22 decembra 2009

Membrána medzi obručami

Dve rovnaké kruhové obruče namočíme do mydlovej vody a opatrne ich od seba vzdialime. Aký tvar bude mať membrána, ktorá sa medzi nimi vytvorí?

Intuitívne sa zdá zrejmé, že membrána bude mať tvar plášťa valca, ako je to zobrazené na ilustračnom obrázku vľavo. Ale je to tak naozaj?

Túto peknú úlohu mám od otca, ktorého silnou stránkou je to, že veľmi dobre rozumie fyzike (na rozdiel od mnohých iných matematikov) a za vzorcami vidí reálny svet.

3.1.2010: Ako ste už správne napísali v komentároch, membrána medzi obručami nebude mať tvar plášťa valca; tu je dôkaz:


Vzhľadom na to, že mydlová membrána je extrémne tenká, je gravitačné pôsobenie zanedbateľne malé a jej tvar bude takmer presne zodpovedať plášťu rotačného telesa s minimálnym možným povrchom. Ako správne odhadol Vlado, úloha nájsť také teleso patrí do obasti variačného počtu a ako napísal Rasťo, výsledkom je teleso nazývané catenoid, ktoré vznikne rotáciou "reťazovky", čiže vlastne hyperbolického kosínu.

PS: Želám Vám šťastný nový rok a okrem iného veľa potešenia z nového poznania :-)

6 komentárov:

Vladimír povedal(a)...

Nebude to valec :). Ja by som tipol, ze to bude nieco, co vznikne rotaciou hyperboly. Tvar by sa mozno dal zistit riesenim ulohy minimalizazie nejakej formy energie (asi povrchoveho napatia, mozno nejaka uloha variacneho poctu). Aspon si myslim.

rasťo povedal(a)...

vladimir ma pravdu, valec to urcite nebude.

ked si to predstavujem, tiez vidim tu membranu najprv taku peknu symetricky prehnutu smerom dovnutra mysleneho valca.

ked ale rozmyslam o chvilu dlhsie, tak vidim, ako molekuly mydlovej vody vo vnutri membrany vplyvom gravitacie stekaju vnutrom membrany dolu, a tak sa to prehnutie membrany meni. naspodku je stale viac tekutiny vo vnutri membrany, co sposobuje, ze sa jej vychylenie smerom do vnutra valca zmensuje.

od velkosti obruci a koncentracie tej mydloviny (od hrubky membrany) asi zavisi, ci nakoniec nastane dokonca taka smiesna situacia, ze na spodnej casti obruci bude ta membrana previsat naopak dovon - mimo toho mysleneho valca...

Rori povedal(a)...

Podla mna to bude - a teraz narazam na to ze nepoznam ako sa to vola - proste ked vytvarame plochu nejakym 2D objektom tak ze ho posuvame po nejakej krivke. Napr. valec sa da vytvorit kruhom a posunom po usecke. V nasom pripade by ale bola krivka. Pricom dana krivka je - natiahnuty motuz medzi dvomy bodmi + gravitacia :) hmm neviem ci to nie je polkruh?

Lenze to az po urcitu hranicu - pretoze ak si dobre pamatam z realu tak (zalezi od "pevnosti" bubliny) sa stred zacina stencovat a stencovat...

Na zaver - asi tieto uvahy su viac menej hinty ktore niekto moze rozvynut ale urcite nie riesenie :)

rasťo povedal(a)...

rori, zaveseny spagat plus gravitacia, to je slavna retazovka, krivka, ktoru si niektori ludia mylia s parabolou, lebo vyzera velmi podobne.

a spominana membrana naozaj ma takyto tvar - mentalne experimenty som vymenil za naozajstne, a ten tvar vyzeral nejak tak. a uplnou nahodou som dnes od rodicov dostal pod stromcek knizku i. stewarta a je v nej presne tato hadanka. naozaj je ta membrana rotacna retazovka!

rasťo povedal(a)...

aj ked to tu uz rado uzavrel, neda mi aby som este neokomentoval tu gravitaciu.

membrana je sice extremne tenka ale nemusi byt extremne mala. na dokazovom obrazku su asi nejake vykrajovace cesta s priemerom mozno 5 cm. ale v zadani sa pise o obruciach. a obruc moze moze byt aj vacsia. napriklad s priemerom 1 m.

keby sme natiahli membranu medzi takymito obrucami, gravitacia by ulohu zohrala. membrana by bola sice extremne tenka, ale na svoju hrubku aj celkom pekne velka.

vplyv gravitacie lahko vidiet aj na obycajnych bublinach, ktore mozete vyfuknut pomedzi prsty. ak si na otvorenu dlan polozite bublinu s priemerom 20 cm, tak je poriadne splostena!

takze - v tom mikro pripade malych vykrajovatok je to skoro dokonaly catenoid, ale keby islo o vacsie obruce, tak by to uz podla mna bolo viditelne previsajuce na spodnej strane.

mimochodom, prave gravitacia je to, vdaka comu mydlove bubliny po chvili prasknu. mydlova membrana to su vlastne dve vrstvy molekul tej mydlovej vody, ktore maju rozhranie so vzduchom (vonkajsi a vnutorny povrch bubliny), a medzivrstva mydlovej vody medzi tymito rozhraniami. prave posobenim gravitacie mydlova voda medzi vrstvami pomaly steka na spodok bubliny. vrch bubliny sa stencuje, spodok hrubne, az nakoniec bublina praskne.

Radoslav Harman povedal(a)...

Rasťo: Áno, samozrejme, ak tá membrána bude veľmi veľká, tak gravitácia spôsobí, že sa už jej tvar bude líšiť od ideálneho catenoidu. Ak však vplyv gravitácie nezanedbáme, tak sa problém stane matematicky veľmi obtiažny. Nie som fyzik, ale tipol by som si, že výsledný tvar už nebude možné tak pekne analyticky popísať.