12 januára 2010

Fermatova množina

Dnes uplynulo presne 345 rokov od smrti slávneho Fermata a pri tejto príležitosti vyšiel na SME celkom pekný a čitateľsky úspešný článok. Diskusie k podobným článkom sú síce zaujímavé viac z psychologického, než z matematického hľadiska, avšak občas sa v nich vyskytne komentár, nad ktorým sa oplatí zamyslieť. V diskusii k článku o Fermatovi bola pre mňa takou nasledovná otázka čitateľa "toerotik":

"Ak mocnina 2 je Pytagorova veta, a pre [mocninu] 3 vraj mal [Fermat] dôkaz [veľkej Fermatovej vety], ako je to s mocninou napríklad 2,2?"

Teória čísiel nie je mojou silnou stránkou, ale tipol by som si, že táto otázka môže byť netriviálna aj pre špecialistu. Formulujme si preto nasledovnú, podstatne všeobecnejšiu úlohu:

Fermatovou množinou nazvime množinu všetkých reálnych čísiel r, pre ktoré existujú prirodzené čísla x,y,z spĺňajúce xr+yr=zr. Čo všetko vieme povedať o Fermatovej množine?

Jedna z vlastností Fermatovej množiny je tá, že obsahuje čísla 1 a 2, ale neobsahuje žiadne väčšie prirodzené číslo (to je vlastne veľká Fermatova veta). Vieme povedať o nejakých ďalších reálnych číslach, že patria, alebo nepatria do Fermatovej množiny? Vieme povedať, či Fermatova množina obsahuje nekonečne veľa reálnych čísiel? ... Teším sa na Vaše postrehy.

13.1.: V komentároch sa nám podarilo dokázať, že Fermatova množina je hustá v reálnych číslach, čiže pri akomkoľvek reálnom čísle vieme nájsť ľubovoľne blízko nejaké číslo z Fermatovej množiny. Peťo tiež našiel pomerne nedávny článok, z ktorého plynie, že kladné čísla z Fermatovej množiny sú iracionálne, s výnimkou čísiel tvaru 1/n a 2/n, kde n je prirodzené číslo.

Napadlo ma, že by mohlo byť zaujímavé zobraziť grafy funkcií xr+yr-zr reálnej premennej r pre niekoľko "malých" trojíc prirodzených čísiel x,y,z. Tu je výsledok pre všetky trojice prirodzených čisiel x,y,z, ktoré nepresahujú 8:


Červenou bodkou som zaznačil čísla r, v ktorých platí xr+yr-zr=0, čiže čísla z Fermatovej množiny. Keď som zväčšoval počet trojíc x,y,z, červené bodky skutočne čím ďalej, tým hustejšie pokrývali množinu reálnych čísiel...

22 komentárov:

Lev bez hrivy povedal(a)...

Nekonecne vela ich je, napriklad vsetky 1/n, kde n je prirodzene cislo.

Radoslav Harman povedal(a)...

Lev: Správne! Keďže napríklad 1^(1/n)+1^(1/n)=(2^n)^(1/n), tak všetky čísla tvaru 1/n, kde n je prirodzené číslo, patria do "Fermatovej množiny".

Má niekto nejaké ďalšie postrehytýkajúce sa tejto množiny?

Peter povedal(a)...

Okrem čísiel tvaru 1/n patria do Fermatovej množiny aj čísla tvaru 2/n. Stačí zobrať x = 3^n, y = 4^n a z = 5^n.

predbarakom povedal(a)...

Skúšal som nájsť niečo s inými racionálnymi exponentami ale bezvýsledne. Potom som si na to napísal krátky MATLAB programík, ani ten nič nenašiel.

Respektíve našiel len zopár "približných" riešení ako napríklad

4529^(0.75) + 94327^(0.75) = 107443^(0.75). Rozdiel ľavej a pravej strany je menší ako 2^(-12); nie je však nulový.

Potom som sa trošku pohrabal po nete a zistil som že v roku 2004 o tom niekto napísal článok. Tu je:

http://www.jstor.org/stable/4145241?seq=1

V skratke, pre racionálne exponenty tvaru m/n kde m>2 (my sme s Levom teda analyzovali presne tie jednoduché prípady m=1 a m=2!) to nejde ak nechceme brať do úvahy komplexné čísla. Ak chcete vedieť ako to ide s komplexnými (od)mocninami, stačí si prečítať polovicu prvej strany článku, je to tam jasne napísané.

Radoslav Harman povedal(a)...

Peťo: Fajn. V poslednej dobe nadobúdam pocit, že všetky matematické problémy už boli riešené, okrem tých, ktoré sú súčasne aplikačne aj esteticky nezaujímavé. A z riešených problémov zostali nevyriešené len tie, ktoré sú extra pekelne ťažké.

Ale inak ten článok zďaleka nedáva vyčerpávajúcu charakterizáciu "Fermatovej množiny". Zostáva nezodpovedaná otázka ako je to so zápornými a hlavne ako je to s iracionálnymi exponentmi.

predbarakom povedal(a)...

Ešte jedna drobnosť.

Ak sa uspokojíme s približnými riešeniami (v zmysle rozdielu ľavej a pravej strany), tak "najmenšie" riešenie rovnice pre r=2.2, s presnosťou na dve desatinné miesta je

26^(2.2) + 80^(2.2) = 83^(2.2)

a na tri desatinné miesta je

475^(2.20) + 1700^(2.20) = 1746^(2.20)

Zdá sa mi zaujímavé sa teraz spýtať pre ktoré r existuje riešenie s ľubovoľne malou chybou.

Anyone?

Ruziklan povedal(a)...

No... -1 je tusim jasna.

Iracionalne tiez budu a bude ich vela. Zober si napr.

3^1 < 2^1 + 2^1
3^2 > 2^2 + 2^2

Zo spojitosti fcie 3^t-2x2^t vyplyva, ze nulovy bod pre nejake t ma.

Zober si akukolvek takuto trojicu cisel, kde samo cislo je najvacsie a dostanes nejake riesenie, lebo hocico na 0 je 1 a teda 1 < 1+1, na druhu stranu, ked to najvacsie umocnis na nieco dost velke, tak tie dve mensie nestihaju a plati opacna nerovnost.

Radoslav Harman povedal(a)...

Ruziklan: Presne táto úvaha ma tiež hneď napadla, keď som si prečítal ten diskusný príspevok na SME. Skrátka funkcia x^r+y^r-z^r je spojitá a pre rôzne prirodzené x,y,z nadobúda aj záporné aj kladné hodnoty, čiže pre nejaké r musí byť nulová.

Ako "husto" sú rozmiestnené reálne čísla vo Fermatovej množine? Patrí každé iracionálne číslo do Fermatovej množiny? Je ešte nejaké iné záporné číslo okrem -1 v tejto množine?

predbarakom povedal(a)...

Ruziklanovym nápadom sa dá zodpovedať otázka hustoty.

Pýtajme sa aké reálne exponenty r vieme vyjadriť v prípade že zvolíme x = y. Množinu takýchto exponentov nazveme T.

Tvrdenie: T je hustá v R.

Dôkaz: Vyriešením rovnice 2x^r = z^r sa presvedčíme, že

T = {1/log_2(z/x) : z,x prirodzené}.

Zvyšok plynie z toho, že kladné racionálne čísla sú husté v R+.

Radoslav Harman povedal(a)...

Peťo: Super! Takže Fermatova množina (F) je hustá v R; Vysvetlenie pre tých, ktorí nepoznajú definíciu hustej množiny: akýkoľvek malý otvorený interval obsahuje nekonečne veľa čísiel množiny F.

Ako je to s racionálnymi (predovšetkým celými) zápornými exponentmi? Je Fermatova množina spočítateľná?

Radoslav Harman povedal(a)...

Ešte by som dodal, že pôvodnú úlohu diskutéra "toerotik" už máme do značnej miery zodpovedanú. Skrátka pre exponent 2,2 neexistuje príslušné riešenie, ale ľubovoľne blízko číslu 2,2 sa dá nájsť iracionálny exponent, pre ktoré riešenie existuje.

Anonymný povedal(a)...

Mám oprávnené obavy, že účastníci tejto diskusie sú mimo reality. Po prvé, Fermat mal na mysli mocniny s celými číslami a to z jedného dôvodu, že priestor s nie celými priestorovými dimenziami nemôže existovať.
Pre jednoduchosť zadefinujme jednorozmerný priestor ktorého dimenzia nebude jednorozmerná, x na 1, ale o hodnote x na 0,5. Taký priestor môže vzniknúť iba v Einsteinovej špeciálnej teórii relativity, pri pohybe sústavy rýchlosťou blízko rýchlosti svetla, aj to iba pre vonkajšieho pozorovateľa. To bezduché machrovanie s bezrozmernými číslami, ktoré s materiálnou podstatou časopriestoru nemajú nič spoločného je až do plaču.

Rori povedal(a)...

Hmm, matematikov realita netrapi, realita sa musi prisposobit :)

Ale teraz vazne - vela akoze od veci vzorcov a podobnych akoze nezmyslov neskor naslo zmysel aj v realite alebo sa stali velmi napomocnymi pri rieseni inych realnych problemov. Preto je dobre ak sa matematici zaoberaju aj vecami ktore hned ludia nevidia, ze mozu mat realne uplatnenie.

Radoslav Harman povedal(a)...

Anonym: Netreba mať absolútne žiadne obavy o to, že účastníci tejto diskusie sú mimo reality. Nakoniec, pokiaľ viem, tak nielen ja, ale aj napríklad Ruziklan, Peťo a Rori sa venujú predovšetkým aplikáciám matematiky, alebo informatiky. (Mimochodom, výsledky našej práce používajú desiatky tisíc ľudí na internete, hoci to nie je verejne známe.) Čistá a zábavná matematika je pre nás trochu ako hobby a tréning na vyložene praktické aplikácie, ktorými sa inokedy zaoberáme. Celkom podobne, ako keď si požiarnicky zbor občas zahrá futbal. Nie je na tom nič zlé. Práve naopak.

O tom, že vo formulácii Fermatovej vety sú celočíselné mocniny, nás skutočne netreba poučovať. Myslím, že všetci si to veľmi dobre pamätáme možno tak od tretej triedy základnej školy, keď sme sa s veľkou Fermatovou vetou prvýkrát stretli. Problém neceločíselných mocnín je však tiež absolútne zmysluplný, čo nakoniec dokazuje aj článok na prakticky tú istú tému, ktorý našiel Peťo, a ktorý bol publikovaný v slávnom časopise The American Mathematical Monthly.

Na druhej strane tvrdenie, že Fermat skúmal celočíselné mocniny z dôvodu celočíselnosti počtu dimenzií priestoru, nie je ničím podložené a to, že "jednorozmerný priestor, ktorého dimenzia [bude] o hodnote x na 0,5... môže vzniknúť iba v Einsteinovej špeciálnej teórii relativity" je doslova blábol.

Nik tu s ničím bezducho nemachruje, ale bavia sa tu svojim jazykom medzi sebou ľudia, ktorí matematike rozumejú.

Charon ME povedal(a)...

Nebude to pan Jaray alebo nejaky jeho nasledovnik? :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Žeby ma poctil svojou návštevou slávny autor matematiky zmaterializovaných, celých kvantových čísel a kauzálnej fyziky absolutného pohybu hmoty, predseda Akadémie Reálnych Vied Cassoviensis, Generalissimus Reálnych vied Alexander Járay?

Inak v poslednej dobe som natrafil na matematicky zaujímavejší epic fail, ktorý sa nejako dostal na Knol. Chudák Knol...

Rori povedal(a)...

Pan Harman - asi na Vas podam zalobu ze ohrozujete moje dusevne zdravie! Linky na take veci prosim uz nedavajte - ja som to nechtiac docital az do konca!

Ale teraz vazne - preboha ako to niekto tak moze mysliet (myslim tu prvu linku na p. Alexandra Járaya). Chapem, ze vyssia matematika nie je pochopitelna pre vacsinu ludi, ale to co tam ten pan napisal je ... no ja fakt neviem najst slova...

Rori povedal(a)...

Este musim dodat ze som myslel ten clanok "Zlomok je nazančené delenie (klamstvo)."

Radoslav Harman povedal(a)...

Rori, ospravedlňujem sa, nabudúce dám k podobnému odkazu zreteľnú výstrahu :-) Ale ten článok o delení, to ešte nie je nič. Chcel by som vidieť, aké slová našiel prof. Dvurečenskij, inak veľmi mierny a extrémne inteligentný človek, keď si prečítal [UPOZORNENIE: Nasledovný odkaz je len pre odolnejšie povahy a psychiatrov] toto. Len sa dosť čudujem SME, že takéto blogy vôbec umožňuje Járayovi zverejňovať...

Rori povedal(a)...

Som neodolal a preecital si tam par veci - nie len z toho linku. Tie clanky si velakrat odporuju (napriklad zlomky su vraj bludy ale inde ich vyuziva a pod.). Moja otazka znie - co to je za cloveka? Je to naozaj realny clovek alebo niekto len so zvratenym uvazovanim? Naozaj ten clovek ma nieco s kvantovou fyz.?

Radoslav Harman povedal(a)...

Rori: Je to reálny človek, ktorý žije v hlbokom presvedčení, že je génius, ale nikto ho nechápe. (Mimochodom, v diskusiach SME si dal nick "genius".) Okrem toho je dosť agresívne naladený a píše urážlivé články nielen na slovenských matematikov a fyzikov, ale aj na psychiatrov. Angažuje sa aj v "politike", napríklad kandidoval na prezidenta; viď článok na wikipédii.

Na svete je krankov pomerne veľa, ale takto všestranne aktívnych asi ani nie. V podstate sa naozaj jedná o "výnimočného" človeka.

Peter Richtárik povedal(a)...

Ku mne na blog jeden krank zavítal v apríli (viď diskusiu k článku "Body v rovine" počnúc od od 18.4):

http://predbara.com/2009/01/20/body-v-rovine/

Tu je jeho web:

http://www.tichanek.cz/

Celkom ma bavilo sa s ním pobaviť pretože skúsenosti podobného charakteru mi chýbali. Samozrejme nikam som sa s ním nedostal, jeho "softvér" nefunguje na báze konvenčnej logiky...