01 augusta 2012

Dva trojuholníky a tri štvorce

Po dlhšom čase som pre Vás vymyslel dve nové úlohy; keďže je leto, tak rekreačné a navyše také, ktoré je možné riešiť skoro všade. Stačí papier a ceruzka, alebo piesok a prst. :)

Je možné, aby dva trojuhoníky vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 8 rôznych trojuholníkov? Je možné, aby tri štvorce vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 7 rôznych štvorcov?

9 komentárov:

Lenka povedal(a)...

ak tie stvorce nemusia byt rovnake, tak sa to da:

https://plus.google.com/photos/104167380635555546068/albums/5771997214430043473?authkey=CKXZ2_2a66f3HA

Rori povedal(a)...

Co sa mysli pod "obsahuje"? Musi to byt nieco neprerusene alebo napriklad pri tych stvorcoch co su ako priklad - ze tam je ak dobre pocitam 7? Predpokladam sice druhu moznost ale radsej sa opytam :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Lenka: Správne! Tvoje riešenie obsahuje 8 štvorcov. Prezradím však, že sa dá nájsť útvar vytvorený z troch štvorcov, ktorý obsahuje až 9 štvorcov. :)

Rori: Upresnime si, že štvorec chápeme ako akúkoľvek množinu bodov v rovine, ktorá je podobná hranici konvexného obalu bodov (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). :)

To, že útvar U je "vytvorený" tromi štvorcami môžeme presne definovať tak, že existujú tri rôzne štvorce, ktorých zjednotenie je U. Množina bodov U "obsahuje" štvorec M, ak je M podmnožinou U.

Analogicky je to s trojuholníkmi.

Lenka povedal(a)...

takto? :
https://lh4.googleusercontent.com/-3HBZSVGhfGY/UBpOQd1MrOI/AAAAAAAACck/FBUcJ2kIrDI/w325-h246-n-k/stvorce2.jpg

Radoslav Harman povedal(a)...

Lenka: Správne! Viac ako 9 štvorcov sa podľa mňa dosiahnuť nedá, hoci dokázať to by bolo asi ťažké.

Takže zostáva otázka: Môžu dva trojuholníky vytvoriť útvar, ktorý obsahuje 9 rôznych trojuholníkov?

katka povedal(a)...

Pred chvilou som este neverila, ze je to mozne, ale podarilo sa mi najst taketo riesenie:

http://imageshack.us/photo/my-images/820/9trojuholnikov.png/

Jeden z dvojice povodnych trojuholnikov je zlty a druhy modry.

Radoslav Harman povedal(a)...

Katka: výborne :)

Tá úloha na prvý pohľad vzbudzuje dojem, že sa buď nedá vyriešiť, alebo že sa musí dať vyriešiť rýchlo. Zdá sa, že možných vzájomných polôh dvoch trojuholníkov je tak málo, že človek rýchlo nájde útvar skladajúci sa z dvoch trojuholníkov, ktorý obsahuje 9 trojuholníkov, pokiaľ taký útvar existuje.

No ukazuje sa (skúšal som túto úlohu už na viacerých ľuďoch), že nájsť prílušnú konfiguráciu dvojice rojuholníkov obvykle trvá dosť dlho. Možno je to tým, že riešenie musí obsahovať aspoň jeden tupouhlý trojuholník, no človek má tendenciu skúšať samé ostrouhlé trojuholníky.

goober povedal(a)...

Perfektné, Katka!

Už aspoň viem, prečo sa mi nepodarilo dokázať, že sa ich tam 9 nedá vyrobiť :-) Asi treba fakt častejšie myslieť pozitívne... :-)

Rori povedal(a)...

Katka gratulujem - teda ked aj Goober sa poklonil tak to uz nieco znamena :)