29 júla 2008

Archimedov problém

S nasledovným problémom som sa prvýkrát stretol v Gardnerovej zbierke matematických hlavolamov. Túto úlohu však riešil a správne vyriešil už Archimedes. Ja som si ňou lámal hlavu vyše pol hodiny, kým som zistil, aká je triviálna :-)

Uvažujme dva nekonečne dlhé valce, oba s priemerom 1, ktorých osi sa pretínajú pod pravým uhlom. Aký je objem telesa zodpovedajúceho prieniku týchto dvoch valcov?

14 komentárov:

aleph0 povedal(a)...

Tento príklad sa dá jednoducho počítať pomocou integrovania...
dúfam, že som nikde nespravil chybu :)

Najprv jednoduchá grafická interpretácia: Prienik týchto dvoch valcov je útvar, ktorý vyzerá ako keby sme dnom spojili dva stany (také tie moderné), alebo ak si zoberieme polovicu tak sa to podobá "biskupskému klobúčiku" (ďalej len stan), ktorý vidno v mestách ako zátarasu voči autám. Aby sme si to zjednodušili, tak budeme počítaj z jednej polovice iba osminu (teda jednu šestnástinu). Uviedol by som aj obrázok, ale neviem ako... tak popíšem tú časť útvaru, ktorej objem počítame. Predstavme si stan a teraz ho rozrežme v smere osí jeho strán. Dostávame štvrťstan s podstavou štvorca s rozmermi axa. Teraz to ešte rozrežeme diagonálne a dostávame onen útvar (jednu šestnástinu).

Elementárnu oblasť popíšeme následovne:
Omega={
0<=x<=a
0<=y<=x
0<=z<=sqrt(1-x^2)}

Tzn. že požadovaný objem jednej šestnástiny je
V16=(Integrál nad Omega)1 dxdydz=1/3*a^(3/2)

V=16*V16=16/3*a^(3/2)

V našom špeciálnom prípade je a=1, a teda objem útvaru je 16/3 ~ 5.333...

Je to reálny výsledok, lebo objem kocky obsahujúcej daný útvar je 8. Dúfam, že to je aj správny výsledok :)

Radoslav Harman povedal(a)...

aleph0: Fajn, Tvoj postup aj výsledok je správny. (Teda ak by polomer prierezov tých valcov bol 1; ja som zadal priemer 1 a v tom prípade je objem daného útvaru 2/3. Tiež, Tvoja formulka by asi mala závisieť od a^3 a nie a^(3/2). Ale to je skoro jedno.)

Lenže teraz by bolo zaujímavé nájsť také riešenie, ktoré by sa dolo vysvetliť aj šikovnému ôsmakovi na základnej škole, t.j. bez integrálneho počtu. Alebo inak povedané - také riešenie, ktoré mohol použiť aj Aristoteles, :-)

aleph0 povedal(a)...

Este k tomu integralu: Hej, uz som tam tu chybu nasiel,... pri substitucii som zabudol dat a^2 :)

Lukáš povedal(a)...

Neviem, či je toto pre základoškolákov, ale je to trošku jednoduchšie:
Nech z-ová os prechádza stredom prvého valca a y-ová os prechádza stredom druhého. Potom prienik je oblasť, kde y^2+x^2<=1 a z^2+x^2<=1, ekvivalentne y^2<=(1-x^2) a z^2<=(1-x^2).

Ak zafixujeme x, riešením je štvorec v rovine zafixovaného x so stranou 2\sqrt(1-x^2), teda má obsah 4(1-x^2). Teraz zintegrovaním cez všetky x od -1 do 1 dostaneme objem 16/3.

Už len sa zbaviť tej integrácie...

j povedal(a)...

je to naozaj pekny problem =)
Akurat mne sa zda ze to bol Archimedes kto ho riesil
ale mozno sa mylim...

Radoslav Harman povedal(a)...

j: Sorry, sorry, samozrejme, že to bol Archimedes :) Ďakujem za opravu.

Peter Richtárik povedal(a)...

Tu je moje riešenie; nápad som dostal hneď ale v orientácii som sa trafil až na druhý raz ;-)

Takže, ako si všimol už Lukáš, útvar je definovaný nasledovne:

x^2 + z^2 <= r^2
y^2 + z^2 <= r^2

z sa teda pohybuje od -r po r.
Všimnime si, že ak tento útvar prerežeme rovinou kolmou na os z (tda fixujeme z), rez bude mať tvar štvorca s obsahom S(z) = 4*x*y = 4*(r^2-z^2).

Teraz príde trik: pi*(r^2-z^2) je obsah rezu gule s polomerom r tou istou rovinou (teda obsah kruhu s polomerom sqrt(r^2-z^2))!

Teda hľadaný objem je

V = (4/pi)*V(guľa s polomerom r)
= (4/pi)*(4/3)*pi*r^3
= (16/3)*r^3
= 2/3,

keďže v našom prípade je r = 1/2.

Peter Richtárik povedal(a)...

Pod tou orientáciou mám na mysli, že som najprv fixoval x a hľadal či obsah tohto rezu nebude zodpovedať niečomu známemu. Nič som tam však nevidel. Tak som skúsil druhý rez a tam to už šlo...

Inak pekná úloha! Integrovanie v mojom riešení je tiež - a to implicítne, keďže sa odvolávam na objem gule. Chcelo by to teda ešte odvodenie vzorca na objem gule na základe matematiky základnej školy... Poznáte niekto niečo také?

Radoslav Harman povedal(a)...

Lukáš: Aj tak sa dá. Bol by to aj celkom vhodný príklad na cvičenia z druháckej analýzy :-)

Peter: Výborne, toto je to hľadané, asi najjednoduchšie riešenie. Trochu ho popíšem vlastnými slovami.

Predstavme si guľu G, ktorá je vpísaná do skúmaného útvaru V. Majme akúkoľvek rovinu p, ktorá je rovnovežná s osami oboch valcov a pretína V. Ako je hneď vidieť, prienik roviny p s útvarom V je štvorec a prienik roviny p s guľou G je do tohoto štvorca vpísaný kruh. Ale obsah štvroca je 4/π krát vačší ako obsah do neho vpísanej kružnice. To znamená, že objem útvaru V musí byť práve 4/π krát väčší ako objem gule G! Zo vzorca pre objem gule dostávame teda objem útvaru V.

Je pravda, že v tomto riešení je ukrytá idea integrovania (a znalosť obsahu kruhu a objemu gule), ale je to podľa mňa pochopiteľné a veľmi presvedčivé aj pre bystrého žiaka ôsmej triedy (pre takých matematických olympionikov určite).

Ako to v skutočnosti riešil Archimedes neviem (asi to nie je vôbec známe). Ak vedel obsah štvorca o objem gule tak asi takto, ale či to v princípe mohol vedieť, to už neviem; tak sa do histórie matematiky nevyznám. A možno len prikázal nejakému svojmu otrokovi taký útvar vystrúhať z dreva, ponoril ho potom do vody a keďže sa vytlačený objem podobal na pekný zlomok, tak si skrátka správne tipol :-)

Michaela povedal(a)...

fakt peknyy priklad :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Ešte k tomu Archimedovi. Na wikipedii je uvedené, že Archimedes už poznal vzorec na objem gule a dokonca aj na objem guli opísaného valca (z čoho je hneď jasné, že musel poznať aj vzorec pre obsah kruhu). Takže na vyriešenie zadaného problému skutočne mohol použiť onú metódu rezov.

Ešte by som rád vedel, ako mohol bez znalosti integrálneho počtu odvodiť vzorec pre objem gule.

j povedal(a)...

tu je celkom zaujimavo a nazorne vysvetlene ako sa (mozno?) Archimedes dopracoval k objemu gule.
a je to v podstate zalozene na rovnakej
myslienke ako priklad s valcami.

Peter Richtárik povedal(a)...

j: Je to cool dôkaz. Nepoznal som! Vďaka!

Rado: Tak teraz máme celkom elementárne celkové riešenie pôvodnej úlohy.

Posledná nejasná vec čo sa predpokladá (odhliadnuc od intuitívne jasného princípu rezov) je vzorec na obsah kruhu. Dá sa odvodiť bez pojmu limity? Bol by som spokojný s dôkazom že je to S = c*r^2 pre nejakú konštantu c, ktorú môžeme nazvať pi bez toho že by sme vedeli jeho presnú hodnotu (čo je aj tak nemožné).

j povedal(a)...

no v podstate archimedes sam asi pouzival
istym sposobom pojem limity (a integralu),
aj ked ich neformalizoval...

pokial internetove zdroje neklamu
tak vzorec pre obsah kruhu odvodil 'klasicky' vpisanim pravidelneho n-uhouholnika a intuitivne odhadol co sa stane ked posle n do nekonecna.