04 januára 2012

Studňa

Nasledovnú úlohu položili autori knihy "How to Solve It: Modern Heuristics" veľkému počtu ľudí, z ktorých každý mal aspoň bakalársky titul z matematiky, informatiky, prípadne techniky. Nechce sa mi tomu ani veriť, ale údajne len jedno percento týchto ľudí našlo (nejaké) správne riešenie, pričom mali k dispozícii celú hodinu! Pokúste sa túto úlohu vyriešiť aj Vy a napíšte nám do komentárov ako dlho Vám to trvalo.
Do "dvojrozmernej studne" s vodorovným dnom a zvislými stenami vzdialenými od seba 3 metre sme hodili dve rovné palice dĺžok 4 a 5 metrov, ktoré sa ustálili v pozícii zaznačenej na obrázku. Ako vysoko od dna leží bod, v ktorom sa tieto palice "pretínajú"?

25 komentárov:

Giovanni povedal(a)...

Myslím, že riešenie je 4 * 7^0.5 / (4 + 7^0.5) = 1.592446775225939...
Trvalo asi desať minút možno aj viac.

Rori povedal(a)...
Tento komentár bol odstránený autorom.
Rori povedal(a)...

Ano hrdinsky som zmazal svoj komentar :) vysledok som mal 20/9 - ale chybu elementarnu som nasiel velmi rychlo ked som ulohu ukazoval mojej zienke - miesto dlzky tyci som tie udaje bral ako vysku kde sa opieraju dane tyce. Ale tu informaciu viem ziskat pytagorejom ale zienka mi uz zobrala pero a papier :) ale ja sa este ozvem :)

Tychi povedal(a)...

Já jsem asi tak za deset minut, i s hledáním kalkulačky, došla k číslu 1.8 a nějaké drobné tisíciny

Rori povedal(a)...

no +dalsich 5 min a som na rovnakom cisle ako Giovany

co inak priblizne koresponduje s "experimentalnym" vysledkom mojej zienky :)

maty povedal(a)...

namal by to vyriesit aj stredoskolak?
do 10 minut a 1.5924
riesenie

Lev bez hrivy povedal(a)...

Riesenie je a*b/(a+b), kde a=sqrt(7), b=4 su vysky dotykov tyci na stenach.
Robil som to analyticky ako priesecnik dvoch priamok.
Robil to tu niekto priamo bez analytiky?

Rori povedal(a)...

Lev - tak isto som to riesil. Co ma potom este napadlo mohlo ist o uhly a vlastne objem toho trojuholnika a potom uz jeho vysku ziska clovek lahko. Vzorcov na take nieco je neurekom :)

Anonymný povedal(a)...

Ten maty-ho sposob je pekny.

Ja sa citim s mojim tak trocha ako kombajnista:

zratat uhly z dlzok (cez sin,cos) a cez sinusovu vetu zratat dlzky stran toho maleho trojuholnika. Potom zratat obsah heronovym vzorcom a mame x :-)

Tychi povedal(a)...

Dobrá, příště větší nákres a neudělám chybu záměny cos a sin.
1.592
Šla jsme na to přes úhly a sinovou větu a pak opět přes úhly v malém trojúhelníku.

Radoslav Harman povedal(a)...

Giovanni: Správny výsledok. Inak, máš zaujímavý blog. (A prekvapilo ma, že tento komentár je po slovensky, no Tvoj blog je po česky :)

Rori, Tychi: Určite aj to bol dôvod, prečo autori knihy zaznamenali úspešnosť riešenia len jedno percento: hoci nie je ťažké prísť na nejaký postup, väčšina z nich je pomerne krkolomná (napríklad pomocou goniometrických funkcií) a človek veľmi ľahko urobí nejakú chybičku.

maty, Lev: Pomocou analytickej geometrie je to samozrejme tiež možné, ale dá sa to dokonca ešte trochu jednoduchšie ako to robil maty - len použitím Pytagorovej vety, podobnosti trojuholníkov a riešenia lineárnej rovnice s jednou neznámou. To znamená, že vyriešiť túto úlohu môže nielen stredoškolák, ale aj základoškolák!

Práve na to chceli autori knihy poukázať - obvykle učebnica vysvetlí nejakú techniku a potom sa cvičia príklady, o ktorých študenti vedia, že sa touto technikou dajú vyriešiť. Za normálnych okolností nám však nikto nepovie čo použiť a môžeme zlyhať pri riešení aj inak veľmi ľahkého problému. (Avšak aj tak sa mi to jedno percento pre ľudí čo prešli vysokoškolskou matematikou zdá príliš málo :)

Anonymný povedal(a)...

Hi Radoslav,

quite agree with other visitors - it shouldn't take more than 10 minutes to figure out and calculate the correct answer; quite amusing is the statistics of 1% among bachelors in maths/cs/engineering... :)

A.Iu.B.

Radoslav Harman povedal(a)...

Hi Andrei. I plan to select some of my more successful posts from this blog and translate them into English. I'll let you know then. It is possible that I'll visit Cambridge during the second half of this year (a conference in London); we can have lunch at Churchill college one more time :)

Daniel Nagaj povedal(a)...

Výšky, v ktorých sú opreté palice sú z Pytagora 4 a Sqrt[7]. Nazvem si výšku priesečníka H, a x-ovú vzdialenosť priesečníka od ľavej steny X. Potom mám dve podobnosti trojuholníkov: H/4 = X/3 a ešte H/Sqrt[7] = (3-X)/3. Z toho to pekne vypadne. (5min)

Radoslav Harman povedal(a)...

Daniel: Fajn, toto je v podstate to najjednoduchšie riešenie, ktoré som mal na mysli (je podobné riešeniu uvedenému v knihe).

A som veľmi rád, že sem zavítal aj fyzik! :) Inak v Cambridge som sa zučastnil inauguračnej prednášky Richarda Jozsu; veľmi zaujímavá oblasť. Škoda, že sa človek nemôže venovať všetkému.

Daniel Nagaj povedal(a)...
Tento komentár bol odstránený autorom.
Daniel Nagaj povedal(a)...

Ono je to také zvláštne, že keď človek vie, že sa to "dá aj jednoducho", tak proste hľadá inú ako zložitú cestu - a myslí preto inak. Takže to, že úloha je "jednoduchá" je veľká nápoveda. V živote to tak nebýva... A Jozsa je ozaj veľmi zaujímavý.

Anonymný povedal(a)...

Zdravim,
mne to tiez vyslo 1,59 a pocitala som to 9 minut.
Pocitala som to cez vektory, resp.:
Utvar som si polozila to suradnicovej sustavy lavym dolnym rohom na 0,0.
bod 0,0 som posunula vektorom k(3,4) do priesecnika - (1,2; 1,59) - cize 1,59 je zvdialenost.

Anonymný povedal(a)...

Zdravim,

podobnu ulohu som riesil ako student zakladnej skoly alebo strednej skoly a bola celkom tazka :) Jej zmysel bol, ze medzi dvoma budovami boli oprete rebriky, profil podobny ako v tomto zadani.

Prvy rozdiel bol, ze vzialenost medzi budovami nebola dana. Druhy rozdiel, neboli dane dlzky rebrikov, boli dane len vysky, v ktorych sa rebriky opieraju stien. Jeden rebrik bol oprety o stenu vo vyske 15 metrov a druhy vo vyske 10 metrov.

Pri pohlade z boku, v akej vyske sa pretinaju?

Tak schvalne, stopnite si cas :D

Daniel

Radoslav Harman povedal(a)...

Daniel: Pekný príklad! Dokonca by som povedal, že krajší ako ten "náš", pretože môže prekvapiť, že žiadny ďalší údaj nechýba a aj výsledok je pekné číslo.

Inak samozrejme, že tieto úlohy môže vyriešiť aj žiak základnej školy, práve preto je tak prekvapivé, že si s ním do hodiny poradilo len extrémne málo absolventov vysokej školy (ako tvrdia autori knihy).

Martin Timko povedal(a)...

Napadlo ma riesenie pomocou optimalizacie, konkretne oblast Linearneho programovania.

Jozef Hajnala povedal(a)...

Niekolko mesiacov oneskorene, ale predsa som sa k tomuto peknemu prikladu dostal :) Priznam sa, od zaciatku som si myslel, ze sa to musi dat nejak uplne jednoducho a myslim, ze toto je najjednoduchsie riesenie (5 minut):

- Oznacim nas hladany vysledok ako x,
- Cast spodnej strany studne, ktora je vlavo od zelenej ciarky z.
- Tym padom ta napravo od nej je 3-z.

Teraz uz len staci zistit velkosti bocnych ciernych useciek, tie su 4 a sqrt(7), stara dobra pytagorova veta :)

A potom plati (neviem ako sa tomu mudro povie, ale su tam 2 velke trojuholniky, ktore maju spolocnu dolnu stranu velkosti 3 a v tych velkych je v kazdom urobeny mensi s presne rovnakymi uhlami, akurat strany su mensie, takze staci vyuzit tu spolocnu stranu a mozme pre pomery pisat (kedze pomery stran vo velkom a malom trojuholniku sa pre obidve dvojice musia rovnat):

4/x = 3/z
sqrt(7)/x = 3/(3-z)

takze
x = (4*sqrt(7)) / (4+sqrt(7))

Jozef Hajnala povedal(a)...

Tak, tento prikladik sa mi tak zapacil, ze som nasiel este podla mna elegantnejsie riesenie, ale uz treba aj trocha strednej skoly.

Myslienka spociva v tom, ze uhly, pod ktorymi tie vhodene palice smeruju hore determinuje nejako kde sa pretnu. Ked sa clovek trocha zamysli, tak "rychlost" rastu sa da popisat tangensom toho uhla. Takze intuitivne staci zobrat pomery tangensov tychto uhlov, a mame pomery vsetkych stran. Samozrejme uhly nemusime tym padom pocitat, lebo sa hrame v pravouhlych trojuholnikoch a pomer tangensov hned vieme napisat :

tg("lavy" uhol) = 4/3
tg("pravy" uhol) = sqrt(7)/3

takze pomer tangesov = 4/sqrt(7)
takze nase hladane x = 4/(1+4/sqrt(7))

Anonymný povedal(a)...

Ja som to vyriesyl tak ze vysledok je 1.8.
Riesenie Ak pouzijeme dno ako preponu trojuholnika potom uhol vlavo je alfa a uhol vpravo je beta malo by platit ze vyska na stranu Vc=strana c * sin alfa * sin Beta.

Je mozne ze mam fatalnu chybu prosim o konstruktivnu kritiku

david povedal(a)...

Na prvý pohľad mi bola jasná Pytagorova veta + podobnosť trojuholníkov.

Ja som si tam ale všimol ten lichobežník, kde tie tyče sú jeho uhlopriecky. A konečne som použil jednu vec, čo sa mi asociuje s lichobežníom, čo sme dokazovali v kvinte na gymnáziu, že tá úsečka rovnobežná so základňami, ktorá prechádza priesečníkom uhlopriečok je harmonický priemer základní. A ešte taký detail, že ten priesečník ju polí.

Teda s touto zbierkou kdesi hlboko odložených znalostí z planimetrie
som už len spočítal ten harmonický priemer:
1 / ( 1/sqrt(7) + 1/4 )