24 júla 2008

Skladanie kocky

K dispozícii máme neobmedzený počet kvádrov veľkosti 1×1×4, z ktorých chceme zlepiť (plnú) kocku veľkosti n×n×n. Pre ktoré n je to možné? (Pochopiteľne, žiadny kváder nemôžeme rozpíliť na menšie kúsky :-)

6 komentárov:

Peter Richtárik povedal(a)...

Po chvíľke uvažovania je jasné že problematickým prípadom sú iba dĺžky hrán n tvaru n = 4k + 2. Ďalej som zatiaľ nerozmýšľal...

Radoslav Harman povedal(a)...

Presne tak. Je úplne zrejmé, že pre n=4k+1 ani pre n=4k+3 to nejde (lebo potom má kocka n×n×n nepárny počet kocočiek 1×1×1) a tiež je jasné, že pre n=4k to ide.

Ale ani ten prípad 4k+2 nie je až taký ťažký. :)

Ruziklan povedal(a)...

Zeby invarty?! (Narazam na tusim Niepelovu a Hejneho knihu pre zaujemcov o matiku na ZS.)

Vezmem napr. kocku 6x6 v suradniciach 1-6 vo vsetkych troch rozmeroch. Postupne budem jednotlive kocky oznacovat cislami 1, 2, 3, 4 a to takto.

1 - kocky na poziciach so suctom suradnic 3, 7, 11 a 15
2 - kocky na poziciach so suctom suradnic 4, 8, 12 a 16
3 - kocky na poziciach so suctom suradnic 5, 9, 13 a 17
4 - kocky na poziciach so suctom suradnic 6, 10, 14 a 18

Kazdy kvadrik 1x1x4 sa pri umiestneni do takejto kocky umiestni do jednej 1, do jednej 2, do jednej 3 a do jednej 4.

Lenze zatial co mam 53 kociek s 1 a 4, je az 55 kociek s 2 a 3.

Takze sa to neda...

Radoslav Harman povedal(a)...

Ruziklan. Tú knihu nepoznám, tento problém ma napadol len tak mimochodom teraz v práci (skôr ma asi podvedome inšpiroval Gardner, kde je podobná úloha).

Tvoje riešeni je samozrejme správne, ale existuje aj trochu jednoduchší argument.

Vezmime si tiež ako príklad kocku 6x6x6. Rozdelím ju na 3x3x3 podkocky veľkosti 2x2x2 a tieto podkocky zafarbím čiernou a bielou farbou "do šachovnice", povedzme tak, že rohové podkocky sú čierne. Toto ofarbenie obsahuje viac čiernych podkociek (14 a len 13 bielych), ale každý kvádrik 1x1x4 musí nutne zabrať oblasť, ktorá obsahuje dve kocočky 1x1x1 omaľované bielou a dve omaľované čiernou farbou.

Peter Richtárik povedal(a)...

Pekná úloha a elegantné riešenie.
Práve mi napadlo, že 2d verziu so šachovnicou a dominom poznám :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Peter: Chcel som opäť zadať aj niečo také, na čo netreba skoro žiadne znalosti z matematiky, len dôvtip. Inak niečo podobné v dvojrozmere sme tu už mali. A časť c) z tej úlohy ešte nie je vyriešená :)