Stěhovací problém (Súťažná úloha č.8)

Príspevok číslo 8 nám do súťaže poslal šachový skladateľ Ivan Skoba. Táto zaujímavá úloha sa na blogu QED už síce kedysi dávno objavila, avšak nevyvolala väčší záujem a riešenie nám dosiaľ chýba.

Jaké plošně největší těleso lze přestěhovat chodbou s pravoúhlým zalomením o jednotkové šířce? Projde čtverec (plocha = 1), dále půlkruh (1,57), ale stále to není největší těleso. Zdá se, že to bude část mezikruží (viz obrázek). Je to pravda? Jakou největší plochu můžeme chodbou přemístit?

Komentár I. Skoba: Úloha je převzatá – Technický magazín („Téčko“) někdy z přelomu 70.–80. let. V „Téčku“ vycházela na pokračování rubrika Matematické rekreace, ve které byly předkládány k řešení zajímavé úlohy, jejichž řešení bývalo uveřejňováno později. Tato je jednou z nich (je formulována po paměti).

Komentár R. Harman: Ja som sa s touto úlohou stretol prvýkrát predminulý rok v jednej peknej knihe o optimalizácii. Uvedené riešenie bolo označené ako "najlepšie známe", takže tento problém je dosiaľ nevyriešený. Zadanie úlohy teda môžeme chápať ako súťaž, kto nájde útvar s čo najväčšou plochou.

Zacyklený milionár

V dvoch tučných nepriehľadných obálkach sú peniaze, pričom viem, že v jednej z týchto obálok je dvojnásobok sumy v druhej obálke. Dostal som možnosť vybrať si ľubovoľnú z týchto dvoch obálok a peniaze z nej si ponechať. Avšak akonáhle jednu obálku otvorím, už sa nemôžem rozhodnúť pre tú druhú.

Náhodne som si zvolil jednu obálku, no tesne pred otvorením ma napadla výborná myšlienka. Moja obálka obsahuje sumu X a ja s istotou viem, že tá druhá obálka obsahuje sumu X/2, alebo sumu 2X. To znamená, že ak si vyberiem tú druhú obálku, môžem v porovnaní s momentálnym stavom stratiť X/2, ale získať môžem až X. Zjavne je výhodné zobrať si tú druhú obálku! Potešil som sa svojej bystrej úvahe a obálky som si vymenil. Už som sa chystal preveriť si svoj zisk, no v tom ma napadla ďalšia výborná myšlienka. Moja obálka obsahuje sumu X ...

Obálky si vymieňam dodnes. Občas mi síce v hlave vŕta iracionálny červík pochybnosti, ale moje logické úvahy sú predsa nepriestrelné. Alebo nie?

Poznámka: Tento problém patrí k matematickému folklóru (pozri link v komentároch); moja vlastná je len jeho formulácia :-)

Sťahovanie vo Flatlande

Vo Flatlande je potrebné premiestniť objekt cez chodbu na obrázku. Nájdite objekt s čo najväčšou plochou, ktorý je touto chodbou možné premiestniť.

Poznámky: Objekt možno ľubovoľne posúvať, ťahať a rotovať, ale samozrejme nie deformovať. Napríklad je takto možné premiestniť červený trojuholník na obrázku s plochou 1 meter štvorcový. Je však možné presunúť aj objekt s väčšou plochou? Dodám ešte, že túto úlohu mám z jednej knihy (zatiaľ neprezradím z ktorej) a podľa formulácie riešenia v tejto knihe sa zdá, že dosiaľ nie je dokázané, že to ich riešenie je naozaj optimálne.