05 júla 2008

Presviedčacia sila faktu

Matematický aparát teórie pravdepodobnosti obvykle používame na kvantifikáciu "objektívnej neurčitosti" týkajúcej sa výsledkov experimentu. V tomto príspevku však budeme interpretovať pravdepodobnosť tak, ako ju vidia Bayesisti, t.j. ako mieru "subjektívnej dôvery" v pravdivosť hypotéz.

Predstavme si napríklad, že rozhodca hodil mincou. Napriek tomu, že o výsledku tohto hodu je už rozhodnuté, z môjho subjektívneho hľadiska je miera dôvery, že padol znak, rovná 1/2. To platí až do okamihu, keď o výsledku získam nejakú informáciu. Až vtedy sa moja subjektívna miera dôvery zmení a to v závislosti od toho, akú informáciu som získal. Napríklad ak by som sa na vlastné oči presvedčil, že padol znak, tak sa moja miera dôvery zmení na jednotku a ak by mi tento výsledok len niekto oznámil, tak by sa moja subjektívna miera dôvery v to, že padol znak, mohla zmeniť na hodnotu nižšiu ako jedna. V tomto druhom prípade by totiž jediným úplne istým faktom bolo pre mňa to, že mi nejaký človek oznámil, že padol znak, čo je, ako uznáte, nie vždy to isté, ako že znak naozaj padol.

Vo všeobecnosti môžeme teda povedať, že akonáhle sa človek dozvie novú informáciu, nastane zmena jeho osobného pravdepodobnostného modelu sveta.

Pre človeka c označme symbolom Pc jeho pravdepodobnostný model sveta a nech H je nejaká hypotéza. Ako Pc(H) označíme mieru dôvery človeka c v platnosť hypotézy H, čo je číslo medzi 0 a 1. Pochopiteľne, Pc(H)=1 znamená, že c si je istý, že H platí a Pc(H)=0 znamená, že c si je istý, že H neplatí. Slovným spojením "preferencia hypotézy H človekom c pred negáciou hypotézy H", alebo stručnejšie "preferencia hypotézy H" nazveme hodnotu


kde !H je označenie logickej negácie hypotézy H. (Kladieme log(0/1)=-∞ a log(1/0)=+∞.) Všimnite si, že čím je väčšia miera dôvery Pc(H), tým je väčšia aj preferencia (H:!H)c a naopak, avšak preferencia môže na rozdiel od dôvery nadobúdať všetky možné číselné hodnoty, ako kladné, tak aj záporné. Naviac, preferencia hypotézy s pravdepodobnosťou 1/2 (pred jej negáciou) je nulová, čo je plne v súlade s intuitívnou predstavou o tomto pojme.

Dá sa ukázať, že ak človek dodržuje všetky pravidlá racionálneho uvažovania, tak sa jeho preferencia hypotézy H musí po zistení faktu F zmeniť nasledovne:


kde Pc(F|H) (a Pc(F|!H)) je miera očakávania platnosti faktu F za predpokladu, že by hypotéza H bola pravdivá (resp. bola nepravdivá). Pravý člen vo vzťahu vyššie teda určuje o koľko fakt F zmení človeku c preferenciu hypotézy H. Túto hodnotu môžeme teda nazvať "presviedčacia sila" faktu F v prospech hypotézy H.

Všimnime si, že fakt F zvyšuje presvedčenie človeka c o platnosti hypotézy H vtedy, keď je pre neho fakt F očakávateľnejší za predpokladu platnosti hypotézy H, než za predpokladu neplatnosti hypotézy H.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Človek: Ja. Fakt: Moja manželka mi oznámila, že vonku prší. Hypotéza: Vonku naozaj prší. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Hodnota Pc(F|H), t.j. moje očakávanie, že mi manželka oznámi, že prší, ak naozaj prší, nie je nijako vysoká. Ale hodnota Pc(F|!H), t.j. pravdepodobnosť, že mi manželka oznámi, že prší, ak by v skutočnosti nepršalo, je extrémne nízka (zrak má dobrý a zmysel pre humor má normálny). Pomer týchto hodnôt je teda veľké číslo a preto aj presviedčacia sila daného faktu o tom, že prší, je veľmi vysoká.

Človek: Ja. Fakt: Vidím nejaký lietajúci tanier. Hypotéza: Vidím lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční mimozemšťania. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Ak by som videl lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční ufóni, tak je logicky jasné, že by som videl nejaký lietajúci tanier, t.j. Pc(F|H)=1. Avšak ak by aj nebola pravda, že vidím lietajúci tanier, v ktorom sú skutoční mimozemšťania, tak pravdepodobnosť, že vidím nejaký lietajúci tanier, nie je zďaleka 0, t.j. Pc(F|!H)>>0. (Môj pravdepodobnostný model totiž zahŕňa ten fakt, že sa nachádzam v zábavnom parku Gardaland.) Presviedčacia sila daného faktu o hypotéze skutočných mimozemšťanov je teda nenulová, ale pomerne malá a vzhľadom na moju mizivú apriórnu dôveru v UFO ma žiadna hystéria nechytá. (Iná situácia by však bola, ak by som sa práve nachádzal na Chopku).

Človek: Ja. Fakt: Nemenovaný politik odpovedal na otázku, či mu záleží na blahobyte občanov, odpoveďou "áno". Hypotéza: Tomuto politikovi naozaj záleží na blahobyte občanov. Presviedčacia sila faktu o danej hypotéze: Pravdepodobnosť Pc(F|H), že politik povie, že mu záleží na blahobyte občanov, ak mu na ňom naozaj záleží, je 1. Avšak pravdepodobnosť Pc(F|!H), že to povie, ak mu na blahobyte občanov nezáleží, je tiež 1. Keďže log(1/1)=0, presviedčacia sila daného faktu o nesebeckých pohnútkach politika je nulová.

5 komentárov:

severka povedal(a)...

no hold niekedy hypotézy byvajú silnejšie ako fakty

Janka povedal(a)...

Veľmi pekný príspevok napísaný laicky pochopiteľnou formou (aj keď možno nie som pravý človek na zhodnotenie niečoho takého, keďže táto oblasť je mi blízka) a tie príklady sú naozaj veľmi originálne a názorné. Hodnotila som už viacero príspevkov, ale tomuto by som dala 5 aj niekoľkokrát, ak by sa to dalo :).

Radoslav Harman povedal(a)...

Každá pochvala príspevku ma povzbudí; ďakujem.

Nad podobnými vecami sa zamýšľam už dlhšiu dobu a tento príspevok je len malý a (napriek pochvale) nie celkom vydarený úvodný pokus moje myšlienky spísať.

V príspevku som sa snažil naznačiť, že Bayesizmus by sa dal použiť ako matematický základ akejsi kvantitatívnej teórie racionálneho uvažovania a viery. Samozrejme, že človek neuvažuje strikne racionálne; ľudské uvažovanie je zmes racionality, apriórnej viery a prirodzených ľudských túžob. Avšak prístup naznačený v článku by mohol byť jednoduchým modelom, ktorý by odrážal aspoň niektoré aspekty nášho rozmýšľania.

aleph0 povedal(a)...

Myslim, ze matematika a filozofia su uzko spate. Nech si kazdy vravi co chce, podla mna je matematika urcitou paradigmou - vzorcom, akym mozeme chapat svet.

Radoslav Harman povedal(a)...

aleph0: Určite. Každému, kto je s matematikou zžitý, formuje jeho matematické vzdelanie pohľad na svet a aj na seba samého. Dokonca pomerne veľa matematikov zohralo významnú úlohu v rozvoji samotnej filozofie ako oboru, napríklad Decartes, Leibnitz, Pascal, Goedel, Russel, alebo aj Tarski, najmä v oblastiach týkajúcich sa logiky, mysle a metafyziky (matematici sa častejšie zaujímajú o veci univerzálne a "transcendenté").

Inak momentálne som začal čítať jednu veľmi slávnu knihu, ktorá je do značnej miery filozofiou: Goedel, Escher, Bach, od pôvodom matematika Douglasa Hofstadtera (doktorát má z fyziky). V tejto knihe je kľúčový matematický pohľad na naše vedomie.