Otestujte si svoju geometrickú predstavivosť

Pokúste sa vyriešiť nasledovné úlohy, ktoré podľa mňa celkom dôkladne otestujú Vašu geometrickú predstavivosť. Samozrejme, môžete použiť akékoľvek úvahy a výpočtové triky, ale pokúste sa robiť všetko len v mysli.

1) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké pravidelné päťuholníky (dodecahedron). Koľko má toto teleso a) stien; b) hrán a c) vrcholov?

2) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké štvorce (kocka :-). Túto kocku rozpílime jedným rezom kolmým na niektorú hlavnú uhlopriečku (t.j. kolmo na spojnicu nejakej dvojice vrcholov neležiacich na spoločnej stene) na dve rovnaké telesá. Nech T je jedno z týchto dvoch telies. Koľko a) stien; b) hrán; c) vrcholov má teleso T?

3) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké rovnostranné trojuholníky (štvorsten :-). Stredy stien tohoto "veľkého" štvorstena V tvoria vrcholy "menšieho" štvorstena M. Koľkokrát má štvorsten M menšiu a) dĺžku hrán; b) obsah stien; c) objem, než štvorsten V?

Riešenia nájdete tu. Koľko z týchto deviatich úloh sa Vám podarilo správne vyriešiť? Akú metódu riešenia ste použili?

Alex Vilenkin: Many Worlds in One

Populárno-náučná kniha Alexa Vilenkina "Many Worlds in One" sa nezdržuje obohratými pesničkami z kozmológie a kvantovej mechaniky - len okrajovo sa v nej stretneme so štrbinami a strunami; relativistické dvojičky sa tu ani nemihnú. Tematickou náplňou Vilenkinovej knihy sú totiž úplne čerstvé myšlienky kozmológie, ktoré sú také fantastické, že by boli bizarné a depresívne aj pre veľkochovateľa Schördingerovych mačiek.

Viete si napríklad predstaviť fyzikálne a filozofické dôsledky predpokladu multiverza, pozostávajúceho z nekonečného počtu vesmírov, z ktorých každý má svoj náhodný počiatok v bezpríčinnej kvantovej fluktuácii vákua? A ako vlastne máme nájsť zmysel života v megavesmíre, v ktorom existuje nekonečne veľa identických kópií Zeme a čaká nás globálny výmaz akejkoľvek informácie o našej histórii?

"Many Worlds in One" je síce veľmi zaujímavá, no extrémne špekulatívna kniha vhodná pre čitateľa s triezvym pohľadom na dôsledky abstraktných matematických modelov aplikovaných ad extremum na náš konkrétny svet.

O knihe: Alex Vilenkin o svojej teórii (polhodinové audio). Rozsiahle review od Marka Troddena (profesor fyziky na Syracuse University). Ako vždy, kniha je u mňa k dispozícii na požičanie.

Veselé Vianoce!

Dnešný príspevok bude výnimočne z môjho osobného života: niekoľko výrokov našej dvaapolročnej dcérky Agátky. (A je Agátka, M je "mama Aďka" a T je "tata Radko".)

M (práve prišla z obchodu): Doniesla som Ti na zjedenie šišku.
A (s plačom): Nieeee, nechcem jesť sisku.
M: A prečo?
A: Siska pichá!
M: Ah. Ale takúto šišku.
A (zarazená): To nie je siska. To je buchta.

M: Daj si tú béžovú čiapku.
A: Ten macko (na čiapke) sa volá Béžo?

V byte nešla elektrina, tak som vyšiel na chodbu a skúsil som, či ide výťah, aby som zistil, či je výpadok v celom vchode.
A: Co robíš tata?
T: Skúšam, či ide elektrina.A: Elektrina príde výtahom?

M: No poď holka.
A (prekvapene): Ja nie som holka, ja som oblecená!

T: Aj ja by som chcel takú bundičku ako máš ty.A: Takú malú?T: Nie, takú mäkkú.
A: Takú mäkkú a veľkú?
T: Áno.A (s ľústostivým pohľadom): Ked bude mat Agátka korunky, tak kúpi tatovi mäkkú a velkú bundicku.

Štastné a veselé!

Pytagorova pavučina

Na obrázku vľavo sú čiernymi bodkami zaznačené všetky usporiadané dvojice (x,y) prirodzených čísel menších ako 4000, pre ktoré je odmocnina z x²+y² celé číslo, čiže x a y sú celočíselné odvesny pravouhlých trojuholníkov s celočíselnou preponou. Vidíme, že tieto body nie sú rozmiestnené úplne chaoticky, ale majú určitú štruktúru.

Vedeli by ste vysvetliť pôvod "priamok", t.j. množín bodov (x,y), pre ktoré y=αx? Aké sú hodnoty konštanty α pre priamky, ktoré sú na obrázku najvýraznejšie? Menej viditeľná, ale pri pozornom pohľade nespochybniteľná je aj štruktúra rôznych "oblúkov". Vedeli by ste vysvetliť aj pôvod týchto oblúkov?

Pod vysvetlením nejakej "vizuálnej štruktúry" rozumiem matematické tvrdenie, na základe ktorého by matematik mohol vznik tejto štruktúry predvídať aj bez nakreslenia obrázku.

Poznámka: Prvé dve otázky sú samozrejme jednoduché, avšak ako vysvetliť pôvod oblúkov ma počas tých pár minút, ktoré som venoval rozmýšľaniu nad týmto problémom, nenapadlo. Ale Vy budete možno bystrejší. Alebo niečo nájdete na webe pod hlavičkou "Pythagorean triples".

Nebude matika! Pôjdeme do divadla ...

Konečne. Všetko nasvedčuje tomu, že sa konečne našiel hrdina, ktorý sa nebojí otvorene povedať, že
"matematika plne prispieva k znižovaniu IQ študentov a populácie Slovenska, vedie k vytváraniu bezmennej, plastickej masy, ktorá nepozná žiadne kultúrne hodnoty a žije ako limitovaná a ohlúpnutá skupina bez znalostí a záujmu o reálne potreby človeka." (Prečítajte si tento blogový príspevok.)

Reálnou potrebou človeka je totiž vedieť obsluhovať zákazníkov zahraničných reštaurácií v piatich svetových jazykoch a spisovne sa pozhovárať o futbale a o Hviezdoslavovi pri práci za pásom výrobnej linky. Za týmto účelom naozaj neexistuje lepšia voľba, než je novou školskou reformou v posledných dvoch ročníkoch gymnázií stanoviť ako jediné povinné predmety dva cudzie jazyky, slovenčinu a samozrejme telesnú výchovu.

A teraz vážne.

Jazyky sú síce veľmi dôležitý nástroj na komunikovanie myšlienok, ale na to, aby nám boli užitočné, musíme byť schopní v prvom rade produkovať tie myšlienky (možno s výnimkou divadelníctva). Nemá zmysel vedieť spisovne a plynule rozprávať v cudzom jazyku - a ani v slovenčine - bez toho, aby sme mali o čom rozprávať. Dovolím si tvrdiť, že väčšina ľudí, ktorí pracujú duševne a pritom tvorivo (okrem umelcov) využíva, alebo by s výhodou mohla využívať v nejakej forme matematiku, prípadne štatistiku (ktorá je ale tiež v podstate matematikou) - od statikov, strojníkov, farmaceutov, ekonómov, programátorov až po meteorológov a psychológov.

Aby sme sa rozumeli; samozrejme nie som a priori proti reforme osnov matematiky a v zásade ani proti tomu, aby sa matematiku nemuseli učiť žiaci, ktorí na to jednoducho nemajú. Ale ak má byť matematika pre študentov posledných dvoch ročníkov gymnázií nepovinná, tak s podmienkou, že naozaj každý bude mať zo zákona možnosť si ju zvoliť - a to v primeranom rozsahu.

Trojuholníky a determinant

Intuícia mi hovorí, že by mala platiť nasledovná veta; pokúsme sa ju dokázať (prípadne vyvrátiť kontrapríkladom, ale to by ma trochu mrzelo :)

Nech trojuholník abc je podmnožinou trojuholníka ABC. Vyjadrime body a,b,c ako konvexné kombinácie bodov A,B,C, t.j. nech


kde α_i1+α_i2+α_i3=1 pre všetky i a α_ij je nezáporné pre všetky i,j. Uvažujme maticu


Potom obsah S_abc trojuholníka abc a obsah S_ABC trojuholníka ABC sú vo vzťahu:


Poznámky: Myslím si, že táto úloha má potenciál inšpirovať veľa ďalších otázok. Napríklad: Platí analogické tvrdenie nielen pre trojuholníky, ale aj pre simplexy vyšších dimenzií (t.j. napríklad pre štvorsten)? Platilo by toto tvrdenie aj ak by trojuholník abc nebol podmnožinou trojuholníka ABC (a α_ij by mohli byť aj záporné)? Aký geometrický vzťah medzi trojuholníkmi (simplexami) reprezentujú špeciálne typy matíc M? Alebo: Ak by sme definovali determinant matice pomocou pomeru plôch trojuholníkov, nedali by sa priamo "vidieť" niektoré inak nie celkom prehľadné tvrdenia o determinante? Napríklad nebolo by možné geometricky zdôvodniť tvrdenie, že súčin determinantov matíc je determinant súčinu týchto matíc? A tak ďalej.
Poznámka 18.12.: Práve som zistil, že toto tvrdenie je známe; pozri vzťah (4) na tejto stránke mathworldu :-( ;-). Každopádne, poznámky pod znením úlohy môžu snáď viesť aj k niečomu aspoň trochu novému ...
Poznámka 23.12.: Všimnime si, že z našeho tvrdenia okamžite vyplýva to, že ak plocha trojuholníka ABC je jedna, tak koeficienty α₁₁, α₁₂ a α₁₃ zodpovedajú presne plochám trojuholníkov aBC, AaC a ABa :-)

Pascalov hrad

Keď som si dnes s dcérkou staval hrad, napadla ma nasledovná úloha :-)

Majme pyramídu, ktorá pozostáva z 1+2+3+...+k ohybných mostíkov tvaru približne zodpovedajúcemu symbolu Π, ako je znázornené na priloženom obrázku pre k=3. Predpokladajme, že "nožičky" mostíkov sú presne zvislé a všetky majú rovnakú dĺžku δ. Najnižšie položené mostíky stoja na podložke (vo všeobecnosti nerovnej) a vyššie položené mostíky majú nožičky presne na strede "striešok" patriacim dvom nižšie položeným mostíkom. Takže tvar celej ohybnej konštrukcie závisí od y-ových súradníc bodov B₁,...,B_k, B_k+1, ktorými sa konštrukcia dotýka podložky. Symbolom A označme bod ležiaci na strede striešky najvyššie položeného mostíka.

a) Nájdite vzorec, ktorý udáva závislosť y-ovej súradnice bodu A od δ a od y-ových súradníc bodov B₁,...,B_k, B_k+1.

b) Dá sa čakať, že čím väčšie je k, tým "vodorovnejšia" je strieška najvyššie položeného mostíka? (Chcel som mať čo najrovnejšiu základňu na čo najvyšší komín ;-)

Poznámka 8.12.: Časť a) je jednoduchá, taká stredoškolská, ale podľa mňa celkom zábavná. Časť b) je už trochu komplikovanejšia a zámerne som ju neformuloval úplne striktne. Aplikácia matematiky sa totiž veľmi často začína práve takýmito neformálnymi otázkami v "ľudskej reči" a prvou úlohou je práve nájsť zmysluplnú transformáciu daného problému do reči rigoróznej matematiky.

ARRA 2007

Krátko po zverejnení nelichotivého vysvedčenia slovenského stredného školstva v podobe správy PISA 2006, máme tu vysvedčenie pre naše vysoké školstvo a vedu od agentúry ARRA. Ani tentokrát sa nebudem púšťať do dlhých hodnotiacich úvah (hoci mi nedá nepripomenúť, že naša fakulta dopadla ako obvykle výborne; teda aspoň na slovenské pomery). Zameriam sa len na jeden možno trochu neopatrne formulovaný výrok uverejnený v článku SME pochádzajúci od nášho bývalého rektora profesora Ferdinanda Devínskeho:

"Ak odrátame akadémiu, tak špičkových vedcov máme na vysokých školách 35 z 1 500 profesorov. To je 2,3 percenta. Toľko ľudí je nejakým spôsobom schopných konkurovať vede vo svete alebo Európe. To je desivé číslo."

Kde sa zobralo číslo 35? Čo to znamená "konkurovať vede vo svete alebo Európe"? A kto sú vlastne tí naši super vedci? Z hodnotiacej správy sa dozvieme odpoveď len na prvú z týchto otázok a aj to iba čiastočnú. Kľúčovým ukazovateľom je pritom takzvaný Hirschov index publikačnej činnosti.

Globálny prínos práce vedca je príliš široký a vágny pojem na to, aby ho bolo možné dokonale kvantifikovať jedným číslom; často sa preto vedú vzrušené debaty o používaní toho či onoho kritéria. V tomto smere je Hirschov index (h-index) populárnou novinkou a jeho cieľom je zohľadniť ako kvantitu, tak aj kvalitu publikačnej činnosti. Hirschov index vedca V vypočítame ako maximálne n, pre ktoré platí: V má aspoň n publikácií, z ktorých každá má aspoň n citácií. (Podotýkam, že ARRA, celkom správne, neberie do úvahy samocitácie.) Výhody a nevýhody h-indexu sa podľa mňa celkom vyvážene popisujú na stránkach wikipedie.

Takže ako rozhodovala ARRA o tom, kto je špičkový vedec? Podľa ARRA je špičkový vedec ten, kto má nadlimitný Hirschov index, pričom limitný index je rôzny pre rôzne vedné odbory. Extrémnymi prípadmi sú na jednej strane matematika, kde je limitný h-index 6 a na druhej strane biológia, ktorá má limitný h-index 18. Hodnotiaca správa však neudáva akým spôsobom k týmto limitným indexom prišla, len informuje, že jedným z kritérií je priemerný počet citácii jednej práce v danom vednom odbore. (Napríklad matematika ako taká má priemerný počet citácií na jednu prácu 2,77, zatiaľčo biológia ich má až 15,67, teda jednoduchý zaokrúhlený konštantný násobok to nebude.) Súhlasil by som s takouto definíciou "špičkového vedca", avšak je pre mňa veľkou záhadou, prečo musí mať napríklad biológ h-index aspoň 18, aby bol "nejakým spôsobom schopný konkurovať vede vo svete alebo Európe". Aké sú dôvody myslieť si, že biológ s h-indexom povedzme 10 medzinárodnej konkurencie nie je schopný? Aký je vlastne h-index pre "priemerného" biológa vo svete a v Európe?

Samozrejme, nijako nenapádam aktivitu ARRA vyselektovať najlepších vedcov; naopak, veľmi to vítam a to aj napriek tomu, že akákoľvek kvantifikácia vedeckej práce bude niekoho nespravodlivo znevýhodňovať a iného nie celkom zaslúžene zvýhodňovať (napríklad toho, koho primárnou motiváciou je dosiahnutie vysokej hodnoty špecifického kvantitatívneho ukazovateľa). Nakoniec, medzi špičkovými slovenskými vedcami je 12 matematikov, z ktorých viacerých určite osobne poznám, a ktorých prácu si veľmi vážim.

Skrátka zoznam tých najlepších slovenských vedcov by som naozaj veľmi uvítal - mohol by byť jedným z podnetov pre zlepšenie situácie v našej vede. Ale na druhej strane je namieste byť trochu opatrnejší vo formuláciách, ktoré marginalizujú medzinárodný význam publikačnej aktivity všetkých ostatných. Naviac, bolo by vhodné upozorňovať na to, aké mimoriadne ťažké je vyšvihnúť sa medzi svetovú špičku v našich skromných podmienkach.

Poznámka 7.12.: Predpokladám, že limitné indexy boli v ARRA stanovené nejakou premyslenou (hoci nezverejnenou) metódou, ale ak by som mal ja zvoliť limitný h-index pre "špičkového slovenského matematika", tak by som ho založil na nejakej dobre definovanej skupine vedcov, napríklad všetkých matematikov z nejakej univerzity svetového významu. Za limitný h-index by som zobral medián h-indexov v tejto skupine ľudí (priemer by asi nebol najvhodnejší). Takýmto postupom by bol špičkový slovenský matematik skrátka ten, ktorý by patril k lepšej polovici aj na danej "svetovej" univerzite. Presne takto isto by som volil limitné indexy pre ostatné vedecké odbory, čím by vznikla do istej miery naozaj spravodlivá báza na medziodborové porovnávanie. (Inou možnosťou je zaradiť medzi špičkového slovenského vedca takého, ktorý je povedzme medzi prvými 5000 vedcami podľa h-indexu vedcov z celého sveta v danej oblasti.)

Poznámka 8.12. A: Dnes sa na SME objavil informatívnejší a opatrnejšie formulovaný článok o špičkových profesoroch, v ktorom sa už napríklad spomína, že "máme veľa aktívnych a výnimočných docentov" :-) Základný problém, t.j. ako dospeli v ARRA k limitným h-indexom, sa však ani v tomto článku neobjasňuje. Akú výpovednú hodnotu má mať údaj (napríklad "35 z 1500") založený na nezdôvodnených parametroch, ktoré sa v princípe dajú nastaviť tak, aby sme dosiahli akýkoľvek vopred požadovaný výsledok?

A ešte jedna poznámka: ARRA zabudla zverejniť na akom mieste v Európe a na svete je slovenská veda v počte publikácií v špičkových časopisoch v pomere k financiám, ktoré sa u nás vynakladajú na vedu. V tomto ukazovateli by Slovensko bezpochyby bolo v absolútnej svetovej špičke ;-)

Poznámka 8.12. B: ARRA už dávnejšie zverejnila menný zoznam najlepších slovenských chemikov (h-index aspoň 15) a fyzikov (h-index aspoň 13). V súvislosti s ním je veľmi zaujímavý zoznam približne 500 najlepších svetových chemikov zoradených podľa h-indexu. Každý z nich má h-index aspoň 50 ...

PISA 2006

Včera prebehla správami zaujímavá informácia o výsledkoch testu PISA 2006, ktorého cieľom bolo zmerať školské vedomosti a schopnosti 15 ročných mládežníkov z krajín OECD (pozri napr. článok SME). Nebudem tu analyzovať príčiny neúspechu Slovenska a úspechu Fínska; tie chápu takmer všetci (pozri napríklad článok z Izraela), bohužiaľ okrem tých ľudí, ktorí majú/mali reálnu moc naše školstvo postaviť na nohy.

Upozorniť by som však chcel na stránku projektu PISA 2006, na ktorej je možné získať sumárne štatistiky o odpovediach na jednotlivé otázky vo všetkých zúčastnených krajinách. Zaujíma Vás napríklad, či v teste z matematiky dopadli na Slovensku lepšie chlapci alebo dievčatá? A čo by ste povedali: V čítaní dopadli lepšie tí, ktorí majú doma umývačku riadu, alebo tí, ktorí umývačku nemajú? Na uvedenej stránke sa dajú získať tieto a mnoho iných zábavných aj poučných štatistík.

Štatistická poznámka: Dôležitým údajom v tabuľkách databázy PISA je číslo SE (standard error), pomocou ktorého je možné počítať intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu μ daného ukazovateľa v rámci celej populácie. Napríklad ak je priemerný výsledok (ktorý je iba odhadom hodnoty μ) v nejakej kategórii 454 bodov a príslušná SE je 6,07, tak 95 percentný interval spoľahlivosti pre hodnotu μ je 454 plus mínus 1,96 krát 6,07, t.j. približne 442 až 466. (Konštanta 1,96 pochádza z normálneho rozdelenia.)

Na presné pochopenie intervalov spoľahlivosti je vhodné absolvovať prednášku zo základov pravdepodobnosti a štatistiky, ale zhruba povedané čím väčšie SE, tým nespoľahlivejší je daný priemer nameraných hodnôt ako indikátor skutočnosti. Ako "rule of thumb" môžeme uvažovať takto: je skoro isté, že globálny priemer μ je v rozmedzí výberový priemer +- 2*SE.

Poznámka 6.12. A: Ohľadom výsledkov PISA 2006 sa rozbehla intenzívna diskusia (pozri napríklad nový článok na SME). Musím povedať, že ma zaráža, že je vôbec niekto našimi výsledkami prekvapený. Čo nadpriemerné sa na Slovensku robí v školstve, alebo pre školstvo, aby sme mohli dosiahnuť nadpriemerné výsledky? Podľa mňa nenájdete ani jeden reálne podložený argument, na základe ktorého by sme mali očakávať lepší výsledok.

Ak chce ministerstvo školstva vyvodiť z daného prieskumu podložené závery, mali by urobiť dôkladnú štatistickú analýzu dát PISA 2006, ktorá by odhalila tie charakteristiky školských systémov, ktoré najviac ovplyvňujú výsledok. Toho sa však zrejme nedočkáme pretože vážne hrozí, že ako absolútne rozhodujúci by sa ukázal politicky veľmi "nepríjemný" faktor, ako napríklad percento HDP idúce na školstvo.

Poznámka 6.12. B: Zbežne som si prezrel výber zadaní testov z matematiky a nadobudol som dojem, že viem prečo naši žiaci neuspeli. Totiž veľa príkladov bolo zameraných na to, ako rozumným spôsobom použiť matematické vedomostí v elementárnych, no naozaj reálnych situáciách a nie na mechanické dosadzovanie do vzorcov. V teste sa vyskytujú napríklad úlohy odhadnúť výšku budovy, kriticky zhodnotiť údaje prezentované grafom, alebo posúdiť výhodnosť nákupu pizze. Skrátka na úspešné zvládnutie takýchto testov je nutné dobre rozumieť jednoduchým matematickým princípom a pri ich aplikovaní, prekvapivo, premýšľať. Naopak, je skoro zbytočné vedieť naspamäť komplikované vzorce a úzke formálne schémy, kde sa tieto vzorce dajú mechanicky aplikovať.