08 januára 2008

Valivá úsečka

Dnes mi zadal otec takúto peknú úlohu:

Malá kružnica sa "valí" po vnútornej strane veľkej kružnice s dvojnásobným polomerom. Zdá sa, že akýkoľvek bod zaznačený na malej kružnici kmitá presne po úsečke (kliknite na obrázok vľavo). Je to naozaj tak?

2 komentáre:

Lukas povedal(a)...

Mne vyšla kladná odpoveď. Pri dôkaze som použil jednu Talesovu kružnicu, jeden obvodový uhol, rýchlosť rotácie menšej kružnice a pár aritmetických operácií.

Radoslav Harman povedal(a)...

Ahoj Lukáš. Máš pravdu, je to naozaj presná úsečka (hoci tie kruhy, aspoň mne, vytvárajú optický klam spôsobujúci akoby jemné zahnutie dráhy červeného bodu.) Tento fenomén si všimol už perzský astronóm Nasir Al-Din al-Tusi v 13. storočí.

Dôkaz si síce nepopísal presne, avšak tuším, ako si naň išiel. (Napríklad viem, kde sa v tomto probléme dá nájsť Talesova kružnica.)

Táto krivka je inak len špeciálnym "degenerovaným" prípadom širokej triedy cykloíd s mnohými zaujímavými vlastnosťami. Ak by sme točili kružnicu s fixným bodom vo vnútri (tak ako v tomto prípade), dostaneme hypocykloidu, ak ju točíme zvonka, dostaneme epicykloidu. Dá sa tušiť, že tieto krivky sa často vyskytujú napríklad v technickej praxi.