13 januára 2008

Valivá elipsa

Rovnako ako v úlohe "Valivá úsečka", predstavme si, že sa malá kružnica "valí" po vnútornej strane veľkej kružnice s dvojnásobným polomerom. Červenou farbou označme pevne zvolený bod na malej kružnici a modrou farbou pevne zvolený bod na úsečke spájajúcej tento bod so stredom malej kružnice. Je pravda, že modrý bod opisuje matematicky presnú elipsu? (Kliknutím na obrázok sa spustí animácia.)

3 komentáre:

Lukáš povedal(a)...

Zvolíme stred veľkej kružnice za bod počiatok súradnicovej sústavy. Vyšlo mi, že bod v čase t je na mieste so súradnicami [cos(t)*3/4, -sin(t)/4]. Teraz už len ukázať, že opísaná krivka je elipsa. Mne sa to zdá intuitívne jasné, ale mal by som sa ešte učiť na inú skúšku :)

Lukáš povedal(a)...

Opísaná krivka je elipsa, stačí zvoliť parametre elipsy a=3/4, b=1/4 a dosadiť súradnice [x, y]=[cos(t)*3/4, -sin(t)/4] do (x/a)^2+(y/b)^2 = 1. Už sa môžem s pokojným svedomím učiť ďalej.

Radoslav Harman povedal(a)...

OK Lukas :-) Skusky su ale dolezitejsie; nenechaj sa vyrusovat mojim blogom. Inak drzim palce na skuskach.