26 mája 2008

Banachov-Tarskeho paradox: časť 1: formulácia

Toto je prvý v sérii príspevkov, ktorými sa pokúsim ozrejmiť Banachov-Tarskeho paradox, ako som kedysi sľúbil. Čiastočne sa pritom budem držať knihy Leonarda Wapnera "The Pea and the Sun". Na začiatok úplne postačí, keď sa nám podarí pochopiť presné znenie tohoto paradoxu. Potrebujeme k tomu niekoľko matematických definícií na úrovni obtiažnosti nepresahujúcej prvý ročník na matfyze.

Nech En je Euklidovský priestor, napríklad priamka (pre n=1), rovina (pre n=2), alebo klasický trojrozmerný priestor (pre n=3). Nech v je vektor v En a nech U je matica rotácie typu nxn. Zobrazenie f, ktoré priradí každému bodu x v En bod x+v, nazveme translácia (posun) a zobrazenie g, ktoré priradí každému bodu x v En bod Ux nazveme rotácia (pootočenie). Ľahko si uvedomíme, že rotáciou v E1 je len jediné zobrazenie a to identické. Každú rotáciu v E2 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo bodu (0,0) a každú rotáciu v E3 si môžeme predstaviť ako pootočenie okolo nejakej priamky prechádzajúcej bodom (0,0,0).

Nech f je posun o vektor v, nech g je rotácia definovaná maticou rotácie U a nech M je nejaká množina v En. Transláciou f množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru x+v, kde x je bod z M a rotáciou množiny M nazveme množinu všetkých bodov tvaru Ux, kde x je bod z M. Ako príklad som na nasledovnom obrázku načrtol modrým transláciu f(M) zelenej množiny M o vektor (2,1) a ružovým rotáciu g(M) množiny M o uhol α=π/4 (t.j. o 45 stupňov).


Rozkladom množiny M nazývame každý systém M1,...,Mk navzájom disjunktných podmnožín množiny M, ktorých zjednotenie je M. Dve množiny A a B v priestore En nazveme zhodne rozložiteľné, ak existuje rozklad A1,...,Ak množiny A a rozklad B1,...,Bk množiny B tak, že pre každé i=1,...,k je množina Bi zrotovaná a posunutá množina Ai, t.j. existujú translácie f1,...,fk priestoru En a rotácie g1,...,gn priestoru En, že pre všetky i=1,...,n platí Bi=f(g(Ai)). To, že sú množiny A a B zhodne rozložiteľné, označíme A~B.

Čiže, veľmi voľne povedané, A~B znamená, že A je možné rozbiť na kúsky, z ktorých len posunutím a zrotovaním môžeme poskladať B. Ako príklad som načrtol obrázok dokazujúci A~B pre pravouhlý rovnoramenný trojuholník A (bez jednej odvesny) a štvorec B (bez jednej strany) s rovnakým obsahom ako má A.

Pripomeňme ešte, že pod pojmom guľa v E3 s polomerom r a stredom v bode P rozumieme množinu tých bodov E3, ktorých vzdialenosť od P je menšia, alebo rovná r.

Znenie Banachovho-Tarskeho paradoxu (vo formulácii nazývanej ''pea and the Sun''): Akékoľvek dve gule v E3, nie nutne s rovnakým polomerom, sú zhodne rozložiteľné.


Banachov-Tarskeho paradox je teda (dokázateľne platné) matematické tvrdenie že, voľne povedané, akúkoľvek malú trojrozmernú guľu vieme rozbiť na konečný počet podmnožín, z ktorých len pootočením a posunutím vieme poskladať (plnú) guľu s akokoľvek veľkým polomerom. Vaše prípadné nejasnosti a námietky napíšte do komentárov a ja sa Vám ich pokúsim vysvetliť resp. odmietnuť :)

8 komentárov:

Anonymný povedal(a)...

trosku rypem: nerozumiem poslednej vete. :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

No, sfromuloval som to trochu hlupo; je to nevydareny pokus o slovnu hracku, ale nebudem to uz menit. Myslel som to tak, ze nejasnosti vysvetlim a namietky odmietnem. Totiz ak by niekto namietal voci platnosti toho BT tvrdenia, tak to sa da iba odmietnut, pretoze to tvrdenie naozaj plati, ale dokazat ho nie je jednoduche. Ja sa tu mozno postupne pokusim sa k tomu dokazu dostat, ale bude to dost dlho trvat.

Anonymný povedal(a)...

Da sa nejak polopatisticky na intuitivnej urovni vysvetlit, preco take nieco plati?

Radoslav Harman povedal(a)...

Práveže sa asi nedá; úplne sa to vzpiera našej intuícii. Nepriamy argument, že sa to polopatisticky vysvetliť nedá je ten, že ani vo Wapnerovej knižke, ktorá je celá venovaná BTP a snaží sa ho podať čo najširšiemu spektru matematicky vzdelaných čitateľov, nie je žiadne všetko-vysvetľujúce intuitívne zdôvodnenie. Inak už samotný pojem nekonečna ako ho chápe matematika je pre mnohých ľudí paradoxný (pozri napríklad slávny Hilbertov hotel) a BT paradox sa do značnej miery zakladá na paradoxoch nekonečna.(Dobrým príkladom je asi aj naša nová úloha.)

Skrátka BTP je možné rigorózne dokázať zo základných axióm teórie množín, ktoré sú síce sami osebe zdanlivo "očividné", ale keď ich všetky prijmeme, tak nutne musíme akceptovať aj ich niektoré neočividné, až paradoxné logické dôsledky, ako napríklad BT. Trochu spornou je jedine takzvaná axióma výberu, bez ktorej by sme BT nedokázali. Ale ak by sme zavrhli axiómu výberu, tak by sme s BT paradoxom obrali matematiku o aj mnoho iných, už nie "paradoxných" tvrdení. O axióme výberu sa určite ešte v sérii článkov o BT paradoxe zmienim. Budem však najprv formulovať tvrdenia, ktoré sa dokážu relatívne jednoducho, no už v sebe skrývajú intuitívne paradoxy (tzv. tvrdenia "baby Banach-Tarski" :).

rasto halamicek povedal(a)...

v texte je formulacia: "pravouhlý rovnostranný trojuholník A", co asi mal byt rovnoramenny:) inak, uz ma raz tak nachytal jeden kamarat, ked odo mna chcel konstrukciu, ktorej vysledkom by bol prave "pravouhlý rovnostranný trojuholník"...:)

Radoslav Harman povedal(a)...

rasto: Ups :) Dakujem za korekciu.

Anonymný povedal(a)...

pravouhly rovnostranny sa neda napriklad v nejakom zakrivenom priestore?

Radoslav Harman povedal(a)...

a: Áno. Napríklad vo sférickej geometrii (čo je model eliptickej neeuklidovskej geometrie) je jednoduché skonštruovať rovnostranný trojuholník so všetkými uhlami pravými. Pozri napríklad predposledný odstavec pred odkazmi na tejto stránke.