20 augusta 2012

K základom teórie pravdepodobnosti

Nasledovný text som si napísal v máji 2010 ako stručnú prípravu na scenár relácie "Nočná pyramída" Slovenského rozhlasu. Pri vysielaní sme sa však scenára skoro vôbec nedržali, a tak som zo svojej prípravy použil len málo. Tento text zverejňujem, lebo by možno bola škoda, keby na mojom harddisku iba zapadol prachom :)

Kto je zakladateľ teórie pravdepodobnosti a aké má miesto táto disciplína v matematike?

Prvé úvahy o pravdepodobnosti začali ľudia rozvíjať už veľmi dávno, minimálne odkedy hrávajú hazardné hry. Pokiaľ viem, tak prvé uchované zmienky o matematickom prístupe k pravdepodobnosti, tiež v súvislosti s hazardnými hrami, možno nájsť v korešpondencii medzi Fermatom a Pascalom  okolo polovice 17. storočia. Fermata možno poznajú poslucháči v súvislosti so slávnou veľkou Fermatovou vetou a Pascala v súvislosti s Pascalovým trojuholníkom, alebo Pascalovým zákonom.

K teórii pravdepodobnosti výrazne prispeli na začiatku 18. storočia Abraham de Moivre, ktorý ako prvý študoval Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti a Jacob Bernoulli, ktorý ako prvý v istej forme formuloval zákon veľkých čísiel.  V súčasnosti používané matematické axiómy pravdepodobnosti vybudoval až v 30-tych rokoch 20. storočia Andrej Kolmogorov. V porovnaní s ostatnými matematickými disciplínami je teória pravdepodobnosti relatívne mladá.

Teória pravdepodobnosti je jednou z najdôležitejších oblastí matematiky, obzvlášť kvôli tomu, že tvorí matematický základ štatistiky. Pravdepodobnosť je časťou teórie miery, ale nejakým spôsobom súvisí s prakticky všetkými matematickými disciplínami.

Základné zákony teórie pravdepodobnosti...

Existuje veľmi presná matematická charakterizácia zákonov teórie pravdepodobnosti, ktorá zahŕňa viacero možných interpretácií pravdepodobnosti. Niektoré z týchto zákonov sú veľmi formálne, alebo založené skôr na dohode ako nutnosti, napríklad ten, že pravdepodobnosť meriame číslami medzi nulou a jednotkou, pričom pravdepodobnosť jedna znamená, že daná udalosť nastane s istotou. Najdôležitejší z týchto zákonov, zákon aditivity pravdepodobnosti, je možné vysvetliť aj neformálne. Hovorí, že pravdepodobnosť nastatia jednej udalosti spomedzi navzájom sa vylučujúcich udalostí musí byť rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Zoberme si napríklad hádzanie falošnou kockou. Nech by bola táto kocka akokoľvek nevyvážená, tak musí platiť, že pravdepodobnosť, že padne nejaké párne číslo, je rovná pravdepodobnosti, že padne dvojka, plus pravdepodobnosť, že padne štvorka, plus pravdepodobnosť, že padne šestka. Môže sa to zdať samozrejmé, ale veľa matematických zákonov je vlastne úplne samozrejmých, keď si ich človek trochu premyslí. Inak, je zaujímavé si uvedomiť, že matematik používa na narábanie s pravdepodobnosťou v podstate taký istý aparát ako na narábanie s plochami rovinných útvarov. Aditivita plochy znamená, že ak by sme nejaký útvar rozkrájali na kúsky, tak plocha pôvodného útvaru je rovná súčtu plôšok vzniknutých kúskov.

Ako môže vôbec existovať náhoda vo svete, kde platia prírodné deterministické zákony?

Náš svet je, zdá sa, zvláštnou kombináciou determinizmu a náhodnosti. Najhlbšie zákony sveta, ktoré poznáme, to znamená zákony kvantovej mechaniky, sú síce deterministické, ale deterministicky popisujú práve náhodnosť. Tieto zákony nevedia presne predpovedať čo sa stane, ale vedia v princípe presne predpovedať s akou pravdepodobnosťou sa čo stane.

Na našej makroúrovni sa síce dajú formulovať fyzikálne zákony, ktoré zdanlivo úplne jednoznačne určujú čo sa stane v budúcnosti, ale je to naozaj iba zdanlivé. Aj maličké náhodné odchýlky na mikroúrovni sa postupom času môžu zosilňovať a spôsobiť divergenciu makroskopických dejov; ide o známy efekt motýlích krídel. Takouto divergenciou dejov sa zaoberá matematická teória chaosu a dynamických systémov.

Okrem toho, zrejme aj ak by bol náš svet vo svojej podstate úplne deterministický, mala by teória pravdepodobnosti svoje opodstatnenie, pretože pravdepodobnosť môžeme použiť ako model miery našej vedomosti o javoch budúcich, ale aj o javoch minulých. Pravdepodobnosť logicky konzistentne špecifikuje ako sa mení naša miera nevedomosti pri postupnom získavaní informácie. Tomuto pohľadu na pravdepodobnosť má blízko takzvaná Bayesovská štatistika.

Načo sa táto oblasť matematiky využíva v praxi? Jej vzťahy k štatistike...

Teória pravdepodobnosti sa využíva v rôznych situáciách, napríklad na stanovenie toho, aké pravidlá lotérie zabezpečujú zisk prevádzkovateľovi, v poistnej matematike na určenie výšky poistného, v systémoch hromadnej obsluhy s cieľom povedzme zabezpečiť plynulosť prevádzky, pri určovaní spoľahlivosti systémov zložených z nespoľahlivých súčastí, alebo aj vo finančnej matematike na modelovanie vývoja rôznych ekonomických ukazovateľov a na oceňovanie finančných derivátov.

Pravdepodobnosť sa tiež vyskytuje v základoch teórie informácie a kódovania, preto je dôležitá aj pre počítačové vedy. Napríklad vyhľadávače na internete - internetový gigant Google používa na stanovenie hodnotenia stránok, takzvaný markovovský reťazec, čo je model patriaci do teórie pravdepodobnosti. Alebo ešte jeden príklad - väčšina z nás sa denne stretáva s nevyžiadanou elektronickou poštou, takzvaným spamom. No a na filtrovanie spamov sa používajú programy založené na teórii pravdepodobnosti, na takzvanom Bayesovom vzorci.

Ale najväčšie uplatnenie pravdepodobnosti je, že tvorí matematický základ štatistiky, čo je vlastne, veľmi zostručnene povedané, získavanie dôležitej informácie v podmienkach neurčitosti. Pravdepodobnosť možno chápať ako nástroj na modelovanie reálnych dejov s prvkami náhodnosti, ktorý nám umožňuje matematicky presne zdôvodniť používanie štatistických procedúr.

Aplikácie štatistiky môžeme nájsť na každom kroku; spomeniem napríklad testovanie účinnosti liečiv a vyhodnocovanie prieskumov verejnej mienky. Značná časť vedeckého výskumu, prakticky každý výskum, ktorý sa zakladá na experimentoch a modelovaní dejov s prvkami neurčitosti, používa matematickú štatistiku a sprostredkovane teóriu pravdepodobnosti. Od štatistickej mechaniky vo fyzike, až po experimentálnu psychológiu.

Vzťah medzi matematikou a logikou; v akom vzťahu sú tieto dve formálne vedy?

Matematici logiku neustále používajú, ale nie veľmi často sa nad samotnou logikou zamýšľajú. Logika je pre matematika niečo ako pravidlá hry, podobne ako v šachu (hoci na rozdiel od pravidiel šachu, iné "pravidlá matematiky", čiže inú matematickú logiku, si neviem celkom dobre predstaviť). Šachisti pravidlá vyčerpávajúco ovládajú, ale explicitne sa nad nimi nezamýšľajú; skôr sa snažia hľadať v rámci pravidiel šachové kombinácie. Napriek tomu, že pravidlá šachu aj pravidlá logiky sú jednoduché, tak existuje skoro nekonečne veľa možných prípustných šachových kombinácií a, analogicky, platných odvodení matematických tvrdení.

Možno by sa táto metafora dala potiahnuť aj trochu ďalej. Práve kvôli prísnym pravidlám nie sú v šachu prakticky nikdy spory, kto vyhral, a ani v matematike nie sú skoro nikdy spory, či je dané matematické odvodenie platné. To odlišuje matematiku od ostatných vied. Matematika prakticky nikdy neprehodnocuje to, k čomu v minulosti dospela; keď sa raz nejaké matematické tvrdenie dokáže, tak už je pravdivé navždy. (To tvrdenie bolo samozrejme pravdivé aj kedykoľvek predtým, len my sme o ňom nevedeli, alebo sme ho možno tušili, len sme si neboli úplne istí, že platí. Matematika je ako objavovanie a mapovanie fascinujúcej neznámej krajiny, ktorá existuje nezávisle na nás.) Preto sú "Euklidove základy" rovinnej geometrie úplne bez zmeny platné aj dnes po 2300 rokoch, hoci samozrejme metódy výkladu sa zmenili. A preto je v matematike, najmä v takzvanej "čistej" matematike, dnes už veľmi ťažké objavovať principiálne nové tvrdenia, ktoré by boli zaujímavé pre viac ako hŕstku špecialistov a ktoré by sa dali stručne a jasne opísať v bežnom jazyku.

Čo je pre matematika možné, čo nemožné, čo pravdepodobné a čo skutočné?

Povedal by som, že pre matematika nie je skoro nič úplne nemožné s výnimkou logicky sporných vecí, ako napríklad, že niečo existuje a súčasne neexistuje. To je možno trochu iná odpoveď, akú by ste dostali od fyzika; ten by možno povedal, že nemožné je cestovať rýchlosťou vyššou ako je rýchlosť svetla. To je síce v našom vesmíre pravda, naša fyzika to neumožňuje, ale pre matematika to principiálne nemožné nie je, lebo matematika, zdá sa, je v schopná popísať aj iný vesmír ako je ten náš.

No, predsa len sa mi ako matematikovi niektoré veci zdajú nemožné. Zdá sa mi, že je principiálne nemožné, aby existoval vesmír bez matematických objektov, aj tých najzložitejších. Ak je niekde vo vesmíre nejaká technicky veľmi vyspelá civilizácia, som si istý, že v nejakej forme pozná číslo , Riemannovu zeta funkciu, alebo aj ohromne komplikovaný matematický objekt s názvom "Monštrum".

Prečo sa javy vo svete dajú matematicky modelovať, prečo je možná matematizácia?

Toto je veľmi ťažká otázka, nad ktorou sa už ľudia zamýšľajú dlho, ale odpoveď nám zatiaľ uniká. Môžeme len konštatovať, že je to skrátka tak, že matematika sa ukázala ako mimoriadne účinný nástroj na popis nášho sveta. Dokonca pre fundamentálne fyzikálne teórie, akou je napríklad kvantová mechanika, by sme si bez matematiky nevedeli vôbec pomôcť, pretože kvantové javy sa vzpierajú našim predstavám a intuícii. Na prekvapenie, pre matematiku nie je popis týchto javov problém.

Zaujímavé je uvedomiť si nielen to, že fyzika (a teda značná časť celej vedy) sa zakladá na matematických postupoch, ale aj to, že naše pochopenie matematiky je fyzikou umožnené. Dá sa povedať, že náš vesmír má potenciál spoznávať sám seba. Matematika je v nejakom veľmi hlbokom zmysle súčasťou nášho sveta a zdá sa, že tvorí s fyzikou neoddeliteľný celok. Dovolím si tvrdiť, že žiadny človek tomuto vzťahu matematiky a fyziky zatiaľ dokonale neporozumel...

1 komentár:

Valerián Valášek povedal(a)...

Matematika dokáže naozaj popisovať kvantovú mechaniku. Fyzici sa doberali roky otázky, koľko dimenzií má vesmír a len nedávno sa rôzne skupiny zhodli na peknom čísle - 11 dimenzií. Rovnice matematických modelov do seba zapadajú pri tomto čísle a fyzici si libujú ,ako im to všetko vychádza v teórii vlniacich sa rovín, ktoré tvoria tzv, "supervesmír". Dokonca dokázali, že čas existoval aj pred veľkým treskom a teória hovorí a kolíziách typu Veľkého tresku ako celkom bežných.