12 augusta 2008

Geomag

Konštrukčná sada Geomag nie je lacný špás, ale čo by už človek nekúpil svojej jedinej dcérke, všakže. Základom Geomagu sú oceľové guličky a magnety v podobe tyčiniek, ktorých spájaním je možné vyrobiť množstvo priestorových modelov, napríklad základných trojrozmerných telies. Agátkina sada obsahuje okrem guličiek a tyčiniek aj farebné "výplne" v tvare rovnostranného trojuholníka, štvorca, kosoštvorca a pravidelného päťuholníka, ktoré je možné použiť na spevnenie, alebo skrášlenie vzniknutých konštrukcií.

Zoo konvexných priestorových telies, ktoré majú všetky hrany rovnakej dĺžky a ktorých steny sú pravidelné n-uholníky, môžeme v zásade rozdeliť do piatich skupín: platónske telesá, archimedovské telesá, prizmy, antiprizmy a Johnsonove telesá. Na nasledovnom obrázku sú znázornené štyri Johnsonove telesá poskladané z Geomagu (kliknutím sa obrázok zväčší).


Konkrétne, na fotografiách sú augmented tridiminished icosahedron (vľavo hore), square gyrobicupola (vpravo hore), biaugmented pentagonal prism (vľavo dole) a bilunabirotunda (vpravo dole). Samozrejme, na zložitejšie telesá by sme potrebovali oveľa viac ako 31 tyčiniek a 24 guličiek, ktoré obsahuje naša sada. Vytrínový kúsok by mohol byť napríklad taký Parabigyrate Rhombicosidodecahedron.

Na koniec tohto príspevku ešte jedna oddychová úloha, ktorá je inšpirovaná tabuľkou v dolnej časti stránky mathworldu o Johnsonovych telesách.

Konvexné trojrozmerné teleso má n3+n4+n5 stien, z toho n3 trojuholníkových, n4 štvorcových a n5 päťuholníkových. Koľko má toto teleso vrcholov?

9 komentárov:

Peter Richtárik povedal(a)...

Pekná zábavka!

Moja dcérka má niečo podobné: je to celé z umelej hmoty a všetko sú to len rôznofarebné trojuholníky, ktoré do seba ľahko "zapadajú".

Obľúbeným konvexným tvarom mojej dcérky je "hladný icosahedron" (má 2 roky a vie to aj vysloviť); tj pravidelný dvadsaťsten bez dvoch trojuolníkov/stien, ktoré slúžia ako ústa :-)

Najradšej papá prstíky, ruku a iné trojuholníky :-)

Peter Richtárik povedal(a)...

Keď sa nikto neozýva, mne to vychádza na

(4 + n_3 + 2*n_4 + 3*n_5)/2.

Postup neprezradím, nech nepokazím zábavu ďaľším :-)

Radoslav Harman povedal(a)...

Peter: Správne riešenie! V súvislosti s Geomagom ma napadajú aj iné rekreačné matematické úlohy; možno o nich napíšem príspevok.

Radoslav Harman povedal(a)...

... a práve som si všimol, že si aj Ty napísal úlohu o Geomagu :)

aleph0 povedal(a)...

Napadlo ma, ze by sa tu dala pouzit Eulerova veta V-H+S=2, kedze ide o konvexne polyedre. Cize jediny problem by bol urcit pocet hran, ale myslim, ze takato uloha je porovnatelna s poctom vrcholov (zakon zachovania obtiaznosti v matematike :))

Radoslav Harman povedal(a)...

aleph0: S tou Eulerovou vetou máš pravdu. K riešeniu, ktoré uviedol Peter, stačí už len maličký krôčik.

K tomu zachovaniu obtiažnosti; to je pravda len čiastočne. Napríklad v tomto príklade má podľa mňa človek naozaj bližšie k jeho vyriešeniu, keď sa zamýšľa nad tým, či sa nedá z čísiel n3,n4,n5 určiť počet hrán, ako keď sa zamýšľa nad tým, či sa nedá z tých čísiel určiť počet vrcholov. :-)

Tychi povedal(a)...

Geomagu mám skoro dost (i když je ho při každé stavbě málo), matika je můj obor. Nikdy mě nenapadlo, je takhle moc propojit.
Budu se sem vracet, zajímavé čtení, mozek to bude bavit(o:

Radoslav Harman povedal(a)...

Tychi: Pozrel som si Tvoje stavby z Geomagu a sú úžasné!

Samozrejme budem rád, keď sa budeš na QED vracať.

Tychi povedal(a)...

Díky za chválu, snažím se, aby stavebnice nezahálela, když je tak nákladná.
Q.E.D. je skutečně zajímavá stránka, jen je škoda, že jsem ještě nenarazila na podobnou, kterou by vytvářel někdo z mých profesorů na tom našem českém matfyzu.