Nasledovná úloha ma opäť napadla pri hre s Agátkou a geomagom. Je samozrejme veľmi jednoduchá, avšak riešenie je netradične príjemné.Koľko pravidelných šesťuholníkov je možné nájsť na obrázku veľkého pravidelného šesťuholníka so stranami dĺžky n, ktorý je poskladaný z rovnostranných trojuholníkov so stranami dĺžky 1?
Na ilustračnom obrázku je znázornený prípad n=2, pre ktorý je správna odpoveď 8; jeden pravidelný šesťuholník má strany dĺžky 2 a 7 ďalších šesťuholníkov má strany dĺžky 1.
Poznámka 22.1.: Vidím, že sa nemáte k činu, čo ma trochu mrzí, pretože mám pripravené zovšeobecnenie tejto úlohy a nechcem ho uviesť skôr, ako máme vyriešený tento špeciálny prípad. Aby som Vás trochu inšpiroval, zobrazil som situáciu pre n=3:
Na obrázku je 1 pravidelný šesťuholník so stranou veľkosti tri, 7 pravidelných šesťuholníkov so stranou veľkosti 2 a 19 pravidelných šesťuholníkov so stranou veľkosti 1. Spolu je to teda 27 šesťuholníkov.
Rado, na mojom blogu je teraz tiez mrtvo ;-) Ludia su asi v soku z padu investicnych bank, vyrokov istych politikov, alebo jednoducho skoncili prazdniny.
OdpovedaťOdstrániťJa osobne sa na tvoje prispevky vzdy tesim, odkedy som teda objavil QED, a mnohe ulohy ma pekne pobavia! Tato konkretna je naozaj pekna, velmi sa mi paci ze ta take elegantne napadaju!
Zatial prezradim, ze riesenie je n^3, pre stranu sestuholnika rozdelenu na n casti. To som moc ale nepovedal, kedze to je lahke uhadnut z tvojich dvoch prikladov.
Mne sa to podarilo dokazat pomocou indukcie [mam to tu nacarbane pred sebou na papieri].
Ked budes netrpezlivy s dalsim prikladom, na ktory sa tesim, napis do poznamky a ja sem s radostou napisem moje riesenie. Zaujimalo by ma potom, ci sa na to da ist aj inak! Zatial ma napada len toto jedno riesenie; take follow-your-nose...
Ked sa tak pozeram na tie obrazky 6-uholnikov a nepredstavim si to v 2D, ale v 3D, tak to vyzera ako kocka s hranou dlzky n rozdelena na n^3 jednotkovych kociek, pricom ide o taky pohlad, ze na jednu telesovu uhlopriecku sa pozerame kolmo, takze 2 protilahle vrcholy splyvaju (takyto bod je presne v strede toho 6-uholnika na obrazku). Kazdy z tych 6-uholnikov, ktorych pocet treba zistit, je potom vlastne tiez kocka (zlozena z niekolkych jednotkovych kociek) splnajuca tu vlastnost, ze niektora jej stena je castou prednej, pravej alebo vrchnej steny velkej kocky (kocky s hranou n). Kazda takato kocka je jednoznacne urcena svojim zadnym lavym dolnym rohom, resp. rohovou jednotkovou kockou, a kedze jednotkovych kociek je vo velkej kocke n^3, je to aj riesenie ulohy :).
OdpovedaťOdstrániťKatka: Super! To je presne to riešenie, ktoré mi urobilo takú radosť, že som tento inak jednoduchý príklad dal na blog...
OdpovedaťOdstrániťKatka: klobúk dolu! Toto ma teda vôbec nenapadlo!
OdpovedaťOdstrániťOproti tomuto riešeniu je moje ako Šofola v porovnaní s Kofolou (disclaimer: nič proti Šofole nemám, iba to nie je "ono").
Rado: peknejší príklad než som pôvodne myslel!