Úloha zo sna

O matematike sa mi sníva pomerne často, no len občas si obsah môjho sna zapamätám natoľko presne, aby malo zmysel sa nad ním viac zamýšľať. V noci zo soboty na nedeľu sa mi snívalo o tom, ako jeden známy slovenský profesor matematiky dostal od študentov úlohu a ani za nič sa mu ju nedarilo vyriešiť; pamätám sa, ako frustrovane mával rukami, v jednej špongia, v druhej krieda, pred tabuľou pokreslenou čiarami pripomínajúcimi abstraktný obraz z pohľadu značne podguráženého obdivovateľa umenia.

Prekvapivo, úloha, ktorú v mojom sne dali študenti profesorovi, je zmysluplná a dosť odlišná od všetkých úloh, nad ktorými som dosiaľ uvažoval v bdelom stave. Fungovanie ľudského mozgu ma neprestáva fascinovať. Tu je spomínaná úloha:

Nech M je množina bodov v rovine a nech x je vektor. Posunutím množiny M o vektor x budeme rozumieť množinu M+x pozostávajúcu z bodov tvaru B+x, kde B patrí M. Racionálnym bodom v rovine nazveme taký bod, ktorého obidve súradnice sú racionálne čísla. Dokážte, že ak M je zjednotením konečného počtu úsečiek, potom existuje vektor x taký, že M+x neobsahuje žiadne racionálne body.