval istý francúzsky časopis a riešenie pre sedmičku sa nepodarilo nájsť žiadnemu z tisícov čitateľov. Takže držím palce...
Týmto oddychovým problémom nás na Probastate pobavil Guillaume Sagnol. Postupne sme našli riešenia pre všetky cifry okrem 7 a 8. Túto úlohu údajne kedysi publikoval istý francúzsky časopis a riešenie pre sedmičku sa nepodarilo nájsť žiadnemu z tisícov čitateľov. Takže držím palce...
27 júla 2011
Servítkový problém
Pozdravujem všetkých z Cambridge. Počas minulotýždňovej konferencie na Matematickom inštitúte Isaaca Newtona začal Andrei Bejan svoju prednášku nasledovným rekreačným problémom (autorom je Vladimir Letsko).
Štvorcovú servítku preložíme tak, aby zhyb prechádzal jej stredom, čím dostaneme nekonvexný deväťuholník (pozri obrázok). Aký je maximálny možný obsah tohto deväťuholníka?
Na večeri sme sa s kolegami o tomto probléme rozprávali a niektorí z nich bez dlhšieho premýšľania odhadli, že rigorózne riešenie je možné len pomocou nudných analytických metód hľadania extrémov funkcií. Nie je to však tak! Podarí sa niekomu z Vás nájsť "some beautiful solution"?
Štvorcovú servítku preložíme tak, aby zhyb prechádzal jej stredom, čím dostaneme nekonvexný deväťuholník (pozri obrázok). Aký je maximálny možný obsah tohto deväťuholníka?
Na večeri sme sa s kolegami o tomto probléme rozprávali a niektorí z nich bez dlhšieho premýšľania odhadli, že rigorózne riešenie je možné len pomocou nudných analytických metód hľadania extrémov funkcií. Nie je to však tak! Podarí sa niekomu z Vás nájsť "some beautiful solution"?
28 apríla 2011
Moja habilitačná prednáška
V pondelok 2.5. o 14:00 budem mať v C-čku na matfyze habilitačnú prednášku a po krátkej prestávke obhajobu habilitačnej práce. Budem veľmi rád, keď si ma prídete vypočuť!
Téma habilitačnej prednášky je "Pátranie po informáciách skrytých v mnohorozmerných dátach", čiže hovoriť budem o mnohorozmerných štatistických metódach. Ukážem zjednocujúci pohľad na viacero zdanlivo nesúvisiacich metód a niektoré z nich vysvetlím podrobnejšie (metódu hlavných komponentov, analýzu zhlukov, klasifikačné metódy), avšak skôr intuitívne a s viacerými obrázkami. V tejto téme nie som nejaký extra expert a navyše je táto téma extrémne široká a pomerne málo "matematická" (radšej by som bol, keby mi boli vybrali napríklad stochastické simulačné metódy), ale verím, že Vás aj napriek tomu dokážem zaujať.
V obhajobe habilitačnej práce veľmi stručne spomeniem moje kľúčové výsledky z oblasti optimálneho navrhovania experimentov. Prednáška aj obhajoba bude po anglicky.
2.5.: Ďakujem Vám všetkým, ktorí ste si ma prišli vypočuť. Pre záujemcov dávam k dispozícii moje slidy (aj keď bez slovného komentára to je veľmi nekompletné a možno aj ťažko zrozumiteľné).
Ak by ste na týchto slidoch našli nejaké chyby, dajte mi o nich vedieť, ja ich opravím a budem sa tváriť, že to bolo od začiatku dobre :)
Téma habilitačnej prednášky je "Pátranie po informáciách skrytých v mnohorozmerných dátach", čiže hovoriť budem o mnohorozmerných štatistických metódach. Ukážem zjednocujúci pohľad na viacero zdanlivo nesúvisiacich metód a niektoré z nich vysvetlím podrobnejšie (metódu hlavných komponentov, analýzu zhlukov, klasifikačné metódy), avšak skôr intuitívne a s viacerými obrázkami. V tejto téme nie som nejaký extra expert a navyše je táto téma extrémne široká a pomerne málo "matematická" (radšej by som bol, keby mi boli vybrali napríklad stochastické simulačné metódy), ale verím, že Vás aj napriek tomu dokážem zaujať.
V obhajobe habilitačnej práce veľmi stručne spomeniem moje kľúčové výsledky z oblasti optimálneho navrhovania experimentov. Prednáška aj obhajoba bude po anglicky.
2.5.: Ďakujem Vám všetkým, ktorí ste si ma prišli vypočuť. Pre záujemcov dávam k dispozícii moje slidy (aj keď bez slovného komentára to je veľmi nekompletné a možno aj ťažko zrozumiteľné).
Ak by ste na týchto slidoch našli nejaké chyby, dajte mi o nich vedieť, ja ich opravím a budem sa tváriť, že to bolo od začiatku dobre :)
25 februára 2011
Ťažisko rezu
Akýkoľvek bod C vo vnútri štvorstena je ťažiskom nejakého trojuholníka, ktorého vrcholy ležia na hranách tohto štvorstena.
Vedeli by ste túto vetu dokázať? Napadajú Vás nejaké zovšeobecnenia tejto vety?
(Ospravedlňujem sa všetkým riešiteľom, ktorí sa trápili s pôvodnou nesprávnou formuláciou vety.)
05 februára 2011
Tri sochy
Na ceste za pokladom je chrám, z ktorého vedú dve cesty - vľavo a vpravo. Jedna vedie k pokladu a jedna do záhuby. V chráme sú tri sochy. Jedna vždy hovorí pravdu, jedna vždy klame (hovorí nepravdu - tj. nesnaží sa zavádzať), a jedna odpovedá náhodne.
O sochy sa starajú dvojičky, ktoré môžu položiť sochám dve otázky denne, vždy sa musí pýtať práve jeden z nich práve jednej sochy a tá odpovie podľa svojej prirodzenosti, ale keďže sú to iba sochy, tak zvládnu iba A a O, jedno znamená áno, druhé nie. Sochy majú dosť informácií: tj. rozoznajú bratov, vedia ktoré dvere sú správne, majú rozumný prehľad o svojom okolí a ak sa ich niekto spýta otázku, na ktorú nevedia korektne odpovedať A, alebo O, tak odpovedia náhodne.
Hľadačovi pokladu vysvetlia bratia pravidlá a za dostatočnú odmenu sú ochotní spýtať sa sôch dve pútnikove otázky a to tak, že (hľadačom) vybraný brat otázku presne zopakuje vybranej soche a vypočuje si odpoveď a tú povie hľadačovi, lenže starší brat odpoveď vždy zmení na opačnú. Samozrejme bratia neprezradia ktorý z nich je starší, ktoré z A a O je áno a ktoré nie a sochu, ktorej sa budú pýtať, môže hľadač určiť iba ako vľavo, vpravo a v strede.
Aké dve otázky sa má hľadač spýtať, aby sa dozvedel ktorá cesta vedie k pokladu?
16 januára 2011
Šesť ostrovanov
Pred pár dňami som si konečne našiel čas na moju novú knižku Satan, Cantor a nekonečno od Raymonda Smullyana. Veľmi Vám ju odporúčam, ak sa Vám zdá, že Váš mozgový sval chátra. (Pripúšťam, že takéto pocity sú na matfyze počas skúškového obdobia dosť zriedkavé.) Ako veľmi ľahkú rozcvičku na príklady v knižke som pre Vás poprivymyslel túto úlohu:
Minule som bol na dovolenke na ostrove s veľmi zvláštnymi obyvateľmi. Delia sa na pravdovravných, ktorí hovoria vždy len pravdu, a klamárov, ktorí výlučne klamú. Všetci ostrovania o sebe vedia, kto z nich je pravdovravný a kto z nich je klamár, takže medzi sebou si celkom dobre rozumejú. No cudzinca, ako som ja, dokážu riadne pomýliť.
Na prechádzke týmto ostrovom som stretol skupinku šiestich ostrovanov, očividne dobrých priateľov. Náhodne som si vybral jedného z nich a dal som sa s ním do reči. Počas rozhovoru vyslovil o svojich priateľoch v skupinke nasledovné tri vety: Priateľ s klobúkom a tmavomodrými nohavicami je klamár. Priateľ v tmavohnedých nohaviciach je klamár. Priateľ v tmavosivých nohaviciach je klamár.
Poďakoval som mu za rozhovor a dal som sa do reči s jediným spomedzi týchto šiestich ostrovanov, ktorý mal klobúk. Tento ostrovan sa tiež rozhovoril o svojich piatich priateľoch a postupne vyslovil tieto tri vety: Priateľ vo svetlooranžovej košeli je klamár. Priateľ vo svetložltej košeli je klamár. Priateľ vo svetloružovej košeli je klamár.
Bohužiaľ, keďže som farboslepý, veľa som sa od týchto dvoch ostrovanov nedozvedel. Viem určiť aspoň to, koľko je v tejto skupinke ostrovanov klamárov?
Na prechádzke týmto ostrovom som stretol skupinku šiestich ostrovanov, očividne dobrých priateľov. Náhodne som si vybral jedného z nich a dal som sa s ním do reči. Počas rozhovoru vyslovil o svojich priateľoch v skupinke nasledovné tri vety: Priateľ s klobúkom a tmavomodrými nohavicami je klamár. Priateľ v tmavohnedých nohaviciach je klamár. Priateľ v tmavosivých nohaviciach je klamár.
Poďakoval som mu za rozhovor a dal som sa do reči s jediným spomedzi týchto šiestich ostrovanov, ktorý mal klobúk. Tento ostrovan sa tiež rozhovoril o svojich piatich priateľoch a postupne vyslovil tieto tri vety: Priateľ vo svetlooranžovej košeli je klamár. Priateľ vo svetložltej košeli je klamár. Priateľ vo svetloružovej košeli je klamár.
Bohužiaľ, keďže som farboslepý, veľa som sa od týchto dvoch ostrovanov nedozvedel. Viem určiť aspoň to, koľko je v tejto skupinke ostrovanov klamárov?