Horiace tyče

Majme dve tyče z neznámeho nehomogénneho materiálu, pričom vieme len to, že každá z nich zhorí presne za 1 minútu. Rýchlosť horenia v jednotlivých častiach tyčí kvôli neznámemu zloženiu nevieme určiť. Ako pomocou nich zmerať presne čas 45 sekúnd? Čas zapálenia tyče neuvažujeme. 

Túto peknú úlohu nám poslal Peter Mikloš; ďakujeme! :)

Studňa

Nasledovnú úlohu položili autori knihy "How to Solve It: Modern Heuristics" veľkému počtu ľudí, z ktorých každý mal aspoň bakalársky titul z matematiky, informatiky, prípadne techniky. Nechce sa mi tomu ani veriť, ale údajne len jedno percento týchto ľudí našlo (nejaké) správne riešenie, pričom mali k dispozícii celú hodinu! Pokúste sa túto úlohu vyriešiť aj Vy a napíšte nám do komentárov ako dlho Vám to trvalo.

Do "dvojrozmernej studne" s vodorovným dnom a zvislými stenami vzdialenými od seba 3 metre sme hodili dve rovné palice dĺžok 4 a 5 metrov, ktoré sa ustálili v pozícii zaznačenej na obrázku. Ako vysoko od dna leží bod, v ktorom sa tieto palice "pretínajú"?

Vláčik

  V piatok pred dvomi týždňami som cestoval vlakom z Londýna do Paríža a cestu som si krátil čítaním učebnice, ktorú som dostal na recenziu, konkrétne časti o miere zakrivenia kriviek. Vtedy ma napadla nasledovná úloha.

 
  Tri mestečká A,B,C ležia na spoločnej priamke, pričom vzdialenosť A a B je 2 a vzdialenosť B a C je tiež 2. Je potrebné vybudovať systém koľajníc, po ktorých bude nepretržite premávať vlak z A do B, z B do C, z C do A, z A do B atď. Konštrukcia vlaku (s lokomotívou len na jednom konci) si vyžaduje, aby zakrivenie koľajníc nebolo nikde väčšie ako 1, čím myslíme to, že žiadne tri blízke body na koľajnici nebudú ležať na kružnici, ktorá má polomer menší ako 1. Takže koľajnice môžu napríklad pozostávať z "hladko nadväzujúcich" úsečiek a častí kružníc s polomerom aspoň 1. Jeden možný návrh koľajníc je na ilustračnom obrázku. Nájdite taký systém koľajníc, ktorý umožní vlaku urobiť v priebehu dňa čo najväčší počet návštev všetkých troch miest. Na celkovej dĺžke koľajníc nezáleží a na železničnej trati môžu byť mosty a výhybky, nie však zariadenie na otáčanie vlaku do opačného smeru.

  Táto úloha je samozrejme jednoduchá, avšak hľadanie najkratšej krivky s ohraničenou krivosťou prechádzajúcej zadanými bodmi je vo všeobecnosti veľmi ťažká úloha. (Upozorňujem, že riešením nášho problému, tak ako je formulovaný, nemusí byť jediná nepretínajúca sa sa krivka.) Keď Vás napadne nejaká iná úloha z tejto kategórie, budem rád, ak nám ju napíšete do komentárov.

Hlavolam z výstavy

Dnes som sa v rámci nedeľného oddychu vybral s manželkou a dcérkou do Slovenského národného múzea na výstavu "Matematika pre potešenie". Aj keď na prvý pohľad pôsobí táto výstavka pomerne chudobne, dá na nej celkom dobre zabaviť, čo platí dvojnásobne, ak máte so sebou dieťa :). Väčšina exponátov je založená na dobre známych princípoch, napríklad Galtonova skrinka, Buffonova ihla, Kreslenie grafu jedným ťahom, Möbiusov list, Tangram a podobne. Mňa najviac zaujalo vedro s mydlovou vodou, do ktorého bolo možné ponárať drôtené modely telies (napríklad kocka, pravidelný simplex, štvorboký ihlan) a sledovať tvar vzniknutých membrán, podobne ako v jednom našom staršom príspevku.

Výstavka obsahuje aj niekoľko hlavolamov, z ktorých sa mi jeden nepodarilo vyriešiť, hoci som nad ním strávil možno aj štvrť hodiny. (Trochu ma to rozladilo, pretože riešenie je určite veľmi jednoduché. :) Vy však možno budete úspešnejší ...

Poskladajte štvorec rozmerov 6x6 z ôsmich kúskov znázornených na nasledovnom obrázku.

How long will it take Marie to saw a board into 3 pieces?

K napísaniu tejto rekreačnej úlohy ma inšpiroval príspevok Math teacher fail na blogu TYWKIWDBI (credits: Lenka Filová). Za normálnych okolností, t.j. ak pod slovom "board" rozumieme obdĺžnikovú dosku, je odpoveď učiteľa nesprávna. Ale... :)

Márii trvá 1 minútu, kým rozpíli drevený útvar konštantnej hrúbky na 2 rovnaké časti. Ako dlho bude trvať Márii, kým rozpíli tento útvar na 3 rovnaké časti? Aké sú všetky možné "správne" odpovede v závislosti od tvaru tohto útvaru?

Uvažujeme len také útvary, ktoré je možné rozpíliť na dve aj na tri rovnaké časti a tiež predpokladáme, že Mária píli daný útvar najkratším možným rezom (alebo najkratším možným súčtom dĺžok rezov), po ktorom sa rozpadne na dve, resp. tri rovnaké časti. Na to, aby sme dve časti považovali za "rovnaké", nestačí, aby boli "zrkadlovo rovnaké" (povedzme, že strany dosky sú ofarbené rôznymi farbami, čo umožní rozlíšiť zrkadlovú podobnosť od skutočnej zhodnosti).

Zauzlený problém

V prvom rade by som chcel poďakovať všetkým, ktorí sa zúčastnili nedávnej ankety. Jej výsledky nebudem podrobnejšie rozoberať, avšak musím poznamenať, že ma povzbudili a dozvedel som sa z nich dôležité informácie ohľadom ďalšieho smerovania blogu. Poďme ale k úlohe, ktorá sa vykľula z mojej sobotňajšej zábavy s kreslením v R-ku.


Na obrázku vyššie (kliknutím sa zväčší) máme zobrazené slučky z gumy. Ktoré z nich sú rovnaké v tom zmysle, že je ich možné dostať jednu z druhej len naťahovaním a deformovaním, nie však pretrhnutím a zliepaním?

Mravce na tyči (súťažná úloha č.10)

Desiatu súťažnú úlohu nám poslal Peťo Richtárik; pekné je na nej to, že riešenie môže napadnúť aj žiačika na základnej škole, no nemusí napadnúť ani profesora na univerzite. (Úloha má neznámy pôvod; Peťo sa ju dozvedel od kolegu.)


Na tyč dĺžky 10 metrov sme súčasne rozmiestnili 100 mravcov. Každý mravec sa pohybuje vpred rýchlosťou 1 meter za minútu. Ak dôjde mravec na niektorý z dvoch koncov tyče tak z nej spadne, avšak ak sa dva mravce zrazia, tak sa oba v okamihu otočia a pokračujú svojim konštantným tempom v opačnom smere. Otázka znie: Vedeli by ste určiť po akom čase spadne z tyče posledný mravec v závislosti od počiatočného smeru pohybu a umiestnenia mravcov?

Poznámka 1: Mravce považujeme za "body", t.j. akoby mali nulovú dĺžku. Tyč nemá žiadnu šírku (považujeme ju za idealizovanú úsečku), t.j. proti sebe idúce mravce sa nemôžu obísť, ale nutne sa musia po čase zraziť.

Poznámka 2: Predpokladáme, že na začiatku je každý mravec v inom bode tyče.

Prechádzka po mriežke

Do ukončenia našej súťaže chýba ešte 5 úloh. Neváhajte poslať aj niečo jednoduchšie (najmä vlastných nápadov tu zatiaľ veľa nemáme); napríklad také, ako je úloha, ktorá ma napadla dnes:

Máme pravouhlú mriežku zostavenú z n × m úsečiek, kde n aj m sú nepárne čísla. Ukážte, že nie je možné po nej prejsť všetkými uzlovými bodmi tak, aby sme každý z nich navštívili práve raz a nakoniec sa vrátili do toho uzlového bodu, v ktorom sme začali. T.j. chceme dokázať, že v príslušnom grafe neexistuje hamiltonovská kružnica.

Jeden neúspešný pokus o uzavretú hamiltonovskú prechádzku na mriežke 5 × 5 je znázornený na ilustračnom obrázku vľavo hore.

Poznámka 6.1.: V komentári nám misof formuloval zaujímavú úlohu s trochu podobným námetom (aj keď ťažšiu); neprehliadnite!

Kto z Vás má najlepší kvantitatívny odhad?

Pokúste sa odhadnúť bez použitia akýchkoľvek pomôcok okrem svojho zraku a rozumu nasledovné čísla: 1) Počet zelených bodíkov na prvom obrázku; 2) Celkovú dĺžku červenej uzavretej krivky na druhom obrázku; 3) Vertikálnu (y-ovú) súradnicu ťažiska systému modrých krúžkov na treťom obrázku.

Svoje tri číselné odhady môžete napísať do komentárov; vyhráva ten, kto dosiahne minimálnu hodnotu chyby vypočítanej podľa vzorca:

kde n₁, n₂, n₃ sú Vaše odhady a n^*₁, n^*₂, n^*₃ sú skutočné hodnoty. (Všimnite si, že tento vzorec penalizuje nulou presný odhad a jednotkou odhad, ktorý je buď dvojnásobok, alebo polovica v porovnaní so skutočnou hodnotou.)

Poznámka 7.10.: Tipovaciu súťaž sme už ukončili. Výsledky a "diskusiu" si môžete prečítať v komentároch.

Počítame šesťuholníky

Nasledovná úloha ma opäť napadla pri hre s Agátkou a geomagom. Je samozrejme veľmi jednoduchá, avšak riešenie je netradične príjemné.

Koľko pravidelných šesťuholníkov je možné nájsť na obrázku veľkého pravidelného šesťuholníka so stranami dĺžky n, ktorý je poskladaný z rovnostranných trojuholníkov so stranami dĺžky 1?

Na ilustračnom obrázku je znázornený prípad n=2, pre ktorý je správna odpoveď 8; jeden pravidelný šesťuholník má strany dĺžky 2 a 7 ďalších šesťuholníkov má strany dĺžky 1.

Poznámka 22.1.: Vidím, že sa nemáte k činu, čo ma trochu mrzí, pretože mám pripravené zovšeobecnenie tejto úlohy a nechcem ho uviesť skôr, ako máme vyriešený tento špeciálny prípad. Aby som Vás trochu inšpiroval, zobrazil som situáciu pre n=3:


Na obrázku je 1 pravidelný šesťuholník so stranou veľkosti tri, 7 pravidelných šesťuholníkov so stranou veľkosti 2 a 19 pravidelných šesťuholníkov so stranou veľkosti 1. Spolu je to teda 27 šesťuholníkov.

Desaťmiestne číslo

Nájdite desaťciferné číslo s nasledovnou vlastnosťou: Prvá cifra zodpovedá počtu núl v zápise tohoto čísla, druhá cifra zodpovedá počtu jednotiek, tretia cifra počtu dvojok, ... desiata cifra zodpovedá počtu deviatok v zápise tohoto čísla.

Tento elementárny, no pekný hlavolam, rovnako ako úloha s podávaním rúk, pochádza z už spomínanej knihy Martina Gardnera.

Záhadné písmená

Hint: Ploché myslenie Vám nepomôže.

Zápalková klasika

Posledná úloha bola dosť náročná, takže tentokrát zápalková oddychovka. Presuňte dve (a len dve) zápalky tak, aby z piatich jednotkových štvorcov na obrázku vznikli štyri jednotkové štvorce. Pritom vo výslednom obrazci musí byť každá zápalka súčasťou nejakého jednotkového štvorca.

Výsledok môžete zapísať pomocou koordinát podobne ako v šachu: Napríklad D3-E2, eIII-fII vytvorí síce štyri štvorce, avšak jeden z nich nie je jednotkový, takže toto nie je správne riešenie.

Otestujte si svoju geometrickú predstavivosť

Pokúste sa vyriešiť nasledovné úlohy, ktoré podľa mňa celkom dôkladne otestujú Vašu geometrickú predstavivosť. Samozrejme, môžete použiť akékoľvek úvahy a výpočtové triky, ale pokúste sa robiť všetko len v mysli.

1) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké pravidelné päťuholníky (dodecahedron). Koľko má toto teleso a) stien; b) hrán a c) vrcholov?

2) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké štvorce (kocka :-). Túto kocku rozpílime jedným rezom kolmým na niektorú hlavnú uhlopriečku (t.j. kolmo na spojnicu nejakej dvojice vrcholov neležiacich na spoločnej stene) na dve rovnaké telesá. Nech T je jedno z týchto dvoch telies. Koľko a) stien; b) hrán; c) vrcholov má teleso T?

3) Predstavte si teleso, ktorého všetky steny sú rovnako veľké rovnostranné trojuholníky (štvorsten :-). Stredy stien tohoto "veľkého" štvorstena V tvoria vrcholy "menšieho" štvorstena M. Koľkokrát má štvorsten M menšiu a) dĺžku hrán; b) obsah stien; c) objem, než štvorsten V?

Riešenia nájdete tu. Koľko z týchto deviatich úloh sa Vám podarilo správne vyriešiť? Akú metódu riešenia ste použili?