10 septembra 2012

Úloha zo sna

O matematike sa mi sníva pomerne často, no len občas si obsah môjho sna zapamätám natoľko presne, aby malo zmysel sa nad ním viac zamýšľať. V noci zo soboty na nedeľu sa mi snívalo o tom, ako jeden známy slovenský profesor matematiky dostal od študentov úlohu a ani za nič sa mu ju nedarilo vyriešiť; pamätám sa, ako frustrovane mával rukami, v jednej špongia, v druhej krieda, pred tabuľou pokreslenou čiarami pripomínajúcimi abstraktný obraz z pohľadu značne podguráženého obdivovateľa umenia.


Prekvapivo, úloha, ktorú v mojom sne dali študenti profesorovi, je zmysluplná a dosť odlišná od všetkých úloh, nad ktorými som dosiaľ uvažoval v bdelom stave. Fungovanie ľudského mozgu ma neprestáva fascinovať. Tu je spomínaná úloha:

Nech M je množina bodov v rovine a nech x je vektor. Posunutím množiny M o vektor x budeme rozumieť množinu M+x pozostávajúcu z bodov tvaru B+x, kde B patrí M. Racionálnym bodom v rovine nazveme taký bod, ktorého obidve súradnice sú racionálne čísla. Dokážte, že ak M je zjednotením konečného počtu úsečiek, potom existuje vektor x taký, že M+x neobsahuje žiadne racionálne body.

7 komentárov:

goober povedal(a)...

Možno by nám pomohlo translačne invariantné a spočítateľne aditívne meradlo francúzskej výroby, pre ktoré sú čiary zanedbateľné? :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

goober: Verím tomu, že vynález pána L. by pomohol, ale existuje aj jednoduchšie a pomerne stručné riešenie, na ktoré stačí prvácka teória množín :)

goober povedal(a)...

Ale nóóóó... ako sa teraz musí cítiť chudák známy slovenský profesor matematiky, ktorý úlohu vo sne vyriešiť nevedel? :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Práve preto som ho nemenoval; mohol by sa uraziť, že sa mi to o ňom mohlo čo i len snívať... :)

Lubos Steskal povedal(a)...
Tento komentár bol odstránený autorom.
Lubos Steskal povedal(a)...

Jeeeej :) Super sen. Pre mna bolo klucove uvedomit si, ze niektore cisla nam dokazu ...hmmm.. rozsirit horizonty vnimania a ze je ich dost vela:)
Ak sa nemylim, tak by sa uloha dala zovseobecnit pre spocitatelne vela nadrovin v konecne-rozmenom priestore a stale by sa dala pouzit prvacka teoria mnozin :)

peter povedal(a)...

Mozno by sa to dalo dokazat takto.

Predpokladajme, ze kazdy posun (dx, dy) mnoziny M obsahuje racionalne body (v zmysle definicie ulohy). Urobme najprv posun o dx a uvazujme x-ove suradnice bodov. Niektore su iracionalne a taketo body su vyriesene, ostatne su racionalne. Usecky, ktore nie su vertikalne orientovane musia obsahovat najviac spocitatelne mnozstvo takychto bodov, lebo existuje bijekcia medzi bodmi usecky a intervalom na osi x, na ktorom sa nachadzaju ich x-ove suradnice (a racionalnych cisiel na intervale je spocitatelne vela). V pripade vertikalnych useciek uvazujeme len take dx, ktore posunie vsetky vertikalne usecky na iracionalnu x-ovu suradnicu (Tvrdenie 1 nizsie).

Nech teraz urobime posun o akekolvek dy, tak (podla predpokladu) y-ova suradnica aspon jedneho z tychto bodov bude racionalna, t.j

Pre vsetky dy z R existuje take y zo spocitatelnej mnoziny, ze

y + dy = q, q je z Q

Ale potom kazde realne cislo dy sa da napisat ako

dy = q - y

To by ale znamenalo, ze aj realnych cisiel je spocitatelne vela. To je kontradikcia, takze predpoklad neexistencie vhodneho posunu je nespravny.


Tvrdenie 1. Pre kazdu konecnu mnozinu realnych cisiel z_1, ..., z_n existuje realne cislo u take, ze z_k + u je iracionalne pre vsetky k = 1,.., n.

Dokaz je podobny ako vyssie. Ak by take u neexistovalo tak kazde realne cislo u by sa dalo vyjadrit ako

u = q - z_k, pre niektore q z Q a niektore k z {1, ..., n}

Takze by muselo byt spocitatelne vela realnych cisiel.