
1. a) Koľko existuje rôznych ofarbení kocky dvomi farbami? Predpokladáme, že každá stena musí byt celá zafarbená jedinou farbou. Pochopiteľne, dve farbenia považujeme za identické, ak sa líšia len rotáciou kocky. b) Koľko existuje rôznych ofarbení kocky tromi farbami?
2. V súťaži o najkrajšiu matematickú úlohu je 12 úloh. Vzhľadom na to, že všetky sú rovnako pekné, každý hlasujúci sa rozhodne dať svoj hlas každej z týchto úloh s pravdepodobnosťou 1/12. Nájdite pravdepodobnosť, že niektoré dve úlohy dostanú rovnaký počet hlasov, ak je hlasujúcich a) 65; b) 650. Predpokladáme, že hlasujúci sa správajú navzájom nezávisle.
3. Máme štyri kladné čísla a,b,c,d, z ktorých najväčšie je menšie ako súčet zvyšných troch. a) Dokážte, že existuje štvoruholník so stranami dĺžok a,b,c,d, ktorého vrcholy ležia na spoločnej kružnici. b) Je možné takýto štvoruholník skonštruovať len pomocou ceruzky, pravítka a kružidla? (Predpokladáme, že na papieri už máme úsečky dĺžok a,b,c,d zakreslené.)
Pri riešení úloh 1b, prípadne 2b môžete použiť počítač. Priznám sa, že úlohu 3b som (v mojom limite 30 minút) nevyriešil, takže som zvedavý, ako úspešní budete Vy.