Rovnako ako v úlohe "Valivá úsečka", predstavme si, že sa malá kružnica "valí" po vnútornej strane veľkej kružnice s dvojnásobným polomerom. Červenou farbou označme pevne zvolený bod na malej kružnici a modrou farbou pevne zvolený bod na úsečke spájajúcej tento bod so stredom malej kružnice. Je pravda, že modrý bod opisuje matematicky presnú elipsu? (Kliknutím na obrázok sa spustí animácia.)
13 januára 2008
Valivá elipsa
Rovnako ako v úlohe "Valivá úsečka", predstavme si, že sa malá kružnica "valí" po vnútornej strane veľkej kružnice s dvojnásobným polomerom. Červenou farbou označme pevne zvolený bod na malej kružnici a modrou farbou pevne zvolený bod na úsečke spájajúcej tento bod so stredom malej kružnice. Je pravda, že modrý bod opisuje matematicky presnú elipsu? (Kliknutím na obrázok sa spustí animácia.)
Zvolíme stred veľkej kružnice za bod počiatok súradnicovej sústavy. Vyšlo mi, že bod v čase t je na mieste so súradnicami [cos(t)*3/4, -sin(t)/4]. Teraz už len ukázať, že opísaná krivka je elipsa. Mne sa to zdá intuitívne jasné, ale mal by som sa ešte učiť na inú skúšku :)
OdpovedaťOdstrániťOpísaná krivka je elipsa, stačí zvoliť parametre elipsy a=3/4, b=1/4 a dosadiť súradnice [x, y]=[cos(t)*3/4, -sin(t)/4] do (x/a)^2+(y/b)^2 = 1. Už sa môžem s pokojným svedomím učiť ďalej.
OdpovedaťOdstrániťOK Lukas :-) Skusky su ale dolezitejsie; nenechaj sa vyrusovat mojim blogom. Inak drzim palce na skuskach.
OdpovedaťOdstrániť