Nech A je kružnica s polomerom 1 a nech B je tiež kružnica s polomerom 1, ktorej však chýba jeden bod (pozri obrázok). Sú množiny A a B zhodne rozložiteľné? T.j., trochu nepresne formulované: Je možné rozbiť A na konečný počet podmnožín, z ktorých len posunutím a rotáciou môžeme poskladať B?Poznámka: Pojem "zhodne rozložiteľné množiny" sme presne definovali v predchádzajúcom príspevku. Teším sa na Vaše riešenia.
Neviem. Niekde som sa docital, ze v rovine zhodne rozlozitelne nie su, ale na rozumny dovod som neprisiel. Samozrejme mi chodili po rozume okolia vybraneho bodu ale kedze podmnoziny nemusia byt otvorene, suvisle, nic zvlastne, tak nic rozumne neviem odvodit. Prezrad... :-)
OdpovedaťOdstrániťDobre, pomôcka: Kružnica A a kružnica B s odstráneným jedným bodom zhodne rozložiteľné sú a to dokonca len na dve podmnožiny, ktoré sú rovnaké až na pootočenie a posuv.
OdpovedaťOdstrániťlev: ja som mala tiez ten pocit, ale potom som zistila, ze to, co som citala bolo o rozkladani ploch... inak uz mam popisany cely papier, ale riesenie zatial nikde. :-)
OdpovedaťOdstrániťNa kruznici mam body 0 az 2pi (podla toho aky uhol zviera os x s priamkou spajajucou dany bod s pociatkom). Vytvorim si takuto mnozinu: bod 0, bod r/2pi, bod 2r/2pi, ... , pricom r/2pi je nejake iracionalne cislo. Tuto mnozinu otocim o uhol r/2pi proti smeru hodinovych ruciciek. Zvysne body kruznice necham na mieste. Zatial sa mi zda, ze toto by mohlo fungovat. :)
OdpovedaťOdstrániťDost dobre! Hilbertov hotel a iracionalita dlzky kruznice dohromady!
OdpovedaťOdstrániťKatka: Výborne! Ak je r taký uhol (v radiánoch), že r/2π je iracionálne číslo, tak body na kružnici určené uhlami r,2r,3r,... sa nikdy nezopakujú. Ak označíme túto spočítateľnú množinu bodov ako M, tak pootočením M o uhol r dostaneme opäť presne M, s výnimkou prvého bodu. Urobil som obrázky, ktoré zobrazujú prvých 8 a prvých 200 bodov množiny M pre uhol r=1 radián.
OdpovedaťOdstrániťAko tvrdí Lev, je to naozaj vyžitie Hilbetovho hotela a iracionality dĺžky kružnice.
Veľmi pekné!
OdpovedaťOdstrániť