Zbierka úloh z pravdepodobnosti je na svete

Po dlhom čase vymýšľania zadaní, počítania riešení, kontrol a editovania nám vyšla naša prvá kniha: Zbierka úloh zo základov teórie pravdepodobnosti. Hurá!

Zbierka obsahuje 519 úloh, z ktorých každá má uvedený aspoň číselný výsledok, a väčšina dokonca podrobný postup riešenia. Okrem rôznych príkladov na cvičenia, domáce úlohy a písomky, zaradili sme do nej aj viacero komplexnejších a zábavných úloh, napríklad klasiky ako Buffonovu ihlu a Buffonovo vlákno, úlohu o ruinovaní, Monty Hall problem, problém zberateľa kupónov, Banachove zápalky, dvojrozmernú náhodnú prechádzku a podobne, ale aj vlastné úlohy, ako napríklad úlohu o kurzoch stávkových kancelárií, nové úlohy o lámaní úsečiek, problémy počtov cyklov v náhodných permutáciách, úlohy týkajúce sa rozdelenia IQ v populácii a mnohé iné. Dúfame, že zaujmú.

Bohužiaľ, väzba knihy je dosť nevhodne zvolená a nekvalitne urobená (kniha sa dá len veľmi ťažko úplne roztvoriť a nebude sa z nej dať dobre kopírovať), ale za to už my, autori, nemôžeme. Každopádne, zbierka sa čítať dá a teraz nás už čaká len rozhodovanie, ako budeme našu zbierku rozdeľovať medzi ľudí a najmä akým spôsobom získame čo najväčšiu spätnú väzbu, aby sme vychytali chyby, lepšie vyvážili zadania a pripravili druhé vydanie :-)

Poznámka: Úlohy z prvej kapitoly si môžete pozrieť tu.

Osobnosti slovenskej matematiky: Lev Bukovský (pozvánka na prednášku)

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Beta verzia "Zbierky úloh z pravdepodobnosti" je live

Ešte pred dokončením našej zbierky úloh z pravdepodobnosti sme sa rozhodli, že urobíme malý experiment: jej odľahčenú internetovú verziu. Zatiaľ sme uverejnili zadania prvých štyroch podkapitol (asi 50 úloh; celkovo ich je v zbierke vyše 400) a budeme čakať, čo na to študenti. Využijú možnosť pýtať sa nás na detaily zadaní a diskutovať o riešeniach medzi sebou? Uvidíme a podľa toho sa zariadime v budúcnosti.

Každopádne, ak máte chvíľku čas, mohli by ste sa na našu zbierku pozrieť aj Vy a prípadne nám poradiť, čo by sa na nej podľa Vás dalo zlepšiť. Budeme veľmi povďační!

Ilustračný obrázok vľavo je môj návrh na obálku tlačenej verzie zbierky. Ak k nemu máte výhrady, sem s nimi. Ešte stále je čas všetko zmeniť :-)

PS: Ak by ste aj Vy chceli vyriešiť nejakú úlohu v zbierke, ale nepoznáte pravdepodobnostnú formalizáciu z našich prednášok, vyskúšajte napríklad takú úlohu 55. Ďalšie neformálne a nie celkom triviálne úlohy prídu neskôr.

Medoid trojice bodov

Narýchlo len jeden príkladík; nič mimoriadne, ale aspoň že je môj vlastný :-) Napadol ma dnes pri skúšaní analýzy zhlukov na predmete "Viacrozmerné štatistické analýzy 2".

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme medoidom ten, ktorý má minimálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne medoid bližšie k ťažisku trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Poznámka 13.6.: V komentároch nájdete Peťove riešenie pomocou súradnicového systému, ale skoro by som sa stavil, že existuje aj nejaké veľmi jednoduché tvrdenie založené na klasickej geometrii :-) Nájdete ho?

Poznámka 14.6.: Zdá sa, že môže platiť aj nasledovné tvrdenie; vedeli by ste nájsť dôkaz?

Majme trojuholník ABC s navzájom rôznymi dĺžkami strán. Z trojice vrcholov A,B,C nazveme antimedoidom ten, ktorý má maximálny súčet vzdialeností od zvyšných dvoch vrcholov. Je nutne antimedoid vzdialenejší od ťažiska trojuholníka ABC než zvyšné dva vrcholy?

Osobnosti slovenskej matematiky: Pavel Brunovský

(Po kliknutí na obrázok sa oznam zobrazí v plnom rozlíšení.)

Mnohí z nás si neuvedomujú, že viacerí slovenskí matematici sú medzinárodne uznávanými osobnosťami a ich výsledky sa stali v matematike pojmami. Rovnako ako národ by mal poznať svoju históriu, tak aj my, študenti matematiky a matematici ako takí, by sme mali poznať, čo svetu dala slovenská matematika.

Cyklus prednášok Osobnosti slovenskej matematiky je organizovaný študentmi Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave. Jej cieľom je priblížiť študentom ako aj odbornej verejnosti najväčšie prínosy slovenských matematikov. Každá prednáška je zameraná na dielo jednej osobnosti slovenskej matematiky, ktorá prednášku aj vedie. Dôvodom takej to formy je možnosť týchto ľudí spoznať aj osobne. Prednášky majú populárnu formu a sú koncipované tak, aby im porozumeli aj študenti a širšia odborná verejnosť.

Študenti Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK

Nebude matika! Pôjdeme do divadla ...

Konečne. Všetko nasvedčuje tomu, že sa konečne našiel hrdina, ktorý sa nebojí otvorene povedať, že
"matematika plne prispieva k znižovaniu IQ študentov a populácie Slovenska, vedie k vytváraniu bezmennej, plastickej masy, ktorá nepozná žiadne kultúrne hodnoty a žije ako limitovaná a ohlúpnutá skupina bez znalostí a záujmu o reálne potreby človeka." (Prečítajte si tento blogový príspevok.)

Reálnou potrebou človeka je totiž vedieť obsluhovať zákazníkov zahraničných reštaurácií v piatich svetových jazykoch a spisovne sa pozhovárať o futbale a o Hviezdoslavovi pri práci za pásom výrobnej linky. Za týmto účelom naozaj neexistuje lepšia voľba, než je novou školskou reformou v posledných dvoch ročníkoch gymnázií stanoviť ako jediné povinné predmety dva cudzie jazyky, slovenčinu a samozrejme telesnú výchovu.

A teraz vážne.

Jazyky sú síce veľmi dôležitý nástroj na komunikovanie myšlienok, ale na to, aby nám boli užitočné, musíme byť schopní v prvom rade produkovať tie myšlienky (možno s výnimkou divadelníctva). Nemá zmysel vedieť spisovne a plynule rozprávať v cudzom jazyku - a ani v slovenčine - bez toho, aby sme mali o čom rozprávať. Dovolím si tvrdiť, že väčšina ľudí, ktorí pracujú duševne a pritom tvorivo (okrem umelcov) využíva, alebo by s výhodou mohla využívať v nejakej forme matematiku, prípadne štatistiku (ktorá je ale tiež v podstate matematikou) - od statikov, strojníkov, farmaceutov, ekonómov, programátorov až po meteorológov a psychológov.

Aby sme sa rozumeli; samozrejme nie som a priori proti reforme osnov matematiky a v zásade ani proti tomu, aby sa matematiku nemuseli učiť žiaci, ktorí na to jednoducho nemajú. Ale ak má byť matematika pre študentov posledných dvoch ročníkov gymnázií nepovinná, tak s podmienkou, že naozaj každý bude mať zo zákona možnosť si ju zvoliť - a to v primeranom rozsahu.

ARRA 2007

Krátko po zverejnení nelichotivého vysvedčenia slovenského stredného školstva v podobe správy PISA 2006, máme tu vysvedčenie pre naše vysoké školstvo a vedu od agentúry ARRA. Ani tentokrát sa nebudem púšťať do dlhých hodnotiacich úvah (hoci mi nedá nepripomenúť, že naša fakulta dopadla ako obvykle výborne; teda aspoň na slovenské pomery). Zameriam sa len na jeden možno trochu neopatrne formulovaný výrok uverejnený v článku SME pochádzajúci od nášho bývalého rektora profesora Ferdinanda Devínskeho:

"Ak odrátame akadémiu, tak špičkových vedcov máme na vysokých školách 35 z 1 500 profesorov. To je 2,3 percenta. Toľko ľudí je nejakým spôsobom schopných konkurovať vede vo svete alebo Európe. To je desivé číslo."

Kde sa zobralo číslo 35? Čo to znamená "konkurovať vede vo svete alebo Európe"? A kto sú vlastne tí naši super vedci? Z hodnotiacej správy sa dozvieme odpoveď len na prvú z týchto otázok a aj to iba čiastočnú. Kľúčovým ukazovateľom je pritom takzvaný Hirschov index publikačnej činnosti.

Globálny prínos práce vedca je príliš široký a vágny pojem na to, aby ho bolo možné dokonale kvantifikovať jedným číslom; často sa preto vedú vzrušené debaty o používaní toho či onoho kritéria. V tomto smere je Hirschov index (h-index) populárnou novinkou a jeho cieľom je zohľadniť ako kvantitu, tak aj kvalitu publikačnej činnosti. Hirschov index vedca V vypočítame ako maximálne n, pre ktoré platí: V má aspoň n publikácií, z ktorých každá má aspoň n citácií. (Podotýkam, že ARRA, celkom správne, neberie do úvahy samocitácie.) Výhody a nevýhody h-indexu sa podľa mňa celkom vyvážene popisujú na stránkach wikipedie.

Takže ako rozhodovala ARRA o tom, kto je špičkový vedec? Podľa ARRA je špičkový vedec ten, kto má nadlimitný Hirschov index, pričom limitný index je rôzny pre rôzne vedné odbory. Extrémnymi prípadmi sú na jednej strane matematika, kde je limitný h-index 6 a na druhej strane biológia, ktorá má limitný h-index 18. Hodnotiaca správa však neudáva akým spôsobom k týmto limitným indexom prišla, len informuje, že jedným z kritérií je priemerný počet citácii jednej práce v danom vednom odbore. (Napríklad matematika ako taká má priemerný počet citácií na jednu prácu 2,77, zatiaľčo biológia ich má až 15,67, teda jednoduchý zaokrúhlený konštantný násobok to nebude.) Súhlasil by som s takouto definíciou "špičkového vedca", avšak je pre mňa veľkou záhadou, prečo musí mať napríklad biológ h-index aspoň 18, aby bol "nejakým spôsobom schopný konkurovať vede vo svete alebo Európe". Aké sú dôvody myslieť si, že biológ s h-indexom povedzme 10 medzinárodnej konkurencie nie je schopný? Aký je vlastne h-index pre "priemerného" biológa vo svete a v Európe?

Samozrejme, nijako nenapádam aktivitu ARRA vyselektovať najlepších vedcov; naopak, veľmi to vítam a to aj napriek tomu, že akákoľvek kvantifikácia vedeckej práce bude niekoho nespravodlivo znevýhodňovať a iného nie celkom zaslúžene zvýhodňovať (napríklad toho, koho primárnou motiváciou je dosiahnutie vysokej hodnoty špecifického kvantitatívneho ukazovateľa). Nakoniec, medzi špičkovými slovenskými vedcami je 12 matematikov, z ktorých viacerých určite osobne poznám, a ktorých prácu si veľmi vážim.

Skrátka zoznam tých najlepších slovenských vedcov by som naozaj veľmi uvítal - mohol by byť jedným z podnetov pre zlepšenie situácie v našej vede. Ale na druhej strane je namieste byť trochu opatrnejší vo formuláciách, ktoré marginalizujú medzinárodný význam publikačnej aktivity všetkých ostatných. Naviac, bolo by vhodné upozorňovať na to, aké mimoriadne ťažké je vyšvihnúť sa medzi svetovú špičku v našich skromných podmienkach.

Poznámka 7.12.: Predpokladám, že limitné indexy boli v ARRA stanovené nejakou premyslenou (hoci nezverejnenou) metódou, ale ak by som mal ja zvoliť limitný h-index pre "špičkového slovenského matematika", tak by som ho založil na nejakej dobre definovanej skupine vedcov, napríklad všetkých matematikov z nejakej univerzity svetového významu. Za limitný h-index by som zobral medián h-indexov v tejto skupine ľudí (priemer by asi nebol najvhodnejší). Takýmto postupom by bol špičkový slovenský matematik skrátka ten, ktorý by patril k lepšej polovici aj na danej "svetovej" univerzite. Presne takto isto by som volil limitné indexy pre ostatné vedecké odbory, čím by vznikla do istej miery naozaj spravodlivá báza na medziodborové porovnávanie. (Inou možnosťou je zaradiť medzi špičkového slovenského vedca takého, ktorý je povedzme medzi prvými 5000 vedcami podľa h-indexu vedcov z celého sveta v danej oblasti.)

Poznámka 8.12. A: Dnes sa na SME objavil informatívnejší a opatrnejšie formulovaný článok o špičkových profesoroch, v ktorom sa už napríklad spomína, že "máme veľa aktívnych a výnimočných docentov" :-) Základný problém, t.j. ako dospeli v ARRA k limitným h-indexom, sa však ani v tomto článku neobjasňuje. Akú výpovednú hodnotu má mať údaj (napríklad "35 z 1500") založený na nezdôvodnených parametroch, ktoré sa v princípe dajú nastaviť tak, aby sme dosiahli akýkoľvek vopred požadovaný výsledok?

A ešte jedna poznámka: ARRA zabudla zverejniť na akom mieste v Európe a na svete je slovenská veda v počte publikácií v špičkových časopisoch v pomere k financiám, ktoré sa u nás vynakladajú na vedu. V tomto ukazovateli by Slovensko bezpochyby bolo v absolútnej svetovej špičke ;-)

Poznámka 8.12. B: ARRA už dávnejšie zverejnila menný zoznam najlepších slovenských chemikov (h-index aspoň 15) a fyzikov (h-index aspoň 13). V súvislosti s ním je veľmi zaujímavý zoznam približne 500 najlepších svetových chemikov zoradených podľa h-indexu. Každý z nich má h-index aspoň 50 ...

PISA 2006

Včera prebehla správami zaujímavá informácia o výsledkoch testu PISA 2006, ktorého cieľom bolo zmerať školské vedomosti a schopnosti 15 ročných mládežníkov z krajín OECD (pozri napr. článok SME). Nebudem tu analyzovať príčiny neúspechu Slovenska a úspechu Fínska; tie chápu takmer všetci (pozri napríklad článok z Izraela), bohužiaľ okrem tých ľudí, ktorí majú/mali reálnu moc naše školstvo postaviť na nohy.

Upozorniť by som však chcel na stránku projektu PISA 2006, na ktorej je možné získať sumárne štatistiky o odpovediach na jednotlivé otázky vo všetkých zúčastnených krajinách. Zaujíma Vás napríklad, či v teste z matematiky dopadli na Slovensku lepšie chlapci alebo dievčatá? A čo by ste povedali: V čítaní dopadli lepšie tí, ktorí majú doma umývačku riadu, alebo tí, ktorí umývačku nemajú? Na uvedenej stránke sa dajú získať tieto a mnoho iných zábavných aj poučných štatistík.

Štatistická poznámka: Dôležitým údajom v tabuľkách databázy PISA je číslo SE (standard error), pomocou ktorého je možné počítať intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu μ daného ukazovateľa v rámci celej populácie. Napríklad ak je priemerný výsledok (ktorý je iba odhadom hodnoty μ) v nejakej kategórii 454 bodov a príslušná SE je 6,07, tak 95 percentný interval spoľahlivosti pre hodnotu μ je 454 plus mínus 1,96 krát 6,07, t.j. približne 442 až 466. (Konštanta 1,96 pochádza z normálneho rozdelenia.)

Na presné pochopenie intervalov spoľahlivosti je vhodné absolvovať prednášku zo základov pravdepodobnosti a štatistiky, ale zhruba povedané čím väčšie SE, tým nespoľahlivejší je daný priemer nameraných hodnôt ako indikátor skutočnosti. Ako "rule of thumb" môžeme uvažovať takto: je skoro isté, že globálny priemer μ je v rozmedzí výberový priemer +- 2*SE.

Poznámka 6.12. A: Ohľadom výsledkov PISA 2006 sa rozbehla intenzívna diskusia (pozri napríklad nový článok na SME). Musím povedať, že ma zaráža, že je vôbec niekto našimi výsledkami prekvapený. Čo nadpriemerné sa na Slovensku robí v školstve, alebo pre školstvo, aby sme mohli dosiahnuť nadpriemerné výsledky? Podľa mňa nenájdete ani jeden reálne podložený argument, na základe ktorého by sme mali očakávať lepší výsledok.

Ak chce ministerstvo školstva vyvodiť z daného prieskumu podložené závery, mali by urobiť dôkladnú štatistickú analýzu dát PISA 2006, ktorá by odhalila tie charakteristiky školských systémov, ktoré najviac ovplyvňujú výsledok. Toho sa však zrejme nedočkáme pretože vážne hrozí, že ako absolútne rozhodujúci by sa ukázal politicky veľmi "nepríjemný" faktor, ako napríklad percento HDP idúce na školstvo.

Poznámka 6.12. B: Zbežne som si prezrel výber zadaní testov z matematiky a nadobudol som dojem, že viem prečo naši žiaci neuspeli. Totiž veľa príkladov bolo zameraných na to, ako rozumným spôsobom použiť matematické vedomostí v elementárnych, no naozaj reálnych situáciách a nie na mechanické dosadzovanie do vzorcov. V teste sa vyskytujú napríklad úlohy odhadnúť výšku budovy, kriticky zhodnotiť údaje prezentované grafom, alebo posúdiť výhodnosť nákupu pizze. Skrátka na úspešné zvládnutie takýchto testov je nutné dobre rozumieť jednoduchým matematickým princípom a pri ich aplikovaní, prekvapivo, premýšľať. Naopak, je skoro zbytočné vedieť naspamäť komplikované vzorce a úzke formálne schémy, kde sa tieto vzorce dajú mechanicky aplikovať.