100 vrabcov

Na kruhovú obruč polomeru 10 metrov si náhodne a nezávisle sadne 100 vrabcov. Odhadnite (intuitívne, simulačne, analyticky, akokoľvek) pravdepodobnosť, že ťažisko tohto kŕdľa sediacich vrabcov bude vzdialené menej ako 1 meter od stredu obruče.

Dva trojuholníky a tri štvorce

Po dlhšom čase som pre Vás vymyslel dve nové úlohy; keďže je leto, tak rekreačné a navyše také, ktoré je možné riešiť skoro všade. Stačí papier a ceruzka, alebo piesok a prst. :)

Je možné, aby dva trojuhoníky vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 8 rôznych trojuholníkov? Je možné, aby tri štvorce vytvorili útvar, ktorý celkovo obsahuje viac ako 7 rôznych štvorcov?

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).

Agátkina teória čísel

Dnes som s dcérkou (4,5 r.) absolvoval nasledovný rozhovor.

Agátka: Ako sa volá najväčšie číslo?
Ja: Najväčšie číslo neexistuje.
Agátka: Ty tomu nerozumieš tata. Najväčšie číslo existuje.
Ja: Áno? A aké je veľké?
Agátka: Ako milión takýchto skríň popísaných číslami.
Ja: Hm. A čo ak by si toto číslo zvačšila o jedna?
Agátka: Tak by som predsa dostala najmenšie číslo.
Ja: Najmenšie číslo?
Agátka: Áno. Jednotku. Čísla musia byť do kruhu.
Ja. Aha. A ak by niekto mal toľko koruniek, koľko je to najvačšie číslo a ja by som mu dal ešte jednu korunku, tak by mal koľko koruniek? Jednu?
Agátka: Ale tata. Keby mal niekto toľko koruniek, tak by bol nimi úplne zasypaný a nemohol by si mu dať už žiadnu korunku...

Počítame semienka

To, čo je nasypané do sklenenej kocky na fotografii sú, predstavte si, sézamové semienka. Pokúste sa odhadnúť ich počet. (Kocka má hranu dĺžky približne 1 meter.)

Rozuzlenie 29.11.:

(Obrázok sa kliknutím zväčší.)

Väčšina z Vás tipovala niekoľkonásobne vyšší počet semienok, hoci rádovo správne. Zďaleka najlepšia sa však ukázala metóda odhadu počtu semienok na základe výšky Kofoly v pohári, ktorej aplikáciou vyšlo gooberovi 110 524 267.

Ja by som postupoval nasledovne: Zaplnená časť kocky semienok má rozmery zhruba 1000 × 1000 × 700 milimetrov. Aké veľké je sezamové semienko možno odhadnúť napríklad pomocou stránky "cells size and scale", ktorá je mimochodom zaujímavá aj sama o sebe. Sezamové semienko má nepravidelný tvar, ale podľa obrázka je jeho objem približne rovnaký, aký má guľôčka o polomere 1 milimeter. Guľôčky (a ani semienka) sa samozrejme nedajú naukladať tak, aby medzi nimi nebol žiadny voľný priestor; ich ideálne naukladanie necháva približne 25 percent priestoru voľného, takže odhadnime, že medzi semienkami je v skutočnosti voľného približne 28 percent objemu. Výsledkom je odhad 120 321 137. :-)

Ešte dodám, že fotografie pochádzajú z vedeckej exhibície Universum v Brémach.

Prsty

Priebežné výsledky sú na konci príspevku. Ak neviete o čo ide, čítajte ďalej.

Skutočne je rozdiel medzi pomerom dĺžok ukazováka a prstenníka u mužov a u žien, alebo je tento takzvaný "fenomén 2D:4D" len výmysel na oživenie koktailových večierkov?

Napadlo ma, že toto tvrdenie by sme mohli spoločne overiť priamo tu na blogu QED. Stačí, ak si odmeriaš dĺžku ukazováka a prstenníka na pravej aj ľavej ruke a okrem týchto údajov uvedieš do komentára ešte informáciu o tom, či si žena, alebo muž. Ak budeš mať chvíľu čas a pri sebe priateľov, môžeš zmerať dĺžky týchto štyroch prstov aj im (inak pre nesmelých výborná metóda nadviazania kontaktu :-); čím viac údajov budeme mať, tým lepšie. Dĺžky meraj s presnosťou na 1 milimeter od konca prstov až po spodnú vrásku deliacu prst od dlane, tak ako je naznačené na fotografii mojej pravej ruky. Postupne budem robiť príslušné štatistické testy a uvidíme, či sa teória o rôznom pomere dĺžok prstov u žien a u mužov potvrdí.


Takže meranie číslo 1 bude zodpovedať mojim vlastným prstom (P znamená pravá ruka, L ľavá ruka, u ukazovák a p prstenník): Pu 7,6 mm; Pp 8,0 mm; Lu 7,4 mm; Lp 7,9 mm.

..............

Po údajoch od 17-tich ľudí zobrazuje nasledovný graf priebežné výsledky pomeru dĺžky ukazováka a prstenníka: jednotlivé hodnoty pomeru ako bodky a 95 percentné intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu pomeru ako obdĺžniky. Vertikálna súradnica dát je mierne roztrasená, čo je bežný postup ako zamedziť "zliatiu" symbolov s takmer rovnakou horizontálnou súradnicou. Ako je očividné už z grafu, naše dáta zatiaľ nesvedčia o významnom rozdiele medzi mužmi a ženami. Formálne: nepárový dvojvýberový t-test pre rovnosť stredných hodnôt pre pravú ruku dáva zatiaľ p hodnotu približne 0,7 a pre ľavú ruku približne 0,9. Na zistenie signifikantného rozdielu (ak existuje) potrebujeme ešte pomerne veľa dát. Zapojte sa!


Každopádne už teraz je jasné, že rozdiel medzi mužmi a ženami je veľmi malý (aj keď možno zistiteľný pri veľkom súbore ľudí) a určovať pohlavie len na základe pomeru dĺžok prstov je skoro ako určovať ho hodením mincou.

Mount & Blade (Súťažná úloha č.9)

Mount and Blade je názov počítačovej hry a súčasne 9. úlohy do našej súťaže, ktorú nám zaslal doktorand na matematickom ústave SAV Branislav Novotný. (To by človek nepovedal, čím všetkým sa Braňo ešte zaoberá okrem matematickej topológie a vyparovania čiernych dier :-)

Táto úloha je síce pomerne jednoduchá, ale pekné na nej je to, že je to úplne reálny problém, ktorý možno trápi viacerých hráčov hry Mount&Blade. Nie som si však vedomý toho, že by ju už niekto v nasledovnom znení formuloval.

Pri hraní M&B hráte za hrdinu, ktorý môže mať v partii okrem bežných vojakov aj tzv. hrdinov, ktorí sú mimo iného nesmrteľní ( hrdinovia predsa neumierajú :-), teda sa ich oplatí mať v partii čo najviac. Ich základným problémom však je, že majú medzi sebou spory a dokážu sa tak pohádať, že opustia partiu. Nasleduje tabuľka mien (ženy majú hviezdičku, lebo z mena je to ťažko poznať) a zoznam kto koho má, či nemá rád.


Ľahko si všimneme, že všetky vzťahy sú vzájomné. Definujme konflikt ako dvojicu, čo sa nemá rada a priateľstvo ako dvojicu čo sa má rada. Povedzme, že parta je maximálna, ak za daných podmienok má maximálny počet členov a medzi partiami s max. počtom členov má max. počet priateľstiev. Povedzme, že partia je bezkonfliktná, ak neobsahuje konflikt. Nech je udržateľná ak ľubovoľný člen je účastníkom najviac takého počtu konfliktov ako priateľstiev.

Treba nájsť všetky:
a) maximálne bezkonfliktné partie,
b) maximálne udržateľné partie,
c) maximálne udržateľné partie obsahujúce všetky ženy.

Kto z Vás má najlepší kvantitatívny odhad?

Pokúste sa odhadnúť bez použitia akýchkoľvek pomôcok okrem svojho zraku a rozumu nasledovné čísla: 1) Počet zelených bodíkov na prvom obrázku; 2) Celkovú dĺžku červenej uzavretej krivky na druhom obrázku; 3) Vertikálnu (y-ovú) súradnicu ťažiska systému modrých krúžkov na treťom obrázku.

Svoje tri číselné odhady môžete napísať do komentárov; vyhráva ten, kto dosiahne minimálnu hodnotu chyby vypočítanej podľa vzorca:

kde n₁, n₂, n₃ sú Vaše odhady a n^*₁, n^*₂, n^*₃ sú skutočné hodnoty. (Všimnite si, že tento vzorec penalizuje nulou presný odhad a jednotkou odhad, ktorý je buď dvojnásobok, alebo polovica v porovnaní so skutočnou hodnotou.)

Poznámka 7.10.: Tipovaciu súťaž sme už ukončili. Výsledky a "diskusiu" si môžete prečítať v komentároch.

Zábava s angličtinou: kvázipalindrómy

V poslednej dobe mám menej času na blog (začal sa semester) ale v rámci oddychu sem občas niečo malé pridám. Dnes som sa trochu pohral s anglickým frekvenčným slovníkom a vyhľadal som také štvor- a viacpísmenové slová, ktoré majú význam aj keď ich prečítame odzadu (akési kvázipalindrómy; možno to má nejaké oficiálne meno). Pozrite si ich zoznam; víťazmi sa pre mňa stali dvojice tinker-reknit, live-evil a repel-leper. :-)

Poznámka 2.10.: Mišov komentár ma primäl k tomu, aby som (pomocou počítača) vyhľadal aj tie anglické jednoslovné "kvázipalindrómy", ktoré nie sú v základnom tvare. Je ich celkom dosť (tu je zoznam) a to mi určite ešte nejaké chýbajú.

Zábava s angličtinou: palindromes

palindrome: a word, line, verse, number, sentence, etc., reading the same backward as forward, as "madam".

Pokúste sa v priebehu troch minút napísať čo najviac anglických jednoslovných palindrómov, t.j. slov, ktoré sa čítajú rovnako odpredu aj odzadu, pričom nepočítame vlastné podstatné mená, skratky a citoslovcia. Koľko ste ich našli? (Slovo "madam" sa nezapočítava :-)

Skontrolujte si správnosť podľa tohoto zoznamu, ktorý som vygeneroval v R-ku pomocou frekvenčného slovníka. Svoj výsledok prosím zaznačte do formulára v pravom stĺpci blogu. (Poll sme už ukončili; výsledky si môžete pozrieť na obrázku na konci príspevku.)

Poznámka 29.9.: Do zoznamu palindrómov som doplnil niektoré slová, ktoré nie sú v základnom tvare. Samozrejme, stále nemôžem s istotou tvrdiť, že môj zoznam je kompletný.

FErdóšove piškvorky

Včerajší problém sa nám podarilo úspešne vyriešiť a ešte sme k tomu pridali aj viacero ďalších zaujímavých nápadov. Obdĺžnik, ktorý má všetky vrcholy na kameňoch rovnakej farby, sme nazvali monochromatický obdĺžnik, alebo skrátene monodĺžnik.

Z komentárov ma zaujala hra, ktorú by som nazval "FErdóšove piškvorky", s nasledovnými jednoduchými pravidlami:

Dvaja hráči kladú na mriežku veľkosti n×n kamene, prvý hráč biele a druhý čierne. Vyhráva ten, kto ako prvý vytvorí zo svojich kameňov monodĺžnik.

Keďže na mriežke 5×5 obsahuje každá konfigurácia z kameňov dvoch farieb nejaký monodĺžnik, tak na tejto mriežke, alebo aj na akejkoľvek väčšej, nemôže táto hra skončiť remízou. Stačí si zobrať jednu sadu GO kameňov a môžete hrať! Zaujímavé by to bolo vtedy, ak by neexistovala jednoduchá vyhrávajúca stratégia. Keď si kliknete na ilustračný obrázok, spustí sa Vám animovaný gif jednej hry, v ktorej si biely vynútil výhru už po druhom ťahu čierneho.

Ak si FErdóšove piškvorky zahráte, napíšte nám do komentárov svoje dojmy.

Variant 1: Trochu som sa s tým pohral a vyzerá to tak, že v klasickej hre si biely vždy pomerne jednoducho vynúti výhru. Zaujímavou sa táto hra môže stať vtedy, keď trochu upravíme pravidlá:

Ja mám biele a Ty čierne kamene. Na začiatku Ty umiestniš moje dva biele a svoje dva čierne kamene kdekoľvek chceš, samozrejme tak, aby si mi otvorenie čo najviac sťažil a sebe čo najviac zjednodušil. Potom už kladieme kamene striedavo, t.j. ja biely kameň, Ty čierny a tak ďalej, až kým jeden z nás nevytvorí monodĺžnik.

Variant 2: V komentári ma Nanyk presvedčil, že predchádzajúca obmena pravidiel už dáva rozhodujúcu výhodu čiernemu. Napadla ma však ďalšia obmena, ktorá stavia všetko na hlavu:

Dvaja hráči kladú na mriežku veľkosti 5×5 kamene, prvý hráč biele a druhý čierne. Ten, kto ako prvý vytvorí zo svojich kameňov monodĺžnik, PREHRÁVA.

Cieľom je teda prinútiť svojho súpera aby vytvoril monodĺžnik. Opäť, na základe výsledku predchádzajúcej úlohy vieme, že táto hra nemôže skončiť remízou.

Ak máte chuť, môžeme si dať prostredníctvom komentárov jednu partičku. Sĺpce označíme a-e a riadky 1-5. Keďže sa zdá jasné, že biely je v nevýhode, tak biely budem ja a začínam ťahom c3. :-)

Hádanky z Wordle

Program Wordle je založený na jednoduchom, no veľmi peknom nápade: Z akéhokoľvek vstupného textu urobí "oblak slov", pričom veľkosť jednotlivých slov je určená ich frekvenciou výskytu v danom texte. Farby, pozíciu a niekoľko ďalších vlastností výsledného oblaku si môžete sami nastaviť. Jednoducho príjemná zábava na daždivé dni. Dnes ma však napadlo, že pomocou Wordle sa dajú vyrobiť aj originálne hádanky.

Nasledujúce oblaky slov zodpovedajú stručným životopisom štyroch významných Rakúšanov. Viete odhaliť, o ktorých ľudí sa jedná?

Keď na obrázky kliknete, tak sa zväčšia. Aj menšie slová môžu znamenať rozhodujúcu nápovedu.

Presviedčacia sila faktu

Matematický aparát teórie pravdepodobnosti obvykle používame na kvantifikáciu "objektívnej neurčitosti" týkajúcej sa výsledkov experimentu. V tomto príspevku však budeme interpretovať pravdepodobnosť tak, ako ju vidia Bayesisti, t.j. ako mieru "subjektívnej dôvery" v pravdivosť hypotéz.

Predstavme si napríklad, že rozhodca hodil mincou. Napriek tomu, že o výsledku tohto hodu je už rozhodnuté, z môjho subjektívneho hľadiska je miera dôvery, že padol znak, rovná 1/2. To platí až do okamihu, keď o výsledku získam nejakú informáciu. Až vtedy sa moja subjektívna miera dôvery zmení a to v závislosti od toho, akú informáciu som získal. Napríklad ak by som sa na vlastné oči presvedčil, že padol znak, tak sa moja miera dôvery zmení na jednotku a ak by mi tento výsledok len niekto oznámil, tak by sa moja subjektívna miera dôvery v to, že padol znak, mohla zmeniť na hodnotu nižšiu ako jedna. V tomto druhom prípade by totiž jediným úplne istým faktom bolo pre mňa to, že mi nejaký človek oznámil, že padol znak, čo je, ako uznáte, nie vždy to isté, ako že znak naozaj padol.

Vo všeobecnosti môžeme teda povedať, že akonáhle sa človek dozvie novú informáciu, nastane zmena jeho osobného pravdepodobnostného modelu sveta.

Pre človeka c označme symbolom Pc jeho pravdepodobnostný model sveta a nech H je nejaká hypotéza. Ako Pc(H) označíme mieru dôvery človeka c v platnosť hypotézy H, čo je číslo medzi 0 a 1. Pochopiteľne, Pc(H)=1 znamená, že c si je istý, že H platí a Pc(H)=0 znamená, že c si je istý, že H neplatí. Slovným spojením "preferencia hypotézy H človekom c pred negáciou hypotézy H", alebo stručnejšie "preferencia hypotézy H" nazveme hodnotu


kde !H je označenie logickej negácie hypotézy H. (Kladieme log(0/1)=-∞ a log(1/0)=+∞.) Všimnite si, že čím je väčšia miera dôvery Pc(H), tým je väčšia aj preferencia (H:!H)c a naopak, avšak preferencia môže na rozdiel od dôvery nadobúdať všetky možné číselné hodnoty, ako kladné, tak aj záporné. Naviac, preferencia hypotézy s pravdepodobnosťou 1/2 (pred jej negáciou) je nulová, čo je plne v súlade s intuitívnou predstavou o tomto pojme.

Dá sa ukázať, že ak človek dodržuje všetky pravidlá racionálneho uvažovania, tak sa jeho preferencia hypotézy H musí po zistení faktu F zmeniť nasledovne:


kde Pc(F|H) (a Pc(F|!H)) je miera očakávania platnosti faktu F za predpokladu, že by hypotéza H bola pravdivá (resp. bola nepravdivá). Pravý člen vo vzťahu vyššie teda určuje o koľko fakt F zmení človeku c preferenciu hypotézy H. Túto hodnotu môžeme teda nazvať "presviedčacia sila" faktu F v prospech hypotézy H.

Všimnime si, že fakt F zvyšuje presvedčenie človeka c o platnosti hypotézy H vtedy, keď je pre neho fakt F očakávateľnejší za predpokladu platnosti hypotézy H, než za predpokladu neplatnosti hypotézy H.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Človek: Ja. Fakt: Moja manželka mi oznámila, že vonku prší. Hypotéza: Vonku naozaj prší. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Hodnota Pc(F|H), t.j. moje očakávanie, že mi manželka oznámi, že prší, ak naozaj prší, nie je nijako vysoká. Ale hodnota Pc(F|!H), t.j. pravdepodobnosť, že mi manželka oznámi, že prší, ak by v skutočnosti nepršalo, je extrémne nízka (zrak má dobrý a zmysel pre humor má normálny). Pomer týchto hodnôt je teda veľké číslo a preto aj presviedčacia sila daného faktu o tom, že prší, je veľmi vysoká.

Človek: Ja. Fakt: Vidím nejaký lietajúci tanier. Hypotéza: Vidím lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční mimozemšťania. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Ak by som videl lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční ufóni, tak je logicky jasné, že by som videl nejaký lietajúci tanier, t.j. Pc(F|H)=1. Avšak ak by aj nebola pravda, že vidím lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční mimozemšťania, tak pravdepodobnosť, že vidím nejaký lietajúci tanier, nie je zďaleka 0, t.j. Pc(F|!H)>>0. (Môj pravdepodobnostný model totiž zahŕňa ten fakt, že sa nachádzam v zábavnom parku Gardaland.) Presviedčacia sila daného faktu o hypotéze skutočných mimozemšťanov je teda nenulová, ale pomerne malá a vzhľadom na moju mizivú apriórnu dôveru v UFO ma žiadna hystéria nechytá. (Iná situácia by však bola, ak by som sa práve nachádzal na Chopku).

Človek: Ja. Fakt: Nemenovaný politik odpovedal na otázku, či mu záleží na blahobyte občanov, odpoveďou "áno". Hypotéza: Tomuto politikovi naozaj záleží na blahobyte občanov. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Pravdepodobnosť Pc(F|H), že politik povie, že mu záleží na blahobyte občanov, ak mu na ňom naozaj záleží, je 1. Avšak pravdepodobnosť Pc(F|!H), že to povie, ak mu na blahobyte občanov nezáleží, je tiež 1. Keďže log(1/1)=0, presviedčacia sila daného faktu o nesebeckých pohnútkach politika je nulová.

Richard Wiseman: Quirkology

Pokúste sa odpovedať na nasledovné otázky:

Sú poslucháči rádia schopní s väčšou pravdepodobnosťou odhaliť klamstvo než tí, ktorí ten istý preslov nielen počujú, ale aj vidia v televízii? Je pravdou, že strašidelné pocity v niektorých budovách majú reálny základ merateľný prístrojmi? Je Dublin "rýchlejšie" mesto ako New York? Sú ľudia narodení v lete subjektívne šťastnejší ako tí, ktorí sa narodili v zime? Sú ženy-šoférky silných áut najčastejšou skupinou vodičov, ktorí parkujú na zakázaných miestach? Spomedzi všetkých krajín v súťaži o najlepší vtip sveta, boli to Nemci, kto dával vtipom najvyššie priemerné hodnotenia? Je pre väčšinu ľudí príjemnejšie obliecť si sveter pošpinený od psích výkalov, než čistý sveter vraha?

To sú len niektoré z mnohých trochu uletených otázok, na ktoré sa v knihe Quirkology dozviete odpoveď podloženú rozsiahlymi dátovými súbormi, premyslenými experimentmi a dlhodobými pozorovaniami profesora psychológie Richarda Wisemana a jeho kolegov. Kniha Quirkology je písaná ľahkým a humorným štýlom, no s veľmi vážnym posolstvom. Väčšina z nás je náchylná na psychologické omyly, povery, predsudky a nekritické hodnotenie (predovšetkým svojich schopností) a to oveľa viac, ako sme ochotní pripustiť. Neveríte? Odpovede na všetky otázky vyššie sú, aspoň podľa profesora Wisemana, "áno".

Poznámka: Aj túto knihu Vám môžem požičať, avšak samozrejme len ak je voľná.

Rýchly test slovnej zásoby pre angličtinu

Momentálne vediem diplomovú prácu týkajúcu sa optimalizácie náhodného výberu a napadlo ma, že by som pre Vás vedel zostaviť veľmi hrubý, ale pritom rýchly a jednoduchý test veľkosti Vašej anglickej slovnej zásoby.

Prechádzajte si postupne nasledovnými skupinami desiatich slov (všetko sú to podstatné mená) až pokým neprídete k prvej takej skupine, v ktorej poznáte význam polovice, alebo menej ako polovice slov (t.j. desiatich, alebo menej slov). Číslo v zátvorke uvedené pri tejto skupine slov je môj odhad veľkosti Vašej anglickej slovnej zásoby. Ak aj v poslednej skupine poznáte presný význam viac ako polovice slov, Vaša slovná zásoba zrejme presahuje 10000 slov. Snažte sa byť k sebe kritickí; ako "známe" slová berte len tie, s ktorých významom ste si úplne istí. Keď sa otestujete, označte prosím Váš výsledok v ankete v pravom stĺpci blogu. Poznámka: Anketa je už ukončená; výsledky nájdete na konci tohoto príspevku.

• (2000) girl, age, force, value, health, industry, class, church, century, table, bird, call, damage, edge, exchange, opposition, option, quarter, stock, whole


• (4000) coast, defendant, distinction, enemy, fashion, impression, leadership, mass, neighbour, tear, bowl, burden, cheese, confusion, dish, satisfaction, schedule, storage, tube, wish


• (6000) abbey, cliff, clue, devil, dock, flag, gender, heel, mud, rumour, bias, canvas, frontier, interference, joint, librarian, obstacle, ranger, skull, thumb


• (8000) axis, biopsy, cord, eve, herd, inhibition, magnitude, nucleus, nun, prevalence, bead, cloak, entrepreneur, garlic, hurdle, ivory, marsh, pea, quest, stove


• (10000) altitude, badger, chestnut, disgust, fatigue, gutter, mantle, outskirts, plague, setback, alloy, caterpillar, crumb, expatriate, glacier, heather, heron, ingenuity, mercury, orphan

Samozrejme, tento odhad nie je vycucaný z prsta, ale je založený na istom matematickom modeli využívajúcom frekvenčný slovník angličtiny. Ako každý model má však viaceré nedostatky a tiež neprešiel žiadnou skutočne odbornou oponentúrou. Naviac, je sporné čo sa presne myslí pod veľkosťou slovnej zásoby. Takže výsledok berte so značnou rezervou ;-)

Poznámka 14.3.: V komentároch som bol upozornený na pekný test veľkosti slovnej zásoby na http://www.freerice.org/. Skúste si ho (aspoň na takých 70 slovách) a do anekty v pravom stĺpci blogu prosím zaškrtnite v akých hodnotách sa Vám v priemere pohyboval "vocab level". Poznámka: Anketa je už ukončená; výsledky nájdete na konci tohoto príspevku.
(Najvyššia dosiahnutá hodnota nie je asi najlepšie merítko, pretože závisí jednak na tom, aké má človek na začiatku šťastie, alebo smolu a tiež na tom, ako dlho sa snaží.) Tiež by som chcel upozorniť, že "vocab level" 40 je oveľa vyššia ako v mojom teste 10000 slov; odhadol by som to tak, že 10000 slovám v mojom teste zodpovedajú približne levely 15-25.

Poznámky : Do slovnej zásoby nezapočítavam rôzne gramatické obmeny toho istého slova, t.j. napríklad sloveso work, spolu s works, worked a working sú pre mňa jedno a to isté slovo. Avšak podstatné meno work už započítavam ako nové slovo a taktiež ako nové slovo sa započítavajú aj frekventované zloženiny typu worksheet. Avšak nezapočítavajú sa žiadne vlastné podstatné mená, číslovky, skratky a citoslovcia (ktorých sa dá vytvoriť neohraničený počet :-) Možno Vás tiež zaujme stránka wordcount.org, kde si môžete nechať vypisovať slová na základe ich frekvencie výskytu v anglických textoch, avšak so zahrnutím vlastných podstatných mien, všetkých gramatických tvarov slov a podobne.

Výsledky ankiet:

Náhodné bludiská

Podarí sa Vám vymyslieť spôsob, akým je možné algoritmicky generovať náhodné bludiská? Môžete sa nechať inšpirovať nasledovnými obrázkami. Ak Vás "náhodné bludiská" zaujmú, prezradím Vám, akú metódu som použil ja.

Sci-fi anketa

"Two possibilities exist: Either we are alone in the Universe or we are not. Both are equally terrifying." Arthur C. Clarke.

(Poznámka: Anketa je už uzavretá; výsledky si môžete pozrieť na konci príspevku.)

Napadlo ma, že by sme si opäť mohli dať hĺbavejšiu anketu - tentokrát o Vašich názoroch na budúcnosť ľudstva.

Moje výroky sú nasledovné:

1. Ľudstvu sa podarí prekonať ekologické hrozby.


2. Človek vytvorí umelú inteligenciu, ktorá bude disponovať vedomím.


3. Ľudia vytvoria kolónie mimo našej slnečnej sústavy.


4. Ľudskí jedinci v budúcnosti dosiahnu stav praktickej nesmrteľnosti.


5. Ľudia sa v budúcnosti stretnú so životom mimozemského pôvodu.

Vo formulári v pravom stĺpci blogu zaškrtnite všetky tie tvrdenia, ktoré považujte za skôr platné ako neplatné. Pozor! Každé políčko, ktoré nezaškrtnete, sa počíta akoby ste hlasovali za to, že dané tvrdenie skôr neplatí.

Samozrejme, pravda nie je to, čo by sme mohli uzákoniť hlasovaním, najmä keď sa jedná o otázky, na ktoré v súčasnosti nevie vyčerpávajúco odpovedať vôbec nikto. Niekto by tiež mohol celkom oprávnene namietať, že sa predsa nemôže vyjadriť k niečomu, kde sa nemá o čo oprieť, podobne, ako na otázku "What is your gut feeling?" odpovedal Carl Sagan slávnym výrokom "I try not to think with my gut".

Ale táto anketa má za cieľ len Vás zabaviť a prípadne primäť k zamysleniu. So do not be afraid to think with your gut. :-)

Zápalková klasika

Posledná úloha bola dosť náročná, takže tentokrát zápalková oddychovka. Presuňte dve (a len dve) zápalky tak, aby z piatich jednotkových štvorcov na obrázku vznikli štyri jednotkové štvorce. Pritom vo výslednom obrazci musí byť každá zápalka súčasťou nejakého jednotkového štvorca.

Výsledok môžete zapísať pomocou koordinát podobne ako v šachu: Napríklad D3-E2, eIII-fII vytvorí síce štyri štvorce, avšak jeden z nich nie je jednotkový, takže toto nie je správne riešenie.

Sliepky hrajú tic-tac-toe

Tic-tac-toe je veľmi jednoduchá hra pre dvoch, podobná našim piškvorkám: Na šachovnicu s 3x3 políčkami striedavo zapisuje jeden hráč krížiky a druhý hráč krúžky, pričom vyhráva ten, komu sa podarí vytvoriť trojicu na niektorom stĺpci, riadku, alebo diagonále. Každý človek veľmi rýchlo zistí, že sa dá s istotou neprehrať, takže po pár hrách sa tic-tac-toe končí už iba remízou. Čo však v prípade, že proti sebe hrajú dve sliepky, ktoré si volia políčka na ťah úplne náhodne? S akou pravdepodobnosťou skončí hra remízou?

Poznámka: Predpokladáme, že sliepky si vyberajú políčka rovnomerne náhodne, t.j. na začiatku prvá sliepka umiestni svoj krížik do každého z 9 voľných políčok s pravdepodobnosťou 1/9, potom druhá sliepka umiestni svoj krúžok do každého z 8 voľných políčok s pravdepodobnosťou 1/8 a tak ďalej. To znamená, že sliepky nie sú na hru trénované, čo nie je až taký nezmysel, ako by sa mohlo zdať :-).

Oktily a Vaše IQ

Update: 25.1.2008 - výsledky ankety na konci príspevku

Tí z Vás, ktorí nemáte záujem o malé vzdelanie sa v štatistickej terminológii a súčasne Vás štatistika nebaví, môžete v tomto príspevku skočiť hneď na (*). My ostatní sa najprv vzdeláme, alebo zabavíme.

Nech x'₁,...,x'_n označuje usporiadanie čísel x₁,...,x_n. Ako asi viete, mediánom súboru čísel x₁,...,x_n nazývame buď "prostrednú" hodnotu x'_(n+1)/2 (ak je n nepárne), alebo aritmetický priemer dvoch "prostredných" čísel x'_n/2 a x'_(n/2)+1 (ak je n párne). Okrem tejto trochu krkolomnej definície mediánu existuje aj definícia grafická, ktorá nám naviac umožňuje prirodzeným spôsobom zaviesť aj všeobecné kvantily - a ako špeciálny prípad kvartily a oktily.

Z dôvodu prehľadnosti zápisu označme číslo n-1 symbolom k. Zostrojme v rovine xy lomenú čiaru L spájajúcu body (x'₁,0), (x'₂,1/k), (x'₃,2/k), ..., (x'_n,1). Potom pre p z intervalu (0,1) dostaneme 100.p-percentný kvantil čísel x₁,...,x_n ako x-ovú súradnicu priesečníku priamky y=p s lomenou čiarou L.

Napríklad pre 6 čísel x₁,...,x₆ máme na priloženom obrázku znázornené ako skonštruovať 12,5-percentný kvantil (1.oktil), 25-percentný kvantil (2.oktil, alebo 1.kvartil), 37,5-percentný kvantil (3.oktil), 50-percentný kvantil (4.oktil, alebo 2.kvartil, alebo median :-), 67,5-percentný kvantil (5.oktil), 75-percentný kvantil (6.oktil, alebo 3.kvartil) a 87,5-percentný kvantil (7.oktil). (Uf, "37,5". alebo "87,5" sú také škaredé čísla; o čo krajšie by sa definovali oktily, keby nás evolúcia obdarila štyrmi prstami na každej ruke :-)

(*) Takže 7 oktilov nám delí skupinu čísel usporiadaných od najmenšej hodnoty po najväčšiu na 8 približne rovnako veľkých skupín. Ak by sme mali napríklad skupinu 80 rôznych čísel, tak z definície oktilov je zrejmé, že 10 z týchto čísel musí byť menších ako 1.oktil, 10 čísel musí byť medzi 1.oktilom a 2.oktilom, 10 čísel medzi 2.oktilom a 3.oktilom a tak ďalej.

V súlade s definíciou oktilov som položil nasledovnú anketovú otázku: Pokúste sa intuitívne odhadnúť, v akom rozmedzí je Vaše IQ spomedzi všetkých, ktorí sa zúčastnili, alebo zúčastnia tejto ankety. Možnosti sú:

• Top IQ = Najinteligentnejších 12,5% spomedzi účastníkov tejto ankety
• 7 = Rozmedzie od 6. po 7.oktil IQ
• 6 = Rozmedzie od 5. po 6.oktil IQ
• 5 = Rozmedzie od 4. po 5.oktil IQ
• 4 = Rozmedzie od 3. po 4.oktil IQ
• 3 = Rozmedzie od 2. po 3.oktil IQ
• 2 = Rozmedzie od 1. po 2.oktil IQ
• Bottom IQ = 12,5% najmenej inteligentných spomedzi účastníkov tejto ankety

Finta je samozrejme v tom, že ak by všetkých 40 účastníkov ankety odhadlo svoju pozíciu v rebríčku IQ správne, tak by každá kategória nutne musela obsahovať rovnaký počet odpovedí, t.j. 5. (Predpokladáme, že každý účastník ankety má inú hodnotu IQ; prípadné zhody by situáciu iba trochu zamotali.) Výsledok bol nasledovný:



Ako vidíme, do kategórie TopIQ sa zaradilo 15 ľudí, z ktorých sa teda minimálne 10 precenilo. Do hornej polovice tabuľky (kategória 5 a vyššie) sa zaradilo 35 ľudí, z ktorých aspoň 15 v skutočnosti patrí do dolnej polovice tabuľky. V najvyšších dvoch kategóriách je pritom 22 ľudí, z ktorých sa aspoň 12 precenilo a pritom minimálne dvaja precenili pozíciu svojho IQ veľmi výrazne, pretože v skutočnosti patria do dolnej polovice tabuľky :-) Z tejto ankety samozrejme nemôžeme povedať kto konkrétne sa precenil, ale s istotou môžeme tvrdiť, že veľa ľudí má tendenciu posudzovať svoje inteligenčné schopnosti veľmi nekriticky.