Hadamardova hypotéza

Sériu príspevkov týkajúcich sa konfigurácií kameňov by som chcel ukončiť jednou naozaj ťažkou úlohou. Tak ťažkou, že odoláva pokusom o vyriešenie už minimálne od tridsiatych rokov 20. storočia, no s veľkou pravdepodobnosťou nad ňou rozmýšľali už v 19. storočí James Sylvester a Jacques Hadamard. Ale kto vie? Možno je medzi Vami niekto, koho napadne nejaký veľmi originálny trik a stane sa slávnym...

Jedno z viacerých možných zadaní tejto úlohy je prekvapivo jednoduché:

Hadamardova domnienka: Nech n je akýkoľvek násobok štyroch a nech mriežka n×n má najnižší riadok ako aj najľavší stĺpec pokrytý čiernymi kameňmi. Je možné túto mriežku doplniť bielymi a čiernymi kameňmi tak, že každá dvojica riadkov ako aj každá dvojica stĺpcov má presne na n/2 pozíciách kamene rovnakej farby a na zvyšných n/2 pozíciách kamene rôznej farby?

Na ilustračnom obrázku je názorná ukážka, že to skutočne je možné pre n=4 a n=8:


Uveďme si ešte dve ekvivalentné formulácie Hadamardovej domnienky; prvá je klasická a druhú som pre Vás poprivymyslel ja.

Ekvivalentná formulácia 1: Existuje pre každé n, ktoré je násobkom štyroch Hadamardova matica H_n? Hadamardova matica H_n je taká matica typu n×n, ktorej prvky sú buď -1, alebo 1 a pre ktorú platí H_nH_n^T=nI_n, kde T označuje transpozíciu matice a I_n je jednotková matica rozmeru n×n.

Ekvivalentná formulácia 2: Nech n je akýkoľvek násobok štyroch. Dá sa vybrať n vrcholov (n-1)-rozmernej kocky tak, aby všetky vzájomné vzdialenosti týchto vrcholov boli rovnaké?

Všimnite si, že pre n=4 je podmienka z formulácie 2 splnená: Skutočne, ľahko nájdeme také štyri vrcholy klasickej trojrozmernej kocky, ktoré majú všetky vzájomné vzdialenosti rovnaké, t.j. tvoria vrcholy pravidelného štvorstenu:


Dôležitosť Hadamardovej domnienky umocňuje fakt, že Hadamardove matice nie sú len intelektuálnou zábavkou pre čistých matematikov, ale majú veľmi konkrétne aplikácie, napríklad v teórii kódovania, alebo pri navrhovaní štatistických experimentov.

Ak sa Vám nepodarí vyriešiť našu úlohu vo všeobecnosti, t.j. pre všetky násobky štyroch, môžete sa pokúsiť aspoň nájsť príslušnú konfiguráciu kameňov (Hadamardovu maticu, resp. n-ticu vrcholov kocky) pre konkrétny násobok štyroch. Najmenšia veľkosť, pre ktorú takáto konfigurácia ešte nie je skonštruovaná, je n=668.

Formuláciu 2 odporúčam pre tých, ktorí majú obzvlášť dobrú geometrickú predstavivosť. Stačí si totiž predstaviť 667 rozmernú hyperkocku a z jej približne 6×10²⁰⁰ vrcholov vybrať 668, ktoré tvoria vrcholy pravidelného 667 rozmerného simplexu.

Držím palce! :-)

Poznámka: Budúci týždeň som na konferencii, takže chvíľu nebudem písať na blog. Stay tuned!