K základom teórie pravdepodobnosti

Nasledovný text som si napísal v máji 2010 ako stručnú prípravu na scenár relácie "Nočná pyramída" Slovenského rozhlasu. Pri vysielaní sme sa však scenára skoro vôbec nedržali, a tak som zo svojej prípravy použil len málo. Tento text zverejňujem, lebo by možno bola škoda, keby na mojom harddisku iba zapadol prachom :)

Kto je zakladateľ teórie pravdepodobnosti a aké má miesto táto disciplína v matematike?

Prvé úvahy o pravdepodobnosti začali ľudia rozvíjať už veľmi dávno, minimálne odkedy hrávajú hazardné hry. Pokiaľ viem, tak prvé uchované zmienky o matematickom prístupe k pravdepodobnosti, tiež v súvislosti s hazardnými hrami, možno nájsť v korešpondencii medzi Fermatom a Pascalom  okolo polovice 17. storočia. Fermata možno poznajú poslucháči v súvislosti so slávnou veľkou Fermatovou vetou a Pascala v súvislosti s Pascalovým trojuholníkom, alebo Pascalovým zákonom.

K teórii pravdepodobnosti výrazne prispeli na začiatku 18. storočia Abraham de Moivre, ktorý ako prvý študoval Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti a Jacob Bernoulli, ktorý ako prvý v istej forme formuloval zákon veľkých čísiel.  V súčasnosti používané matematické axiómy pravdepodobnosti vybudoval až v 30-tych rokoch 20. storočia Andrej Kolmogorov. V porovnaní s ostatnými matematickými disciplínami je teória pravdepodobnosti relatívne mladá.

Teória pravdepodobnosti je jednou z najdôležitejších oblastí matematiky, obzvlášť kvôli tomu, že tvorí matematický základ štatistiky. Pravdepodobnosť je časťou teórie miery, ale nejakým spôsobom súvisí s prakticky všetkými matematickými disciplínami.

Základné zákony teórie pravdepodobnosti...

Existuje veľmi presná matematická charakterizácia zákonov teórie pravdepodobnosti, ktorá zahŕňa viacero možných interpretácií pravdepodobnosti. Niektoré z týchto zákonov sú veľmi formálne, alebo založené skôr na dohode ako nutnosti, napríklad ten, že pravdepodobnosť meriame číslami medzi nulou a jednotkou, pričom pravdepodobnosť jedna znamená, že daná udalosť nastane s istotou. Najdôležitejší z týchto zákonov, zákon aditivity pravdepodobnosti, je možné vysvetliť aj neformálne. Hovorí, že pravdepodobnosť nastatia jednej udalosti spomedzi navzájom sa vylučujúcich udalostí musí byť rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Zoberme si napríklad hádzanie falošnou kockou. Nech by bola táto kocka akokoľvek nevyvážená, tak musí platiť, že pravdepodobnosť, že padne nejaké párne číslo, je rovná pravdepodobnosti, že padne dvojka, plus pravdepodobnosť, že padne štvorka, plus pravdepodobnosť, že padne šestka. Môže sa to zdať samozrejmé, ale veľa matematických zákonov je vlastne úplne samozrejmých, keď si ich človek trochu premyslí. Inak, je zaujímavé si uvedomiť, že matematik používa na narábanie s pravdepodobnosťou v podstate taký istý aparát ako na narábanie s plochami rovinných útvarov. Aditivita plochy znamená, že ak by sme nejaký útvar rozkrájali na kúsky, tak plocha pôvodného útvaru je rovná súčtu plôšok vzniknutých kúskov.

Ako môže vôbec existovať náhoda vo svete, kde platia prírodné deterministické zákony?

Náš svet je, zdá sa, zvláštnou kombináciou determinizmu a náhodnosti. Najhlbšie zákony sveta, ktoré poznáme, to znamená zákony kvantovej mechaniky, sú síce deterministické, ale deterministicky popisujú práve náhodnosť. Tieto zákony nevedia presne predpovedať čo sa stane, ale vedia v princípe presne predpovedať s akou pravdepodobnosťou sa čo stane.

Na našej makroúrovni sa síce dajú formulovať fyzikálne zákony, ktoré zdanlivo úplne jednoznačne určujú čo sa stane v budúcnosti, ale je to naozaj iba zdanlivé. Aj maličké náhodné odchýlky na mikroúrovni sa postupom času môžu zosilňovať a spôsobiť divergenciu makroskopických dejov; ide o známy efekt motýlích krídel. Takouto divergenciou dejov sa zaoberá matematická teória chaosu a dynamických systémov.

Okrem toho, zrejme aj ak by bol náš svet vo svojej podstate úplne deterministický, mala by teória pravdepodobnosti svoje opodstatnenie, pretože pravdepodobnosť môžeme použiť ako model miery našej vedomosti o javoch budúcich, ale aj o javoch minulých. Pravdepodobnosť logicky konzistentne špecifikuje ako sa mení naša miera nevedomosti pri postupnom získavaní informácie. Tomuto pohľadu na pravdepodobnosť má blízko takzvaná Bayesovská štatistika.

Načo sa táto oblasť matematiky využíva v praxi? Jej vzťahy k štatistike...

Teória pravdepodobnosti sa využíva v rôznych situáciách, napríklad na stanovenie toho, aké pravidlá lotérie zabezpečujú zisk prevádzkovateľovi, v poistnej matematike na určenie výšky poistného, v systémoch hromadnej obsluhy s cieľom povedzme zabezpečiť plynulosť prevádzky, pri určovaní spoľahlivosti systémov zložených z nespoľahlivých súčastí, alebo aj vo finančnej matematike na modelovanie vývoja rôznych ekonomických ukazovateľov a na oceňovanie finančných derivátov.

Pravdepodobnosť sa tiež vyskytuje v základoch teórie informácie a kódovania, preto je dôležitá aj pre počítačové vedy. Napríklad vyhľadávače na internete - internetový gigant Google používa na stanovenie hodnotenia stránok, takzvaný markovovský reťazec, čo je model patriaci do teórie pravdepodobnosti. Alebo ešte jeden príklad - väčšina z nás sa denne stretáva s nevyžiadanou elektronickou poštou, takzvaným spamom. No a na filtrovanie spamov sa používajú programy založené na teórii pravdepodobnosti, na takzvanom Bayesovom vzorci.

Ale najväčšie uplatnenie pravdepodobnosti je, že tvorí matematický základ štatistiky, čo je vlastne, veľmi zostručnene povedané, získavanie dôležitej informácie v podmienkach neurčitosti. Pravdepodobnosť možno chápať ako nástroj na modelovanie reálnych dejov s prvkami náhodnosti, ktorý nám umožňuje matematicky presne zdôvodniť používanie štatistických procedúr.

Aplikácie štatistiky môžeme nájsť na každom kroku; spomeniem napríklad testovanie účinnosti liečiv a vyhodnocovanie prieskumov verejnej mienky. Značná časť vedeckého výskumu, prakticky každý výskum, ktorý sa zakladá na experimentoch a modelovaní dejov s prvkami neurčitosti, používa matematickú štatistiku a sprostredkovane teóriu pravdepodobnosti. Od štatistickej mechaniky vo fyzike, až po experimentálnu psychológiu.

Vzťah medzi matematikou a logikou; v akom vzťahu sú tieto dve formálne vedy?

Matematici logiku neustále používajú, ale nie veľmi často sa nad samotnou logikou zamýšľajú. Logika je pre matematika niečo ako pravidlá hry, podobne ako v šachu (hoci na rozdiel od pravidiel šachu, iné "pravidlá matematiky", čiže inú matematickú logiku, si neviem celkom dobre predstaviť). Šachisti pravidlá vyčerpávajúco ovládajú, ale explicitne sa nad nimi nezamýšľajú; skôr sa snažia hľadať v rámci pravidiel šachové kombinácie. Napriek tomu, že pravidlá šachu aj pravidlá logiky sú jednoduché, tak existuje skoro nekonečne veľa možných prípustných šachových kombinácií a, analogicky, platných odvodení matematických tvrdení.

Možno by sa táto metafora dala potiahnuť aj trochu ďalej. Práve kvôli prísnym pravidlám nie sú v šachu prakticky nikdy spory, kto vyhral, a ani v matematike nie sú skoro nikdy spory, či je dané matematické odvodenie platné. To odlišuje matematiku od ostatných vied. Matematika prakticky nikdy neprehodnocuje to, k čomu v minulosti dospela; keď sa raz nejaké matematické tvrdenie dokáže, tak už je pravdivé navždy. (To tvrdenie bolo samozrejme pravdivé aj kedykoľvek predtým, len my sme o ňom nevedeli, alebo sme ho možno tušili, len sme si neboli úplne istí, že platí. Matematika je ako objavovanie a mapovanie fascinujúcej neznámej krajiny, ktorá existuje nezávisle na nás.) Preto sú "Euklidove základy" rovinnej geometrie úplne bez zmeny platné aj dnes po 2300 rokoch, hoci samozrejme metódy výkladu sa zmenili. A preto je v matematike, najmä v takzvanej "čistej" matematike, dnes už veľmi ťažké objavovať principiálne nové tvrdenia, ktoré by boli zaujímavé pre viac ako hŕstku špecialistov a ktoré by sa dali stručne a jasne opísať v bežnom jazyku.

Čo je pre matematika možné, čo nemožné, čo pravdepodobné a čo skutočné?

Povedal by som, že pre matematika nie je skoro nič úplne nemožné s výnimkou logicky sporných vecí, ako napríklad, že niečo existuje a súčasne neexistuje. To je možno trochu iná odpoveď, akú by ste dostali od fyzika; ten by možno povedal, že nemožné je cestovať rýchlosťou vyššou ako je rýchlosť svetla. To je síce v našom vesmíre pravda, naša fyzika to neumožňuje, ale pre matematika to principiálne nemožné nie je, lebo matematika, zdá sa, je v schopná popísať aj iný vesmír ako je ten náš.

No, predsa len sa mi ako matematikovi niektoré veci zdajú nemožné. Zdá sa mi, že je principiálne nemožné, aby existoval vesmír bez matematických objektov, aj tých najzložitejších. Ak je niekde vo vesmíre nejaká technicky veľmi vyspelá civilizácia, som si istý, že v nejakej forme pozná číslo pí, Riemannovu zeta funkciu, alebo aj ohromne komplikovaný matematický objekt s názvom "Monštrum".

Prečo sa javy vo svete dajú matematicky modelovať, prečo je možná matematizácia?

Toto je veľmi ťažká otázka, nad ktorou sa už ľudia zamýšľajú dlho, ale odpoveď nám zatiaľ uniká. Môžeme len konštatovať, že je to skrátka tak, že matematika sa ukázala ako mimoriadne účinný nástroj na popis nášho sveta. Dokonca pre fundamentálne fyzikálne teórie, akou je napríklad kvantová mechanika, by sme si bez matematiky nevedeli vôbec pomôcť, pretože kvantové javy sa vzpierajú našim predstavám a intuícii. Na prekvapenie, pre matematiku nie je popis týchto javov problém.

Zaujímavé je uvedomiť si nielen to, že fyzika (a teda značná časť celej vedy) sa zakladá na matematických postupoch, ale aj to, že naše pochopenie matematiky je fyzikou umožnené. Dá sa povedať, že náš vesmír má potenciál spoznávať sám seba. Matematika je v nejakom veľmi hlbokom zmysle súčasťou nášho sveta a zdá sa, že tvorí s fyzikou neoddeliteľný celok. Dovolím si tvrdiť, že žiadny človek tomuto vzťahu matematiky a fyziky zatiaľ dokonale neporozumel...

Membrána medzi obručami

Dve rovnaké kruhové obruče namočíme do mydlovej vody a opatrne ich od seba vzdialime. Aký tvar bude mať membrána, ktorá sa medzi nimi vytvorí?

Intuitívne sa zdá zrejmé, že membrána bude mať tvar plášťa valca, ako je to zobrazené na ilustračnom obrázku vľavo. Ale je to tak naozaj?

Túto peknú úlohu mám od otca, ktorého silnou stránkou je to, že veľmi dobre rozumie fyzike (na rozdiel od mnohých iných matematikov) a za vzorcami vidí reálny svet.

3.1.2010: Ako ste už správne napísali v komentároch, membrána medzi obručami nebude mať tvar plášťa valca; tu je dôkaz:

Vzhľadom na to, že mydlová membrána je extrémne tenká, je gravitačné pôsobenie zanedbateľne malé a jej tvar bude takmer presne zodpovedať plášťu rotačného telesa s minimálnym možným povrchom. Ako správne odhadol Vlado, úloha nájsť také teleso patrí do obasti variačného počtu a ako napísal Rasťo, výsledkom je teleso nazývané catenoid, ktoré vznikne rotáciou "reťazovky", čiže vlastne hyperbolického kosínu.

PS: Želám Vám šťastný nový rok a okrem iného veľa potešenia z nového poznania :-)

Alex Vilenkin: Many Worlds in One

Populárno-náučná kniha Alexa Vilenkina "Many Worlds in One" sa nezdržuje obohratými pesničkami z kozmológie a kvantovej mechaniky - len okrajovo sa v nej stretneme so štrbinami a strunami; relativistické dvojičky sa tu ani nemihnú. Tematickou náplňou Vilenkinovej knihy sú totiž úplne čerstvé myšlienky kozmológie, ktoré sú také fantastické, že by boli bizarné a depresívne aj pre veľkochovateľa Schördingerovych mačiek.

Viete si napríklad predstaviť fyzikálne a filozofické dôsledky predpokladu multiverza, pozostávajúceho z nekonečného počtu vesmírov, z ktorých každý má svoj náhodný počiatok v bezpríčinnej kvantovej fluktuácii vákua? A ako vlastne máme nájsť zmysel života v megavesmíre, v ktorom existuje nekonečne veľa identických kópií Zeme a čaká nás globálny výmaz akejkoľvek informácie o našej histórii?

"Many Worlds in One" je síce veľmi zaujímavá, no extrémne špekulatívna kniha vhodná pre čitateľa s triezvym pohľadom na dôsledky abstraktných matematických modelov aplikovaných ad extremum na náš konkrétny svet.

O knihe: Alex Vilenkin o svojej teórii (polhodinové audio). Rozsiahle review od Marka Troddena (profesor fyziky na Syracuse University). Ako vždy, kniha je u mňa k dispozícii na požičanie.

Multivesmír, determinizmus a náhodnosť

Hneď na začiatku by som chcel upozorniť, že nie som fyzik, takže všetky moje nasledujúce špekulácie sú len čosi ako science fiction a treba ich brať s rezervou. S veľkou rezervou.

Predstavme si, že sme na superpočítači vytvorili svet obsahujúci mysliacu bytosť B. Keďže náš umelý svet je len kusom softwaru, nie je problém vytvoriť hocikoľko jeho identických kópií. Necháme teda skopírovať tento svet dvakrát, pričom do prvej z tejto dvojice kópií pridáme bit 1 a do druhej kópie pridáme bit 0, čím vzniknú svety B1 a B0. Následne vytvoríme dve kópie každého z týchto svetov a priradíme im bity tak, aby vznikli svety B11, B10, B01 a B00. Celý tento proces rozdvojenia mnohokrát zopakujeme, čím dostaneme svety B11...11, B11...10, ... , B00...00.

Ako budú naše bytosti vnímať svoje bity? Je zrejmé, že prevažná väčšina z nich ich bude vnímať ako dlhú náhodnú postupnosť výsledkov hodov mincou a to napriek tomu, že ich svet je z nášho pohľadu tvorený úplne deterministicky. Dokonca môžeme povedať, že pre väčšinu z týchto bytostí je náhodnosť najlepší možný model reality.

Podľa "mnohosvetovej" interpretácie kvantovej mechaniky sme my sami v podobnej situácii - v megavesmíre, ktorý sa v každom okamihu štiepi na nepredstaviteľné množstvo potomkov. Z pohľadu drvivej väčšiny týchto svetov - a asi aj toho nášho - je teda pravdepodobnosť integrálnou zložkou fyzikálneho popisu pozorovaní (zdanlivo spôsobujúcich kolaps vlnovej funkcie), hoci samotné pravdepodobnostné rozdelenie výsledkov týchto pozorovaní sa môže meniť deterministicky (pozri Schrödingerovu rovnicu).

Podľa mnohosvetovej interpretácie je nielen potenciálne možná akákoľvek budúcnosť (to je v zásade pravda aj pre klasickú kodaňskú interpretáciu), ale každá z týchto budúcností aj skutočne kdesi nastáva. To znamená, že existuje aj vesmír, v ktorom sa do detailov uskutočnil pre náš vesmír fiktívny príbeh Harryho Pottera. Nieže by som tomu veril, ale v princípe teda nemusí mať megavesmír vôbec žiadne pravidlá a my len zhodou okolností žijeme v takom, v ktorom sa nejaké tie pravidlá vyskytli, povedzme tak, aby umožňovali vznik vedomia (čosi ako antropický princíp). Skutočne; môže byť vôbec fyzika pri mnohosvetovej interpretácii logicky konzistentná? Ak by sme ju totiž akceptovali, tak automaticky pripúšťame, že akýkoľvek fyzikálny model vesmíru môže byť pomýlený.

Kvalitné odkazy na web: 1) Rozhovor na s Davidom Deutschom z Oxfordu (Spiegel); 2) Článok o mnohosvetovej interpretácii a o "teste" tejto interpretácie s Maxom Tegmarkom z Princetonu (NewScientist); Všeobecne o kvantovej fyzike v ľudskej reči (New York Times).

Rudy Rucker: The Lifebox, the Seashell, and the Soul

"I come to see the study of computation as the ultimate and most fundamental form of science, even more fundamental than mathematics."
Ak nechceme vynechať žiadny zamysleniahodný výrok z tejto knihy, tak je nemožné napísať recenziu stručnejšiu ako je táto kniha samotná. Rudy Rucker, bývalý profesor informatiky a aktívny autor science-fiction, spísal vo svojom magnum opus “The Lifebox, the Seashell, and the Soul” svoje názory na všetko od kvantovej mechaniky, cez vety o neúplnosti až po ľudské vedomie a zmysel života. Jednotiacou filozofiou Rudyho pohľadu na svet je “univerzálny automatizmus”, t.j. pohľad na všetky fyzikálne aj myšlienkové procesy ako na deterministický výpočet, ktorý je schopný produkovať akúkoľvek komplexitu, no pritom je popísateľný konečným počtom pravidiel. Pre Rudyho sú najzaujímavejšie výpočty, ktoré nazýva trochu podivínsky ako „gnarly”. Výpočty tohto typu sú nepredvídateľné, avšak vykazujú určitú štrukturovanosť, podobne, ako produkuje napríklad celulárny automat s pravidlom 30. Avšak viac ako kritický postoj vedca, cítiť z knihy autora science-fiction. Nadšený metaforou sa Rudy púšťa do odvodzovania často neprimerane ďalekosiahlych záverov. Napriek tomu som veľmi rád, že som si túto knihu kúpil a prečítal, pretože ma naučila dívať sa na niektoré veci z nového a veľmi zaujímavého "výpočtového" pohľadu, prípadne ma prinútila precíznejšie si zdôvodniť môj vlastný odlišný postoj.

Kľúčové slová: Turing machine, Conway's game of life, Post’s problem, Gödel’s incompleteness theorems, Mandelbort set, Zipf’s law, Wolfram’s New kind of Science

Poznámka: Pozri tiež príspevok "Rudyho ontológie".