17 júla 2008

Päť miest na sfére

Nasledovné tvrdenie sa mi zdá "intuitívne zrejmé", ale nedarí sa mi ho elegantne dokázať. (Súvisí priamo s jedným problémom na Peťovom blogu). Možno budete vy úspešnejší.

Na jednotkovej sfére S je 5 miest, pričom žiadne tri z nich neležia na spoločnej hlavnej kružnici. Ak spojíme najkratšou cestou každé mesto s každým (samozrejme po povrchu), tak sumárna dĺžka všetkých ciest bude menšia ako 6π.

Poznámka 1: Ľahko sa dá ukázať, že súčet dĺžok všetkých ciest je menší ako 20π/3. Totiž ak si označíme ako dij vzdialenosť miest i a j, tak máme:

Nerovnosť plynie z očividnej vlastnosti, že obvod akéhokoľvek trojuholníka na sfére je menší ako 2π.

Poznámka 2: Sériou trikov už viem dokázať dokonca nasledovné zovšeobecnenie pre akýchkoľvek n bodov (nielen 5) a to na akejkoľvek jednotkovej sfére (nielen v trojrozmernom priestore):


kde α je 0 pre párne n a 1 pre nepárne n. Ale stručný dôkaz neviem ani v špeciálnom prípade n=5, takže sa teším na vaše nápady.

4 komentáre:

Ruziklan povedal(a)...

Niečo fakt zábavné na túto tému v kontexte tohto blogu... :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Tak toto je BOMBA !!!!!

Peter Richtárik povedal(a)...

Super ;-) Meno (priezvisko) aj úloha sedí!

Rado: Keď si ten článok prečítaš, zreferuj nám aký výsledok dostal tvoj menovec pre tvoj problém (n=5).

Radoslav Harman povedal(a)...

Peter: No, v tom článku G. Harmana sú nerovnosti týkajúce sa iných metrík ako je tá naša (nazývaná "great circle metric"), ale Harmanov článok odkazuje na starší článok K. Stolarskeho, z ktorého mám prístup len k prvej strane. Ale už na konci prvej strany je odkaz na ešte starší článok, kde je vzťah pre našu metriku a párne n, ktorý je identický s tým, čo som odvodil ja. Je teda skoro isté, že moja formulka je správna aj pre nepárne n (použil som rovnakú techniku ako pre párne n a aj špeciálne prípady v dimeziách 1 a 3 očividne sedia). Takže hranica 6π pre n=5 bude skoro určite správna. (Ak by si mal u Vás prístup k tomu úplne pôvodnému článku, tak by som bol veľmi rád, keby si mi ho poslal.)

Zdá sa, že tento problém nie je až taký triviálny a možno by sa mu oplatilo venovať aj serióznejšie, nielen ako zábavka na blogu. Napríklad ten môj dôkaz som dopracoval do celkom peknej formy a možno by sa z tej techniky dalo vyťažiť viac. Uvidím, či budem mať čas a chuť.