10 októbra 2010

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).

9 komentárov:

misof povedal(a)...

Zlaté :)
Tak od oka mi to vychádza, že by to malo ísť pre hocijaké kladné reálne číslo :)

Radoslav Harman povedal(a)...

Dobre Ti to vychádza od oka Mišo. :) Počkajme ešte, či sa nájde niekto, kto to zdôvodní...

Rori povedal(a)...

mna tiez napadlo hned ze by to malo byt lubovolne kladne realne cislo. Aj ked napriklad podla definicie normalnu dosku asi takto nerozpilime na 3 rovnake kusy - teda ide o to zafarbenie objektu - to sa mi zda velmi vagne "zadefinovane"...

Radoslav Harman povedal(a)...

Rori: Ide o to, že nech je akýkoľvek pomer r>0, tak existuje rovinný útvar, ktorého najkratší rez na dve identické časti je r-krát menší ako najkratší súčet dĺžok rezov na tri identické časti. Len zatiaľ tu nikto nenapísal ako také útvary (pre všetky kladné r) vyzerajú :)

Tá poznámka s ofarbením je vlastne len na mierne skomplikovanie zadania. Napríklad keď rozkrojíme rovnostranný trojuholník priamym rezom od vrchola k stredu potiľahlej strany, tak dostaneme dva trojuholníkové kusy, ktoré nepovažujeme za zhodné. Ofarbenie som spomenul preto, že ak by pôvodná doska mala rovnaké obe strany, tak preklopením jedného vzniknutého kusu dostaneme úplne rovnaký útvar ako je ten druhý. Ak však bude jedna strana modrá a druhá červená, už to nebude možné.

Rori povedal(a)...

Ja som to bral trojrozmerne - teda este aj boky by mali sediet... problem v tedy nastava aj koli tomu, ze aka farba je po reze... Ale v podstate uz chapem k comu sa smeruje ...

Inak co ma z brucha napada su tri kruhy (nie uplne kruhy ale viac nizsie) stredmy rovnomerne na jednej usecke - na dva kusy rozdelime stredom stredneho a na tri kusy rezom presne medzi kruhmy (vzdy kolmo na usecku). Aby sme zabespecili rovnakost utvarov tak sa dostavam k tomu preco nie uplne kruhy - na bokoch krajnych kruhov chyba presne taka cast ktora sa odreze pri druhom rezani zo stredneho kruhu. Potom dlzku druhych rezov menime vzdialenostou medzi kruhmy. Dufam ze som to opisal zrozumitelne :) (prinajhorsom to aj nakreslim) lenze tymto utvarom dokazeme pokryt dlzku rezania na (0,2x prvy rez). Este treba teda najst utvar <2x prvy rez, nekonecno) :) ale ja pre teraz uz sa musim venovat aj praci :)

Rori povedal(a)...

Inak co ma napadlo vecer ked som zaspaval :) tak ze by to boli spojene take Hcka HHH - a hrubka strednej palicky a vyska nohy by vlastne urcovala pomer casov pilenia. Len som si nie isty ci to splna vsetky podmienky - hlavne minimalny rez a podobne ...

Radoslav Harman povedal(a)...

Rori: To s H-čkami je zaujímavý nápad, ale už Tvoj prvý návrh rieši celý problém, hoci si si to asi nevšimol.

Tvoje riešenie som načrtol na tomto obrázku, hoci namiesto z oboch strán useknutých kruhov som použil "kolíky", čo je obdĺžnik, ktorý má na protiľahlých stranách prilepené rovnostranné trojuholníky.

Minimálny súčet dĺžok rezov, ktorý daný útvar rozdelia na 3 časti, je 2(a-b/sqrt(3)). Avšak minimálna dĺžka rezu, ktorá rozdelí daný útvar na 2 rovnaké časti, je buď a (ak je a menšie ako b), alebo b (ak je b menšie ako a). Všetky kombinácie dĺžok a,b nám dávajú všetky možné pomery dĺžok rezov.

Riešení je inak veľa, ale toto je asi jedno z najjednoduchších.

Rori povedal(a)...

no - trosku sa mi to pri tom obrazku nezda - lebo este pre 2 casti existuje sikmy rez spajajuci vrcholy zarezov ... Ale ako uplne to ovplyvni nas vypocet sa budem zamyslat neskor (praca vola vola (dajte si dlzne kam chcete :) ))

Radoslav Harman povedal(a)...

No vidíš, Rori, predsa len som nemal byť lenivý a mal som to urobiť s kruhmi ako si pôvodne navrhoval, hoci je to viac roboty s kreslením. (Lenivosť sa nevypláca :)

Tu je nový obrázok.

Tak či tak, Tvoj nápad pokrýva všetky pomery r>0.