K základom teórie pravdepodobnosti

Nasledovný text som si napísal v máji 2010 ako stručnú prípravu na scenár relácie "Nočná pyramída" Slovenského rozhlasu. Pri vysielaní sme sa však scenára skoro vôbec nedržali, a tak som zo svojej prípravy použil len málo. Tento text zverejňujem, lebo by možno bola škoda, keby na mojom harddisku iba zapadol prachom :)

Kto je zakladateľ teórie pravdepodobnosti a aké má miesto táto disciplína v matematike?

Prvé úvahy o pravdepodobnosti začali ľudia rozvíjať už veľmi dávno, minimálne odkedy hrávajú hazardné hry. Pokiaľ viem, tak prvé uchované zmienky o matematickom prístupe k pravdepodobnosti, tiež v súvislosti s hazardnými hrami, možno nájsť v korešpondencii medzi Fermatom a Pascalom  okolo polovice 17. storočia. Fermata možno poznajú poslucháči v súvislosti so slávnou veľkou Fermatovou vetou a Pascala v súvislosti s Pascalovým trojuholníkom, alebo Pascalovým zákonom.

K teórii pravdepodobnosti výrazne prispeli na začiatku 18. storočia Abraham de Moivre, ktorý ako prvý študoval Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti a Jacob Bernoulli, ktorý ako prvý v istej forme formuloval zákon veľkých čísiel.  V súčasnosti používané matematické axiómy pravdepodobnosti vybudoval až v 30-tych rokoch 20. storočia Andrej Kolmogorov. V porovnaní s ostatnými matematickými disciplínami je teória pravdepodobnosti relatívne mladá.

Teória pravdepodobnosti je jednou z najdôležitejších oblastí matematiky, obzvlášť kvôli tomu, že tvorí matematický základ štatistiky. Pravdepodobnosť je časťou teórie miery, ale nejakým spôsobom súvisí s prakticky všetkými matematickými disciplínami.

Základné zákony teórie pravdepodobnosti...

Existuje veľmi presná matematická charakterizácia zákonov teórie pravdepodobnosti, ktorá zahŕňa viacero možných interpretácií pravdepodobnosti. Niektoré z týchto zákonov sú veľmi formálne, alebo založené skôr na dohode ako nutnosti, napríklad ten, že pravdepodobnosť meriame číslami medzi nulou a jednotkou, pričom pravdepodobnosť jedna znamená, že daná udalosť nastane s istotou. Najdôležitejší z týchto zákonov, zákon aditivity pravdepodobnosti, je možné vysvetliť aj neformálne. Hovorí, že pravdepodobnosť nastatia jednej udalosti spomedzi navzájom sa vylučujúcich udalostí musí byť rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Zoberme si napríklad hádzanie falošnou kockou. Nech by bola táto kocka akokoľvek nevyvážená, tak musí platiť, že pravdepodobnosť, že padne nejaké párne číslo, je rovná pravdepodobnosti, že padne dvojka, plus pravdepodobnosť, že padne štvorka, plus pravdepodobnosť, že padne šestka. Môže sa to zdať samozrejmé, ale veľa matematických zákonov je vlastne úplne samozrejmých, keď si ich človek trochu premyslí. Inak, je zaujímavé si uvedomiť, že matematik používa na narábanie s pravdepodobnosťou v podstate taký istý aparát ako na narábanie s plochami rovinných útvarov. Aditivita plochy znamená, že ak by sme nejaký útvar rozkrájali na kúsky, tak plocha pôvodného útvaru je rovná súčtu plôšok vzniknutých kúskov.

Ako môže vôbec existovať náhoda vo svete, kde platia prírodné deterministické zákony?

Náš svet je, zdá sa, zvláštnou kombináciou determinizmu a náhodnosti. Najhlbšie zákony sveta, ktoré poznáme, to znamená zákony kvantovej mechaniky, sú síce deterministické, ale deterministicky popisujú práve náhodnosť. Tieto zákony nevedia presne predpovedať čo sa stane, ale vedia v princípe presne predpovedať s akou pravdepodobnosťou sa čo stane.

Na našej makroúrovni sa síce dajú formulovať fyzikálne zákony, ktoré zdanlivo úplne jednoznačne určujú čo sa stane v budúcnosti, ale je to naozaj iba zdanlivé. Aj maličké náhodné odchýlky na mikroúrovni sa postupom času môžu zosilňovať a spôsobiť divergenciu makroskopických dejov; ide o známy efekt motýlích krídel. Takouto divergenciou dejov sa zaoberá matematická teória chaosu a dynamických systémov.

Okrem toho, zrejme aj ak by bol náš svet vo svojej podstate úplne deterministický, mala by teória pravdepodobnosti svoje opodstatnenie, pretože pravdepodobnosť môžeme použiť ako model miery našej vedomosti o javoch budúcich, ale aj o javoch minulých. Pravdepodobnosť logicky konzistentne špecifikuje ako sa mení naša miera nevedomosti pri postupnom získavaní informácie. Tomuto pohľadu na pravdepodobnosť má blízko takzvaná Bayesovská štatistika.

Načo sa táto oblasť matematiky využíva v praxi? Jej vzťahy k štatistike...

Teória pravdepodobnosti sa využíva v rôznych situáciách, napríklad na stanovenie toho, aké pravidlá lotérie zabezpečujú zisk prevádzkovateľovi, v poistnej matematike na určenie výšky poistného, v systémoch hromadnej obsluhy s cieľom povedzme zabezpečiť plynulosť prevádzky, pri určovaní spoľahlivosti systémov zložených z nespoľahlivých súčastí, alebo aj vo finančnej matematike na modelovanie vývoja rôznych ekonomických ukazovateľov a na oceňovanie finančných derivátov.

Pravdepodobnosť sa tiež vyskytuje v základoch teórie informácie a kódovania, preto je dôležitá aj pre počítačové vedy. Napríklad vyhľadávače na internete - internetový gigant Google používa na stanovenie hodnotenia stránok, takzvaný markovovský reťazec, čo je model patriaci do teórie pravdepodobnosti. Alebo ešte jeden príklad - väčšina z nás sa denne stretáva s nevyžiadanou elektronickou poštou, takzvaným spamom. No a na filtrovanie spamov sa používajú programy založené na teórii pravdepodobnosti, na takzvanom Bayesovom vzorci.

Ale najväčšie uplatnenie pravdepodobnosti je, že tvorí matematický základ štatistiky, čo je vlastne, veľmi zostručnene povedané, získavanie dôležitej informácie v podmienkach neurčitosti. Pravdepodobnosť možno chápať ako nástroj na modelovanie reálnych dejov s prvkami náhodnosti, ktorý nám umožňuje matematicky presne zdôvodniť používanie štatistických procedúr.

Aplikácie štatistiky môžeme nájsť na každom kroku; spomeniem napríklad testovanie účinnosti liečiv a vyhodnocovanie prieskumov verejnej mienky. Značná časť vedeckého výskumu, prakticky každý výskum, ktorý sa zakladá na experimentoch a modelovaní dejov s prvkami neurčitosti, používa matematickú štatistiku a sprostredkovane teóriu pravdepodobnosti. Od štatistickej mechaniky vo fyzike, až po experimentálnu psychológiu.

Vzťah medzi matematikou a logikou; v akom vzťahu sú tieto dve formálne vedy?

Matematici logiku neustále používajú, ale nie veľmi často sa nad samotnou logikou zamýšľajú. Logika je pre matematika niečo ako pravidlá hry, podobne ako v šachu (hoci na rozdiel od pravidiel šachu, iné "pravidlá matematiky", čiže inú matematickú logiku, si neviem celkom dobre predstaviť). Šachisti pravidlá vyčerpávajúco ovládajú, ale explicitne sa nad nimi nezamýšľajú; skôr sa snažia hľadať v rámci pravidiel šachové kombinácie. Napriek tomu, že pravidlá šachu aj pravidlá logiky sú jednoduché, tak existuje skoro nekonečne veľa možných prípustných šachových kombinácií a, analogicky, platných odvodení matematických tvrdení.

Možno by sa táto metafora dala potiahnuť aj trochu ďalej. Práve kvôli prísnym pravidlám nie sú v šachu prakticky nikdy spory, kto vyhral, a ani v matematike nie sú skoro nikdy spory, či je dané matematické odvodenie platné. To odlišuje matematiku od ostatných vied. Matematika prakticky nikdy neprehodnocuje to, k čomu v minulosti dospela; keď sa raz nejaké matematické tvrdenie dokáže, tak už je pravdivé navždy. (To tvrdenie bolo samozrejme pravdivé aj kedykoľvek predtým, len my sme o ňom nevedeli, alebo sme ho možno tušili, len sme si neboli úplne istí, že platí. Matematika je ako objavovanie a mapovanie fascinujúcej neznámej krajiny, ktorá existuje nezávisle na nás.) Preto sú "Euklidove základy" rovinnej geometrie úplne bez zmeny platné aj dnes po 2300 rokoch, hoci samozrejme metódy výkladu sa zmenili. A preto je v matematike, najmä v takzvanej "čistej" matematike, dnes už veľmi ťažké objavovať principiálne nové tvrdenia, ktoré by boli zaujímavé pre viac ako hŕstku špecialistov a ktoré by sa dali stručne a jasne opísať v bežnom jazyku.

Čo je pre matematika možné, čo nemožné, čo pravdepodobné a čo skutočné?

Povedal by som, že pre matematika nie je skoro nič úplne nemožné s výnimkou logicky sporných vecí, ako napríklad, že niečo existuje a súčasne neexistuje. To je možno trochu iná odpoveď, akú by ste dostali od fyzika; ten by možno povedal, že nemožné je cestovať rýchlosťou vyššou ako je rýchlosť svetla. To je síce v našom vesmíre pravda, naša fyzika to neumožňuje, ale pre matematika to principiálne nemožné nie je, lebo matematika, zdá sa, je v schopná popísať aj iný vesmír ako je ten náš.

No, predsa len sa mi ako matematikovi niektoré veci zdajú nemožné. Zdá sa mi, že je principiálne nemožné, aby existoval vesmír bez matematických objektov, aj tých najzložitejších. Ak je niekde vo vesmíre nejaká technicky veľmi vyspelá civilizácia, som si istý, že v nejakej forme pozná číslo pí, Riemannovu zeta funkciu, alebo aj ohromne komplikovaný matematický objekt s názvom "Monštrum".

Prečo sa javy vo svete dajú matematicky modelovať, prečo je možná matematizácia?

Toto je veľmi ťažká otázka, nad ktorou sa už ľudia zamýšľajú dlho, ale odpoveď nám zatiaľ uniká. Môžeme len konštatovať, že je to skrátka tak, že matematika sa ukázala ako mimoriadne účinný nástroj na popis nášho sveta. Dokonca pre fundamentálne fyzikálne teórie, akou je napríklad kvantová mechanika, by sme si bez matematiky nevedeli vôbec pomôcť, pretože kvantové javy sa vzpierajú našim predstavám a intuícii. Na prekvapenie, pre matematiku nie je popis týchto javov problém.

Zaujímavé je uvedomiť si nielen to, že fyzika (a teda značná časť celej vedy) sa zakladá na matematických postupoch, ale aj to, že naše pochopenie matematiky je fyzikou umožnené. Dá sa povedať, že náš vesmír má potenciál spoznávať sám seba. Matematika je v nejakom veľmi hlbokom zmysle súčasťou nášho sveta a zdá sa, že tvorí s fyzikou neoddeliteľný celok. Dovolím si tvrdiť, že žiadny človek tomuto vzťahu matematiky a fyziky zatiaľ dokonale neporozumel...

Haruki Murakami: Kafka on the Shore

Je zbytočné, aby som tu podrobne analyzoval Murakamiho bestseller "Kafka on the shore". Totiž, nalejme si čistého vína, akokoľvek dlho by som sa snažil, tak pre Vás nevyprodukujem nič lepšie, než je jednoduchý odkaz na recenziu napísanú Johnom Updikom^†. Čo však môže byť prínosom tohto príspevku je popis mojich subjektívnych myšlienok, ktorých som sa pri čítaní tejto knihy nevedel zbaviť; popis výsledku interakcie Murakamiho emotívnej prózy a mojej cvičenej, často zámerne chladnej racionality.

Knihy plné metafyzických úvah, mystiky a metafor sú založené na tom, že my ľudia sme v zásade veľmi podobní^‡. Žijeme však v dobe zmien dotýkajúcich sa podstaty nášho bytia, v dobe, ktorá celkom určite onedlho spôsobí zmenu nášho zmyslového vnímania a priestoru mentálnych stavov.

Budú vôbec naši vzdialení potomkovia schopní stotožniť sa s našimi emóciami? Budú schopní pochopiť našu iracionalitu, naše "emotívne qualia", čiže čosi, čo sa nedá odmerať, zapísať a objektívne študovať, niečo, čo je natoľko subjektívne, že sa dá len zažiť? Budú súčasné umelecké diela v ľuďoch evokovať aj čosi iné ako množstvo faktov a dedukcií, prípadne myšlienok úplne nekompatibilných s našim archaickým wetwarom?

Ako sa domnievajú niektorí futurológovia, možno žijeme v záverečnom štádiu doby klasickej smrteľnosti. Po explozívnom náraste našich vedomostí sa možno už za niekoľko desiatok rokov bude počítať očakávaná doba ľudského života na storočia; za niekoľko desiatok rokov, čo je z hľadiska mnohotisícročnej doby existencie ľudstva ako nešťastná smrť v okamihu tesne pred otvorením brány do raja. Sú tu však naše archaické emotívne qualia, pocity viazané na náš svet tu a teraz, ktoré sú z hľadiska vývoja ľudstva výnimočné a neopakovateľné. A to aj preto, že je tu každý z nás len krátko.

---

^†Môžem však dodať, že slovná zásoba potrebná na plynulé čítanie je tejto knihy je malá, teda aspoň v porovnaní s väčšinou iných kníh anglicky písanej beletrie. Samozrejme, aj túto knihu Vám rád požičiam; stačí sa zastaviť u mňa v kancelárii.

^‡Takmer každý semester opakujem jeden klasický príklad z teórie pravdepodobnosti, pričom pred určitým krokom sa zakaždým zastavím a spýtam sa študentov na jeden technický detail. Skoro vždy dostanem tú istú odpoveď, ktorá je ... nesprávna. Jedná sa pritom o skutočnú matematickú banalitu. Ľudia sú si skrátka podobní aj opakovaním rovnakých chýb.

Virtuálny Da Vinciho kód

Určite ste si aj vy už mnohokrát vypočuli nasledovnú otázku: "Ako je možné, že taká v podstate priemerná kniha ako Da Vinciho kód sa stala jedným z najväčších bestsellerov všetkých čias?" Dôvodov je samozrejme veľmi veľa: niektorí ich vidia v reklame, ďalší v kontroverznej téme a niektorí v napínavom deji. Avšak masívnu reklamu, kontroverznú tému (niektoré dokonca presne tú istú) a napínavý dej malo aj veľa iných titulov, no napriek tomu sa žiadnemu z nich nepodarilo dosiahnuť takú predajnosť. Matematik má nasledovné vysvetlenie: "Success breeds success", a.k.a. Matúšov efekt.

Predstavme si nasledovný hypotetický model predaja kníh vo virtuálnom kníhkupectve: Uvažujme, že kníhkupectvo predáva K titulov, ktoré sa nijako nelíšia svojou kvalitou. Každý z N zákazníkov, ktorý sa zastaví v našom kníhkupectve, si kúpi jednu knihu. Na základe čoho si náš zákazník vyberie knihu, keď sú všetky rovnako dobré? Tu svoju úlohu zohráva samozrejme náhoda ale taktiež popularita jednotlivých titulov vyjadrená objemom doterajšieho predaja.

Predpokladajme teda, že prvý zákazník si vyberie svoju knihu úplne náhodne a každý ďalší si kúpi knihu k s pravdepodobnosťou

kde i je poradie zákazníka (i=2,...,N), h_k,i znamená koľko kusov knihy k sa dosiaľ predalo a α je index, ktorý vyjadruje do akej miery je predajnosť ovplyvnená popularitou.

Napríklad ak α=0, tak počet predaných výtlačkov jednotlivých titulov nemá žiadny vplyv na pravdepodobnosť výberu novej zakúpenej knihy, t.j. každý zákazník si vyberie tú svoju knihu úplne nezávisle na tom, čo si vybrali zákazníci pred ním. Opačný extrém je α=1; v tomto prípade si zákazníci vyberajú tituly s pravdepodobnosťou priamo úmernou počtu dosiaľ predaných kusov jednotlivých titulov. Prípad α=0,5 zodpovedá zhruba nasledovnému správaniu sa zákazníkov: každý si hodí mincou; ak mu padne hlava, vyberie si jednu knihu úplne nezávisle na tom, ako sa jednotlivé tituly predávajú a ak mu padne znak, rozhodnuje sa medzi titulmi úplne na základe ich doterajšej predávanosti.

Nebudeme sa snažiť o (pomerne komplikovaný) výpočet teoretických charakteristík tohoto modelu. Dostatočnú predstavu o jeho správaní nám môže poskytnúť simulácia. Naprogramoval som si krátky programík v R-ku a spustil som ho s počtom kníh K=1000 a počtom nákupov N=milión postupne pre hodnoty α=0,1; 0,5 a 0,9. Výsledky sú znázornené na nasledovnom obrázku:


(Všimnite si, že zvislá os, ktorá vyjadruje počet predaných kusov jednotlivých titulov, je v logaritmickej škále!) V prípade α=0,1 a taktiež ešte aj v prípade α=0,5 sa počet predaných výtlačkov každého titulu pohybuje okolo 1000 kusov. Čo sa však stane v prípade, keď α=0,9, t.j. ak pri rozhodovaní zákazníkov výrazne dominuje popularita jednotlivých titulov? Jeden šťastný titul, svojou kvalitou úplne rovnaký ako 999 zvyšných titulov, sa v našej simulácii predal v počte presahujúcom 200000 kusov! Je to náš virtuálny Da Vinciho kód.

Poznámka: Samozrejme, že náš model je veľmi zjednodušený. Podľa môjho názoru je však užitočnejší zjednodušený a v mnohom nerealistický exaktný matematický model výskytu "čiernych labutí", než žiadny model.

Smerujeme k individualizovanej karme článkov?

Otváram si blog.sme a vidím, že za posledný deň pribudlo vyše stovky nových príspevkov. Všetky sa samozrejme nedajú prečítať; dokonca len prejsť názvami je pomerne zdĺhavé. Rozmýšľam, ako si mám vybrať článok, ktorému obetujem svoj čas a nádej vkladám do článkov pod hlavičkou "Top karma". Ale chyba lávky. Články s top karmou určite zaujmú veľa ľudí, niektoré sa naozaj príjemne čítajú, ale žiadny z nich nie je presne to čo hľadám.

Je jasné, že nie každého zaujíma to, čo je vo všeobecnosti najpopulárnejšie. Ja osobne by som chcel čítať predovšetkým príspevky, ktoré viac stavajú na poznaní ako na emóciách. (Všimnite si, že emócie akoby boli nutnou podmienkou na dosiahnutie masovej obľúbenosti a to nielen na blogoch.) Kontroverzné a umelecky ladené blogové príspevky sú obvykle v poriadku, nemám nič proti ich publikovaniu, ale aj kockáč ako ja je predsa človek, ktorý má právo na to svoje počítaníčko. Či nie?

Riešenie by mohlo byť v inom systéme hodnotenia článkov; v čomsi, čo pracovne nazvem individualizovaná karma, skrátene i-karma, čiže hodnotenie príspevkov ušité na mieru každému užívateľovi zvlášť.

Predstavme si napríklad, že každý registrovaný užívateľ môže hodnotiť článok na stupnici od 0 do 10 bodov. Ja sám tiež budem články takto hodnotiť a po istom čase bude možné určiť, ktorí ľudia majú podobný vkus ako ja - totiž tí, ktorých hodnotenia článkov sa "veľmi nelíšia" od mojich hodnotení. Takýmto spôsobom bude teda možné vypočítať číselnú odchýlku, akúsi nepodobnosť, či "vzdialenosť vkusov" medzi dvojicami užívateľov. I-karma nejakého článku by potom mohla byť váženým priemerom hodnotení daného článku, pričom váhy by boli určené tak, že čím má niekto podobnejší vkus tomu môjmu, tým väčšiu váhu bude mať práve jeho hodnotenie článku na výpočet mojej i-karmy. Inými slovami, ak má niekto tendenciu hodnotiť články podobne ako ja, tak jeho hlas by mal mať väčší vplyv na moje rozhodnutie, či si daný článok mám prečítať, alebo nie.

Viem, že je to návrh, ktorý by bolo potrebné premyslieť do detailov; pričom niektoré sú technicky komplikované. Napríklad ma nevie napadnúť ako obísť to, že by sa musela uchovávať celá matica vzájomných vzdialeností vkusov registrovaných užívateľov, čo môže byť nielen náročné na pamäť, ale aj na vysoký výpočtový výkon spojený s priebežnou aktualizáciou údajov. Samozrejme, bolo by tiež treba vhodne navrhnúť matematickú špecifikáciu na výpočet vzájomných vzdialenosti medzi vkusom užívateľov a podobne. Som však presvedčený, že všetky tieto problémy by sa dali vyriešiť.

A ešte jedna poznámka na záver. V systéme s i-karmou (a možno aj v už existujúcich systémoch) by bolo lepšie vyzvať užívateľov na hodnotenie typu "Do akej miery ste spokojní s tým, že ste si tento článok prečítali". V súčasnosti používané výzvy zvádzajú skôr k hodnoteniu podľa miery súhlasu s obsahom, čo je prakticky nezávislé na kvalite daného článku. Vážnym rizikom systému i-karmy je totiž to, že môže viesť k vytváraniu oddelených a navzájom sa neustále vzďaľujúcich názorových klubov. Podľa mňa je však veľmi prospešná aj kultivovaná konfrontácia takých názorov, ktoré sú diametrálne odlišné.

pošli do vybrali.sme.sk

ARRA 2007

Krátko po zverejnení nelichotivého vysvedčenia slovenského stredného školstva v podobe správy PISA 2006, máme tu vysvedčenie pre naše vysoké školstvo a vedu od agentúry ARRA. Ani tentokrát sa nebudem púšťať do dlhých hodnotiacich úvah (hoci mi nedá nepripomenúť, že naša fakulta dopadla ako obvykle výborne; teda aspoň na slovenské pomery). Zameriam sa len na jeden možno trochu neopatrne formulovaný výrok uverejnený v článku SME pochádzajúci od nášho bývalého rektora profesora Ferdinanda Devínskeho:

"Ak odrátame akadémiu, tak špičkových vedcov máme na vysokých školách 35 z 1 500 profesorov. To je 2,3 percenta. Toľko ľudí je nejakým spôsobom schopných konkurovať vede vo svete alebo Európe. To je desivé číslo."

Kde sa zobralo číslo 35? Čo to znamená "konkurovať vede vo svete alebo Európe"? A kto sú vlastne tí naši super vedci? Z hodnotiacej správy sa dozvieme odpoveď len na prvú z týchto otázok a aj to iba čiastočnú. Kľúčovým ukazovateľom je pritom takzvaný Hirschov index publikačnej činnosti.

Globálny prínos práce vedca je príliš široký a vágny pojem na to, aby ho bolo možné dokonale kvantifikovať jedným číslom; často sa preto vedú vzrušené debaty o používaní toho či onoho kritéria. V tomto smere je Hirschov index (h-index) populárnou novinkou a jeho cieľom je zohľadniť ako kvantitu, tak aj kvalitu publikačnej činnosti. Hirschov index vedca V vypočítame ako maximálne n, pre ktoré platí: V má aspoň n publikácií, z ktorých každá má aspoň n citácií. (Podotýkam, že ARRA, celkom správne, neberie do úvahy samocitácie.) Výhody a nevýhody h-indexu sa podľa mňa celkom vyvážene popisujú na stránkach wikipedie.

Takže ako rozhodovala ARRA o tom, kto je špičkový vedec? Podľa ARRA je špičkový vedec ten, kto má nadlimitný Hirschov index, pričom limitný index je rôzny pre rôzne vedné odbory. Extrémnymi prípadmi sú na jednej strane matematika, kde je limitný h-index 6 a na druhej strane biológia, ktorá má limitný h-index 18. Hodnotiaca správa však neudáva akým spôsobom k týmto limitným indexom prišla, len informuje, že jedným z kritérií je priemerný počet citácii jednej práce v danom vednom odbore. (Napríklad matematika ako taká má priemerný počet citácií na jednu prácu 2,77, zatiaľčo biológia ich má až 15,67, teda jednoduchý zaokrúhlený konštantný násobok to nebude.) Súhlasil by som s takouto definíciou "špičkového vedca", avšak je pre mňa veľkou záhadou, prečo musí mať napríklad biológ h-index aspoň 18, aby bol "nejakým spôsobom schopný konkurovať vede vo svete alebo Európe". Aké sú dôvody myslieť si, že biológ s h-indexom povedzme 10 medzinárodnej konkurencie nie je schopný? Aký je vlastne h-index pre "priemerného" biológa vo svete a v Európe?

Samozrejme, nijako nenapádam aktivitu ARRA vyselektovať najlepších vedcov; naopak, veľmi to vítam a to aj napriek tomu, že akákoľvek kvantifikácia vedeckej práce bude niekoho nespravodlivo znevýhodňovať a iného nie celkom zaslúžene zvýhodňovať (napríklad toho, koho primárnou motiváciou je dosiahnutie vysokej hodnoty špecifického kvantitatívneho ukazovateľa). Nakoniec, medzi špičkovými slovenskými vedcami je 12 matematikov, z ktorých viacerých určite osobne poznám, a ktorých prácu si veľmi vážim.

Skrátka zoznam tých najlepších slovenských vedcov by som naozaj veľmi uvítal - mohol by byť jedným z podnetov pre zlepšenie situácie v našej vede. Ale na druhej strane je namieste byť trochu opatrnejší vo formuláciách, ktoré marginalizujú medzinárodný význam publikačnej aktivity všetkých ostatných. Naviac, bolo by vhodné upozorňovať na to, aké mimoriadne ťažké je vyšvihnúť sa medzi svetovú špičku v našich skromných podmienkach.

Poznámka 7.12.: Predpokladám, že limitné indexy boli v ARRA stanovené nejakou premyslenou (hoci nezverejnenou) metódou, ale ak by som mal ja zvoliť limitný h-index pre "špičkového slovenského matematika", tak by som ho založil na nejakej dobre definovanej skupine vedcov, napríklad všetkých matematikov z nejakej univerzity svetového významu. Za limitný h-index by som zobral medián h-indexov v tejto skupine ľudí (priemer by asi nebol najvhodnejší). Takýmto postupom by bol špičkový slovenský matematik skrátka ten, ktorý by patril k lepšej polovici aj na danej "svetovej" univerzite. Presne takto isto by som volil limitné indexy pre ostatné vedecké odbory, čím by vznikla do istej miery naozaj spravodlivá báza na medziodborové porovnávanie. (Inou možnosťou je zaradiť medzi špičkového slovenského vedca takého, ktorý je povedzme medzi prvými 5000 vedcami podľa h-indexu vedcov z celého sveta v danej oblasti.)

Poznámka 8.12. A: Dnes sa na SME objavil informatívnejší a opatrnejšie formulovaný článok o špičkových profesoroch, v ktorom sa už napríklad spomína, že "máme veľa aktívnych a výnimočných docentov" :-) Základný problém, t.j. ako dospeli v ARRA k limitným h-indexom, sa však ani v tomto článku neobjasňuje. Akú výpovednú hodnotu má mať údaj (napríklad "35 z 1500") založený na nezdôvodnených parametroch, ktoré sa v princípe dajú nastaviť tak, aby sme dosiahli akýkoľvek vopred požadovaný výsledok?

A ešte jedna poznámka: ARRA zabudla zverejniť na akom mieste v Európe a na svete je slovenská veda v počte publikácií v špičkových časopisoch v pomere k financiám, ktoré sa u nás vynakladajú na vedu. V tomto ukazovateli by Slovensko bezpochyby bolo v absolútnej svetovej špičke ;-)

Poznámka 8.12. B: ARRA už dávnejšie zverejnila menný zoznam najlepších slovenských chemikov (h-index aspoň 15) a fyzikov (h-index aspoň 13). V súvislosti s ním je veľmi zaujímavý zoznam približne 500 najlepších svetových chemikov zoradených podľa h-indexu. Každý z nich má h-index aspoň 50 ...

PISA 2006

Včera prebehla správami zaujímavá informácia o výsledkoch testu PISA 2006, ktorého cieľom bolo zmerať školské vedomosti a schopnosti 15 ročných mládežníkov z krajín OECD (pozri napr. článok SME). Nebudem tu analyzovať príčiny neúspechu Slovenska a úspechu Fínska; tie chápu takmer všetci (pozri napríklad článok z Izraela), bohužiaľ okrem tých ľudí, ktorí majú/mali reálnu moc naše školstvo postaviť na nohy.

Upozorniť by som však chcel na stránku projektu PISA 2006, na ktorej je možné získať sumárne štatistiky o odpovediach na jednotlivé otázky vo všetkých zúčastnených krajinách. Zaujíma Vás napríklad, či v teste z matematiky dopadli na Slovensku lepšie chlapci alebo dievčatá? A čo by ste povedali: V čítaní dopadli lepšie tí, ktorí majú doma umývačku riadu, alebo tí, ktorí umývačku nemajú? Na uvedenej stránke sa dajú získať tieto a mnoho iných zábavných aj poučných štatistík.

Štatistická poznámka: Dôležitým údajom v tabuľkách databázy PISA je číslo SE (standard error), pomocou ktorého je možné počítať intervaly spoľahlivosti pre strednú hodnotu μ daného ukazovateľa v rámci celej populácie. Napríklad ak je priemerný výsledok (ktorý je iba odhadom hodnoty μ) v nejakej kategórii 454 bodov a príslušná SE je 6,07, tak 95 percentný interval spoľahlivosti pre hodnotu μ je 454 plus mínus 1,96 krát 6,07, t.j. približne 442 až 466. (Konštanta 1,96 pochádza z normálneho rozdelenia.)

Na presné pochopenie intervalov spoľahlivosti je vhodné absolvovať prednášku zo základov pravdepodobnosti a štatistiky, ale zhruba povedané čím väčšie SE, tým nespoľahlivejší je daný priemer nameraných hodnôt ako indikátor skutočnosti. Ako "rule of thumb" môžeme uvažovať takto: je skoro isté, že globálny priemer μ je v rozmedzí výberový priemer +- 2*SE.

Poznámka 6.12. A: Ohľadom výsledkov PISA 2006 sa rozbehla intenzívna diskusia (pozri napríklad nový článok na SME). Musím povedať, že ma zaráža, že je vôbec niekto našimi výsledkami prekvapený. Čo nadpriemerné sa na Slovensku robí v školstve, alebo pre školstvo, aby sme mohli dosiahnuť nadpriemerné výsledky? Podľa mňa nenájdete ani jeden reálne podložený argument, na základe ktorého by sme mali očakávať lepší výsledok.

Ak chce ministerstvo školstva vyvodiť z daného prieskumu podložené závery, mali by urobiť dôkladnú štatistickú analýzu dát PISA 2006, ktorá by odhalila tie charakteristiky školských systémov, ktoré najviac ovplyvňujú výsledok. Toho sa však zrejme nedočkáme pretože vážne hrozí, že ako absolútne rozhodujúci by sa ukázal politicky veľmi "nepríjemný" faktor, ako napríklad percento HDP idúce na školstvo.

Poznámka 6.12. B: Zbežne som si prezrel výber zadaní testov z matematiky a nadobudol som dojem, že viem prečo naši žiaci neuspeli. Totiž veľa príkladov bolo zameraných na to, ako rozumným spôsobom použiť matematické vedomostí v elementárnych, no naozaj reálnych situáciách a nie na mechanické dosadzovanie do vzorcov. V teste sa vyskytujú napríklad úlohy odhadnúť výšku budovy, kriticky zhodnotiť údaje prezentované grafom, alebo posúdiť výhodnosť nákupu pizze. Skrátka na úspešné zvládnutie takýchto testov je nutné dobre rozumieť jednoduchým matematickým princípom a pri ich aplikovaní, prekvapivo, premýšľať. Naopak, je skoro zbytočné vedieť naspamäť komplikované vzorce a úzke formálne schémy, kde sa tieto vzorce dajú mechanicky aplikovať.

Pravdepodobnosť a demokracia

Prvý príklad z klasickej zbierky pravdepodobnostných príkladov od Fredericka Mostellera znie nasledovne: Traja sudcovia A,B a C nezávisle rozhodujú medzi dvomi alternatívami. Vieme, že pravdepodobnosť pA správneho rozhodnutia sudcu A je rovnaká ako pravdepodobnosť pB správneho rozhodnutia sudcu B, t.j. pA=pB=p. Sudca C však založí svoje rozhodnutie na hode mincou, čiže jeho pravdepodobnosť správneho rozhodnutia je pC=1/2. Výsledné rozhodnutie poroty bude také, za ktoré bude hlasovať väčšina sudcov. S akou pravdepodobnosťou dospeje porota k správnemu rozhodnutiu? Odpoveď je presne p, čiže náš „flippant juror“ C úplne eliminuje vplyv jedného zo sudcov A a B. Tým Mostellerov príklad končí.

My však poďme trochu ďalej a položme si otázku: "Aká by bola situácia, ak by bol sudca A lepší než sudca B, napríklad ak by sme mali pA=90%, pB=89,9% a pC=50%"? Dá sa ľahko ukázať, že potom by optimálnou rozhodovacou stratégiou poroty ako celku bolo rozhodovať len na základe sudcu A, t.j. úplne ignorovať hlas nielen mincového sudcu C, ale aj relatívne veľmi dobrého sudcu B. Ako je to teda vo všeobecnosti s výberom optimálnej skupinovej stratégie rozhodovania troch sudcov v závislosti od ich pravdepodobností správneho rozhodnutia pA, pB a pC?

Všetkých stratégií skupinového rozhodovania trojčlennej poroty je, v istom dobre definovanom zmysle, 256 a pre každú kombináciu pravdepodobností pA, pB, pC je možné nájsť tú najlepšiu stratégiu metódou "hrubej sily" na počítači. Keď položíme pevne pA=0,75 a pre rôzne kombinácie hodnôt pB a pC v rozmedzí 0,5 až 1 farebne zaznačíme optimálnu stratégiu, dostaneme nasledovný obrázok.


Farby oranžová, červená a žltá zodpovedajú situáciám, kedy je optimálne ignorovať všetkých okrem toho, kto správne rozhoduje s najväčšou pravdepodobnosťou. (Predstavte si napríklad rodiča s dvomi malými deťmi :-) Modrou farbou je zobrazená oblasť tých dvojíc (pB,pC), pri ktorých je optimálnym „demokratický“, t.j. väčšinový rozhodovací systém. Vidíme, že tento systém je optimálny, voľne povedané, v prípade, že sú všetci traja podobne, ale zďaleka nie nutne rovnako dobrí. Všimnite si napríklad, že bod so súradnicami (0,72; 0,69) leží v modrej oblasti, takže pre pA=0,75, pB=0,72 a pC=0,69 je optimálnym väčšinový rozhodovací systém.

Na nasledovnom obrázku sú znázornené pravdepodobnosti správnych rozhodnutí poroty pri optimálnej stratégii skupinového rozhodovania (opäť v závislosti od pB a pC pri pevnom pA=0,75).
Z obrázku a aj bez neho je zrejmé, že žiadna stratégia plne založená na rozhodovaní len jediného človeka nemôže priniesť kvalitu rozhodovania lepšiu ako je kvalita samotného "diktátora". To sa ale nedá povedať o demokratickej rozhodovacej stratégii. V súlade s intuíciou aj našim modelom, demokratická stratégia vedie k takému rozhodovaniu celej skupiny, ktoré môže byť podstatne kvalitnejšie, než umožňujú schopnosti ktoréhokoľvek zúčastneného jednotlivca.

Poznámky: Pochopiteľne na hraniciach medzi oblasťami prislúchajúcimi rôznym optimálnym stratégiám je súčasne optimálnych viacero stratégií. Najzaujímavejší je tento fenomén asi v bodoch, kde sa stretávajú dve "diktátorské" optimálne stratégie s demokratickou optimálnou stratégiou (zelené bodíky). Inak teoreticky zaujímavé, ale asi pomerne ťažké, by bolo študovať optimálne stratégie pre počet sudcov väčší ako 3. Počet všetkých stratégií pre n sudcov je 2 na (2 na n), čiže už pre povedzme n=7 neprichádza výpočet hrubou silou do úvahy.
Poznámka 8.11.: Kuriózne optimálne stratégie skupinového rozhodovania vznikajú vtedy, keď niektorí zo sudcov majú pravdepodobnosť správneho rozhodnutia menšiu ako 50%. Napríklad ak pA=80%, pB=15% a pC=50%, potom je najlepšou stratégiou rozhodovania ignorovať sudcov A, C a ako výsledok zobrať opačné rozhodnutie ako je rozhodnutie sudcu B :-)

Rotujúca tanečnica

Keďže rotujúca tanečnica je už pár dní veľký hit a väčšina z Vás ju už videla, začnem in medias res.

Čierny tieň na obrázku sa samozrejme netočí ani v smere, ani proti smeru hodinových ručičiek; je to len dvojrozmerný objekt. Finta je v tom, že presne takýto tieň by tanečnica vrhala nech by sa točila v ktoromkoľvek z týchto dvoch smerov. Náš mozog pritom z tieňa automaticky rekonštruuje trojrozmerný objekt a ten sa môže točiť len v jedinom smere; skrátka si musí vybrať jednu z dvoch navzájom sa vylučujúcich alternatív (podobne je to v prípade Neckerovej kocky).

Pre ktorú možnosť sa teda náš mozog rozhodne? To nechajme pre nejaký psychologický blog, ale povedal by som, že tu môže hrať rolu "priming". V pôvodnom článku spomínané vysvetlenie na základe dominancie niektorej z hemisfér sa mi zdá byť nepravdepodobné. Totiž podľa toho vysvetlenia by som mal byť viac umelecky ako matematicky založený (tanečnica sa mi pri prvom pohľade točila v smere hodinových ručičiek). A to by som si už asi bol býval všimol.

Čo je však práve na tejto tanečnici také výnimočné? Moja odpoveď znie: Skoro nič. Ak by sme totiž rotovali akékoľvek teleso v smere hodinových ručičiek, tak jeho tieň bude presne taký istý, ako keby sme rotovali proti smeru hodinových ručičiek zrkadlovo preklopenú verziu toho istého telesa. (Všimnite si, že tanečnica má zodvihnutú ľavú nohu pri rotácii proti smeru hodinových ručičiek a pravú nohu ak ju vidíme rotovať v smere hodinových ručičiek.) Ľahko si to uvedomíme v dvoch rozmeroch napríklad pomocou tohoto obrázku:

A prečo som napísal že na tanečnici nie je skoro nič výnimočné? Pretože si myslím, že rotovať teleso-tanečnicu je obzvlášť účinné na dosiahnutie daného efektu. Sme totiž veľmi dobre prispôsobení práve na vytváranie si trojrozmernej predstavy ľudí; postavy nie sú pre nás len "nejaké" telesá, ale veľmi dôležité telesá a mozog s nimi zrejme narába trochu inak ako s inými objektmi. Je to možno niečo ako známy fakt, že tváre rozpoznávame oveľa spoľahlivejšie než iné, podobne komplexné obrazce.

Poznámka 18.10.: Tipol by som si, že ak by sme ako rotujúci objekt použili postavu, ktorá zdraví zdvihnutou rukou, tak väčšina z nás by mala tendenciu vidieť rotáciu v takom smere, aby náš trojrozmerný mentálny model mal zdvihnutú pravú ruku.

Acknowledgements: Na rotujúcu tanečnicu ma upozornil kolega Ján Somorčík.

Vymyslené hádzanie

Predstavte si, že Vám zadám na domácu úlohu hodiť 120 krát mincou a zapísať si výsledky. Toľkokrát hodiť mincou je však poriadna otrava a každý normálny študent by sa určite rozhodol jednoducho si danú postupnosť vymyslieť. Mám nejakú šancu Váš podvod odhaliť?

Skúste si to. Buď si náhádžte výsledky mincou, alebo si napíšte na papier postupnosť 120 vymyslených výsledkov H/Z (hlava/znak) a snažte sa, aby Vaša postupnosť pôsobila čo najnáhodnejšie.

Vyskytuje sa niekde vo Vašej postupnosti päť (alebo viac) rovnakých výsledkov za sebou? Ak nie, tak vitajte v klube normálnych študentov - výsledky ste si skoro určite vymysleli. Totiž pravdepodobnosť, že v 120 hodoch mincou nebude niekde aspoň 5 rovnakých výsledkov za sebou je menej ako 2 percentá...

Ukazuje sa, že veľa ľudí má predstavu o nezávislých náhodných výsledkoch vychýlenú tak, že podvedome považujú dlhšie série rovnakých výsledkov za menej pravdepodobné ako v skutočnosti sú. Táto naša chybná intuícia sa prejavuje napríklad pri rulete: Ak už dlho nepadla červená farba, tak hráči majú väčšiu tendenciu vsadiť na červenú, pretože už "predsa musí konečne padnúť" :-)

Poznámka. Existuje veľké množstvo podobných testov na "pravosť" generovania náhodných hodnôt. Napríklad: Rozdeľte svoju postupnosť 120 výsledkov na 30 úsekov po štyri výsledky a spočítajte, koľko z týchto štvoríc je typu HHHH, ZZZZ, HZZZ, ZHHH, HHZZ, ZZHH, HHHZ alebo ZZZH. Ak je takýchto štvoríc 10 alebo menej, zrejme ste si danú postupnosť vymysleli. Ak by ste totiž naozaj hádzali mincou, bola by pravdepodobnosť takéhoto výsledku približne len 0,05. To čo sme tu urobili sa v štatistickej terminológii nazýva test hypotézy o pravdepodobnosti p binomického rozdelenia na hladine významnosti 5 percent.

Poznámka 3.2.2008: Práve som zistil, že "chybná intuícia", ktorú spomínam v príspevku, má svoje meno: "Gambler's fallacy".

Green dwarf alien

Pozor, odhalenie! Pravým dôvodom misie ESA na Titan (projekt Cassini-Huygens) je nasledovný odkaz, ktorý telepaticky zakódoval nešťastný mimozemšťan do úvodu knihy "Illustrated History of Furniture" (Frederick Litchfield, 1893): GREEN DWARF ALIEN WANTS HELP. I'M ON TITAN. Nespochybniteľným dôkazom je tento obrázok (pozri zväčšenú verziu):

Kniha Michaela Drosnina "The Bible code" je podľa mňa jeden z vrcholných počinov v oblasti získavania slávy a zarábania na ľudskej senzáciechtivosti a nevzdelanosti. Podobne ako som to urobil ja, môžete si aj Vy vziať prakticky akýkoľvek text (nemusí to byť ani hebrejská biblia ako v Drosninovej knihe) a pomocou počítača v ňom nájdete desiatky podobných tajných odkazov a proroctiev. Pri experimentovaní s mojim programíkom som zistil, že zadané štvorpísmenové slovo sa v matici 50x75 písmen bežného textu dá nájsť takmer isto, päťpísmenové často a šesťpísmenové občas. (Samozrejme, závisí to na písmenách zadaného slova; slová obsahujúce Q sa obvykle nenájdu, ani keď sú krátke.) Inak celé je to možné pekne a pomerne jednoducho podložiť matematicky: aj keby sme generovali základný text úplne náhodne, tak by pravdepodobnosť výskytu zadaného ekvidištančného reťazca písmen bola pomerne vysoká. Možno si niekedy nájdem čas a stručne to pre Vás spíšem.

Jonathan Haidt: The Happiness Hypothesis

Náučná kniha pre hĺbavého a vyspelého čitateľa o komplikovanosti našej duše a o sociálnej podstate nášho konania. Na rozdiel od množstva iných podobných knižiek, je napísaná vedcom (autor vyučuje psychológiu na University of Virginia) a nesľubuje jednoduchý návod na šťastný život za tri týždne. Tak ako u každej dobrej knihy, o čo viac ma naučila, o to sa po jej prečítaní cítim hlúpejší. Na stránkach Amazonu nájdete množstvo recenzií a na stránke k tejto knihe sa môžete dozvedieť ďalšie podrobnosti. Ak budete mať záujem si túto knihu prečítať, rád Vám ju požičiam.

Poznámky 28.8.: Kniha „The Happiness Hypothesis“ ma veľa naučila nie ani tak v otázke ľudského šťastia, ako skôr v otázke vzťahu medzi racionálnym a iracionálnym myslením a konaním (metafora jazdca, ktorý sa snaží viesť slona). Pokúsim sa popísať túto myšlienku tak, ako si ju sám interpretujem. Celkové ľudské konanie sa dá chápať ako výsledok „spolupráce“ dvoch úplne odlišných procesov mysle: jazdca a slona. Jazdec je symbolom racionality, plánovania a vedomia; slon je symbolom emócií a inštinktov, pracujúci mimo dosahu vedomia. Problémom je predovšetkým to, že slon má nad jazdcom ohromnú silovú prevahu; keď si postaví hlavu, jazdec nič nezmôže. Jazdec naozaj rozhoduje len v situáciách, v ktorých je slon úplne, alebo skoro neutrálny. Situácia je však ešte komplikovanejšia. Ak je prevaha slona príliš veľká, prekročí sa určitý „bod obratu“ a jazdec si začne aktívne vymýšľať dôvody na obhájenie toho, čo robí slon. Jazdec zmení stratégiu správania sa asi aby zabránil prílišnému psychickému napätiu, ktoré je škodlivejšie ako sebaklam. Tým sa dá, podľa mňa, vysvetliť okrem iného aj otázka, ktorá ma často trápi: Prečo aj veľmi inteligentní ľudia niekedy tvrdia očividne iracionálne nezmysli :-)

Doping - pravdepodobnostný pohľad

Keďže sa blížia majstrovstvá sveta v atletike, zoberme si ako príklad šprintérov na 100m. Pre každého trénujúceho šprintéra uvažujme veličinu "hranica výkonnosti", ktorá je pre "poctivého" šprintéra daná iba talentom a pre "nepoctivého" šprintéra talentom aj dopingom.

Uvažujme takýto pravdepodobnostný model: Hranica výkonnosti poctivého šprintéra má normálne rozdelenie so strednou hodnotou 10,7 sekundy a smerodajnou odchýlkou 0,2. Predpokladajme, že doping posúva hranicu výkonnosti iba o 0,1 sekundy a že medzi šprintérmi neodhalene dopuje len každý piaty. Aká je potom pravdepodobnosť, že neodhalene dopuje šprintér, o ktorom vieme, že má hranicu výkonnosti lepšiu ako 9,9 sekundy?

Toto je len jednoduchý príklad založený na približných modeloch a aproximáciách, avšak pri predpokladoch som sa snažil byť veľmi optimistický; veď posúďte sami. Aj tak je výsledná pravdepodobnosť znepokojivo vysoká ... približne 65 percent!

Poznámky pod čiarou 27.8.: Samozrejme hovorím o subjektívnej pravdepodobnosti, ktorá je založená výlučne na informáciách, ktoré mám ja sám k dispozícii. To je základný pohľad celej Bayesovskej štatistiky. Pochopiteľne, "objektívne" daný šprintér buď dopuje, alebo nie. Nijako nemôžem obviňovať z dopingu Tysona Gaya, ktorí mal zhodou okolností vo finále majstrovstiev sveta ako jediný čas pod 9,9 sekundy.